Lagrange- und Hamilton-Formalismus für gedämpfte Pendel

Question

Lagrange- und Hamilton-Formalismus für gedämpfte Pendel

geben

Angenommen, ich habe ein vereinfachtes Pendel (masselose Schnur der Länge $l$ , Kugel aus Masse $m$ und etwas Nicht-Null-Volumen). Ich möchte die Bewegungsgleichungen herleiten, aber ich möchte den Luftwiderstand berücksichtigen. Ich weiß, wie es geht, indem ich Newtons 2. Gesetz anwende, aber gibt es eine Möglichkeit, dies mit Lagrange oder Hamilton zu tun? Was wäre in diesem Fall die Form von Lagrangian/Hamiltonian?

QMechaniker

Mögliches Duplikat: physical.stackexchange.com/q/147341/2451

Antworten (3)

Lagrange- und Hamilton-Formalismus für gedämpfte Pendel

Mögliches Duplikat: physical.stackexchange.com/q/147341/2451

Dirakologie · Answer 1

Für eine allgemeine Dämpfungskraft gibt es kein Prinzip der kleinsten Wirkung. Sie können jedoch die Bewegungsgleichungen aus dem d'Alembert-Prinzip erhalten. Das Verfahren wird hier erklärt und die Bewegungsgleichungen sind

\frac{D}{D T} \frac{\partial L}{\partial {\dot{Q}}_{ich}} - \frac{\partial L}{\partial Q_{ich}} = Q_{ich}^{P},

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=Q_i^p,$ Wo

L = T - V

$L=T-V$ ist die Lagrange-Funktion und

Q_{ich}^{P} \equiv \sum_{a} {\vec{F}}_{a} \cdot \frac{\partial {\vec{R}}_{a}}{\partial Q_{ich}},

$Q_i^p\equiv\sum_\alpha\vec F_\alpha\cdot\frac{\partial \vec r_\alpha}{\partial q_i},$ ist die sogenannte verallgemeinerte Kraft, die von der Dämpfungskraft abhängt

{\vec{F}}_{α}

$\vec F_\alpha$ Wirkung von Teilchen

α

$\alpha$ .

Da wir für die allgemeine Dämpfung kein Variationsprinzip formulieren können, $L$ allein reicht nicht aus, um die dynamische Entwicklung des Systems zu bestimmen. Daher gibt es keinen Hamiltonoperator $H$ befriedigend

δ S = δ \int_{T_{1}}^{T_{2}} [\sum_{ich} P_{ich} {\dot{Q}}_{ich} - H (Q, P, T)] D T = 0.

$\delta S=\delta\int_{t_1}^{t_2}\left[\sum_i p_i\dot q_i-H(q,p,t)\right]dt=0.$ Denken Sie daran, dass die kanonischen Gleichungen auch aus dem obigen Variationsprinzip erhalten werden können, sodass es keine Funktion gibt

H

$H$ die kanonischen Gleichungen und die Bewegungsgleichungen des Systems (die die Dämpfung berücksichtigen sollen) gleichzeitig erfüllen.

Im Fall der linearen Dämpfung können Sie der Bateman-Idee folgen, die in der Antwort von ZeroTheHero erwähnt wird, oder die Rayleigh-Dissipationsfunktion verwenden

ZeroTheHero · Answer 2

Es hängt von der Form der Dämpfung ab, aber wenn Sie schreiben

L = e^{a T} (\frac{1}{2} M {\dot{Q}}^{2} - v (Q))

$L=e^{\alpha t}\left(\textstyle\frac{1}{2}m\dot{q}^2 -V(q)\right)$ dann erhält man eine Bewegungsgleichung der Form

e^{a T} (M \ddot{Q} + M a \dot{Q} + \frac{D v}{D Q}) = 0

$e^{\alpha t}\left( m\ddot{q}+m\alpha \dot{q}+\frac{dV}{dq}\right)=0$ die je nach Reibungsmodell für die Reibung verantwortlich sein können .

