Was sind die Gründe für das Weglassen des dissipativen Energieterms aus dem Hamiltonoperator beim Schreiben der Lyapunov-Funktion?

Question

Was sind die Gründe für das Weglassen des dissipativen Energieterms aus dem Hamiltonoperator beim Schreiben der Lyapunov-Funktion?

Adrian Pfeifle

Ich habe ein Problem mit einer meiner Lernaufgaben für eine mündliche Prüfung:

Der Hamilton-Operator eines nichtlinearen mechanischen Systems, dh die Summe der kinetischen und potentiellen Energie, wird oft als Lyapunov-Funktion zur Steuerung der Position und Geschwindigkeit des Systems verwendet. Betrachten Sie ein gedämpftes System mit einem einzigen Freiheitsgrad, $m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0$ , Wo $m$ ist die Masse, $c$ ist die geschwindigkeitsproportionale Dämpfung und $k$ ist die Steifheit. Ein Kandidat für die Lyapunov-Funktion ist der Hamilton-Operator $V=\frac{1}{2}m\dot{x}^2+\frac{1}{2}kx^2$ . Was sind die Gründe für das Weglassen des dissipativen Energieterms beim Schreiben der Lyapunov-Funktion?

Das einzige, was mir bei dieser Frage einfällt, ist, dass ein dissipativer Energieterm in der Lyapunov-Funktion ein "-" -Zeichen hätte und die Lyapunov-Funktion somit nicht mehr positiv definit wäre. Ist das korrekt?

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Was sind die Gründe für das Weglassen des dissipativen Energieterms aus dem Hamiltonoperator beim Schreiben der Lyapunov-Funktion?

QMechaniker · Answer 1

1) Bei Reibung wird die Lagrange-Gleichung modifiziert

\begin{matrix} (1) & \frac{D}{D T} (\frac{\partial L}{\partial \dot{X}}) - \frac{\partial L}{\partial X} = - \frac{\partial F}{\partial \dot{X}} \end{matrix}

$\tag{1} \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}~=~ -\frac{\partial{\cal F} }{\partial \dot{x}}$

durch die Rayleigh-Dissipationsfunktion

\begin{matrix} (2) & F := \frac{1}{2} C {\dot{X}}^{2} \geq 0 . \end{matrix}

$\tag{2} {\cal F}~: =~ \frac{1}{2} c\dot{x}^2 ~\geq ~0 .$

Hier ist der Lagrange

\begin{matrix} (3) & L := T - v, T := \frac{1}{2} M {\dot{X}}^{2} \geq 0, v := \frac{1}{2} k X^{2} \geq 0. \end{matrix}

$\tag{3} L~:=~T-V, \qquad T~:=~\frac{1}{2} m\dot{x}^2~\geq ~0, \qquad V~:=~\frac{1}{2} kx^2~\geq ~0.$

Es ist nicht möglich, ein geschwindigkeitsabhängiges Potential für die Reibungskraft zu schreiben, und eine Lagrange- (oder Hamilton-) Beschreibung des gedämpften Oszillators muss a la (1) modifiziert werden, um den Reibungsterm aufzunehmen, vgl. zB diese und diese Phys.SE Beiträge.

2) Die Energiefunktion

\begin{matrix} (4) & H (X, \dot{X}) := \dot{X} \frac{\partial L}{\partial \dot{X}} - L = T + v \geq 0 \end{matrix}

$\tag{4} h(x,\dot{x})~:=~ \dot{x} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}-L ~=~T+V~\geq ~0$

ist genau die mechanische Energie des Systems.

Man kann zeigen, dass die Energiedissipationsrate durch die Rayleigh-Dissipationsfunktion gegeben ist

\begin{matrix} (5) & \frac{D H}{D T} = - 2 F \overset{(2)}{\leq} 0. \end{matrix}

$\tag{5} \frac{dh}{dt}~=~-2{\cal F} ~\stackrel{(2)}{\leq} ~0.$

Das positive Semidefinite (4) von $h$ , und die negative Halbbestimmtheit (5) der Zeitableitung $\frac{dh}{dt}$ sind einige der Bedingungen, die man normalerweise von einer Lyapunov-Funktion verlangt , und es ist nicht schwer zu sehen, dass die mechanische Energie $h$ ist tatsächlich eine Lyapunov-Funktion für den gedämpften Oszillator.

Auf der anderen Seite ist unklar, wie man es einbezieht ${\cal F}$ in der Lyapunov-Funktion aus oben erläuterten Gründen.

Verweise:

Herbert Goldstein, Klassische Mechanik, Kapitel 1 und 2.

Benutzer1409813 · Answer 2

Ich bin mir nicht ganz sicher, was "dissipativer Energiebegriff" bedeutet, aber ich weiß, dass Sie nichts Proportionales hinzufügen können $\dot{x}$ . Um zu sehen, warum, nehmen Sie einfach einen Punkt in der Nähe von $(x, \dot{x})=(0,0)$ Punkt. In einer Nachbarschaft dieses Punktes die $\dot{x}$ Begriff wird dominieren $\dot{x}^2$ und entweder der Punkt $(0,\epsilon)$ oder $(0,-\epsilon)$ einen negativen Wert geben würde.

Was sind die Gründe für das Weglassen des dissipativen Energieterms aus dem Hamiltonoperator beim Schreiben der Lyapunov-Funktion?

Adrian Pfeifle

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QMechaniker

Benutzer1409813

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