Der Hamilton-Operator würde auf die übliche Weise, aber eindeutig berechnet werden $L$ hängt explizit davon ab $t$ Die Energie wird also in Ihrem System nicht konserviert.

Bearbeiten: geändert $\alpha\to -\alpha$ nach einem korrekten Kommentar.

Warum $e^{-at}$ ? Ich sehe nicht, woher es kam. Ich habe auch vergessen zu erwähnen, dass ich möchte, dass die Dämpfung vom Quadrat der Geschwindigkeit abhängt. Nun, der Grund, warum ich eine solche Frage stelle, ist, dass ich letztendlich ein Doppelpendel mit Luftwiderstand simulieren möchte und das Ableiten von Gleichungen aus Lagrangian einfacher zu sein scheint als die Kraftmethode.
Ich denke, Sie wollen das entgegengesetzte Zeichen für $\alpha$ .
@G.Fil Soweit ich weiß, das $e^{\alpha t}$ Faktor ist phänomenologisch, dh es wird beobachtet, dass er den geeigneten Dämpfungsterm erzeugt. Ich kenne keinen Trick, der eine Dämpfung quadratisch einfängt $\dot{q}$ : Möglicherweise müssen Sie die verallgemeinerten Bewegungsgleichungen verwenden, bei denen der Term, der nicht aus einem Potential stammt, "von Hand" hinzugefügt wird.
Es ist nicht phänomenologisch; Es gibt einen tiefen Grund für die Wahl. Das ist ein bisschen übertrieben, aber die $e^{\alpha t}$ Faktor ist analog zu dem $\sqrt{|g|}$ Faktor in der Allgemeinen Relativitätstheorie, wenn wir die Zeit als einen betrachten $1$ -dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit. Dann $q$ ist ein Feld auf dieser Mannigfaltigkeit, mit der Bewegungsgleichung $\dot{q}$ Term proportional zum Christoffel-Term $\Gamma_{00}^0=\frac{1}{2}g^{00}\partial_0 g_{00}=\partial_0\ln\sqrt{g}$ , woraus die $g=e^{2\alpha t}$ Wahl folgt. (Eigentlich ist es ein de Sitter-Verteiler.)
@JGwow! Ich habe gerade etwas gelernt! Aber warum sollten Sie auf diese Weise über Zeit nachdenken, und bietet dies zusätzliche Erkenntnisse, die bei der Bearbeitung zusätzlicher (komplizierterer) Fälle helfen würden?

Señor O · Answer 3

In gewisser Weise ja; Sie müssen die Kraft des Luftwiderstands so schreiben, als ob sie von einem geschwindigkeitsabhängigen Potential abgeleitet werden könnte.

Ein gängiges Beispiel hierfür ist ein Teilchen in einem Magnetfeld . Die Kraft des Magnetfelds auf das Teilchen hängt von seiner Geschwindigkeit ab, daher wird das Potential geschrieben als $\vec{A} \cdot \vec{v}$ .

Lagrange- und Hamilton-Formalismus für gedämpfte Pendel

geben

QMechaniker

Antworten (3)

Dirakologie

ZeroTheHero

geben

JG

ZeroTheHero

ZeroTheHero

JG

ZeroTheHero

Señor O

Wie behandle ich die Lagrange-Funktion bei einem starren Körper?

Kanonischer Formalismus in Lichtkegelkoordinaten

Langfristige Lösung für einen angetriebenen harmonischen Oszillator

Kann ich auf die übliche Weise eine Potentialfunktion finden, wenn das zentrale Feld ttt in seiner Größe enthält?

Definieren zeitinvariante Hamiltonoperatoren geschlossene Systeme?

Euler-Lagrange-Gleichung mit logarithmischem Potential

Umgekehrtes Pendel auf einem Karren - Lagrange ohne Trägheitsmoment?

Hamiltonian für ein Teilchen mit Zentralkraft

Testen der zweiten Art von Gleichungen der Lagrange-Mechanik

Einschränkungen der Hamiltonschen Feldgleichungen