Können wir die aristotelische Physik quantisieren?

Ich schreibe diese Antwort nach einer angenehmen Diskussion im Chat mit user23660 neu. Folgendes habe ich aus unserer Diskussion mitgenommen und stellt nicht unbedingt die Interpretation von user23660 dar. Die tl;dr-Antwort lautet, dass es meines Erachtens keine Möglichkeit gibt, dieses System zu quantifizieren, das nicht triviale Ergebnisse liefert und gleichzeitig die Standard-QM beibehält - wir landen entweder mit Verletzungen der grundlegenden Axiome der QM oder mit einem trivialen System ohne Dynamik und keine Messprozesse.

Ich werde nur den eindimensionalen Fall analysieren. Ich denke, die wichtige Erkenntnis wird durch die Betrachtung der Nullstellen der Funktion gewonnen$p$, dh die Punkte$x_0$wo$p(x_0)=0$. Dies sind die Orte, an denen Teilchen im Gleichgewicht existieren können. Sie sind auch mögliche Orte für Kollisionen, wenn$p$dort von positiv nach negativ kreuzt.

Wir haben zwei logische Möglichkeiten: (1) Die Funktion$p(x)$ist immer darauf beschränkt, eine glatte Funktion zu sein, und wenn sie Null kreuzt, hat sie niemals eine verschwindende Ableitung. (2) Eine solche Beschränkung gilt nicht$p$.

(1) In diesem Fall haben wir$p\approx\alpha (x-x_0)$zum$x$nah genug dran$x_0$, mit$\alpha\ne0$. Der interessante Fall, wo$p$Kreuze von positiv nach negativ, ist$\alpha<0$. Die klassische Bewegung ist ein asymptotischer Ansatz$x_0$von beiden Seiten. Das bedeutet, dass das Universum in zwei Teile geteilt wird, die jeweils von der anderen Seite nicht beobachtbar sind. Eine Annäherung von Partikeln ist nicht möglich$x_0$von beiden Seiten miteinander kollidieren, da sie unendlich lange brauchen würden, um den Kollisionspunkt zu erreichen. Da Kollisionen unmöglich sind, sind auch Messvorgänge unmöglich – Sie können Ihr Messgerät nicht dazu bringen, das Objekt zu berühren, das Sie zu beobachten versuchen. Es gibt auch keinen messbaren Zeitbegriff, da das Nichtvorhandensein einer periodischen Bewegung es unmöglich macht, eine Uhr zu bauen. Da Uhren und Lineale unmöglich sind, können wir die Koordinaten beliebig neu skalieren. Da Kollisionen unmöglich sind, gibt es überhaupt keine Dynamik.

Um das System zu vereinfachen, bedenken Sie, dass wir jede reibungslose Eins-zu-Eins-Änderung der Koordinaten vornehmen können$x\rightarrow u(x)$,$p\rightarrow p^*=(du/dx)p$. Da es keine Uhren und keine Observablen gibt, ist diese Änderung der Koordinaten nur eine Umbenennung, und es gibt keine Möglichkeit zu sagen, ob$x$oder$u$war das natürlichere Koordinatensystem. Im Allgemeinen, wenn wir eine stetige Funktion haben$p$, wir können jede Region wohin bringen$p\ne0$und definieren Sie eine "spezielle" Koordinate$u=\int dx/p$. Das Problem wird in ein Problem umgewandelt, bei dem sich Teilchen immer mit der Geschwindigkeit 1 nach rechts bewegen.

Die Antwort von User23660 analysiert, wie dieses System quantisiert wird. Das quantisierte System hat keine Möglichkeit der Streuung, Absorption oder Emission, also gibt es keinen Begriff der Messung. Obwohl ich die Analyse von user23660 für richtig halte, scheint mir eine Theorie der Quantenmechanik ohne Zeit, Observablen oder Dynamik nicht sehr interessant zu sein. Als Abkürzung zur Quantisierung dieses Systems können wir zu den speziellen Koordinaten wechseln. Da in diesen Koordinaten die einzig mögliche Geschwindigkeit 1 ist, müssen die Lösungen der Wellengleichung einfach sein$\Psi_u=f(u-t)$, wo$f$ist eine beliebige Funktion. Wenn wir zurück in die transformieren$x$Koordinaten, dann$\Psi_u\rightarrow\Psi_x$muss einen zusätzlichen zeitabhängigen Normierungsfaktor aufnehmen, wenn die Wahrscheinlichkeitserhaltung erhalten bleiben soll.

Ich habe es ursprünglich zu sehr vereinfacht, indem ich gesagt habe, dass die Bewegung im Fall Nr. 1 im Sinne des Satzes von Liouville dissipativ ist. Das ist nicht ganz richtig, da wir diese Begriffe nur in einem Raum ausdrücken können, in dem wir Messungen haben. Da die Zeit- und Raumkoordinaten nicht messbar sind, können wir die Wahrscheinlichkeitserhaltung immer verbessern, indem wir einfach willkürliche zeitabhängige Normalisierungsfaktoren hinzufügen.

(2) Wenn es keine Einschränkung gibt$p$, dann ist es im klassischen System möglich, Gleichgewichtspunkte zu haben, die von Teilchen in endlicher Zeit erreicht werden können. Es ist denkbar, dass wir Kollisionen und nichttriviale Dynamiken haben. Die Bewegung kann in dem Sinne dissipativ sein, dass, wenn ein Teilchen einen Gleichgewichtspunkt erreicht, alle Informationen über seine vergangene Bewegung verloren gehen. Auch akausale Lösungen a la Norton's Dome sollen möglich sein . Ausdrücklich, wenn wir es zulassen$p=|x|^{3/4}$, dann ist die Lösung entweder$x=0$oder irgendetwas in der Form$x=\pm (4^{-4})(t-t_0)^4$, so könnte zum Beispiel ein Teilchen von links einfallen, dann eine Weile am Ursprung sitzen bleiben und dann zu einem unbestimmten Zeitpunkt wieder nach rechts abheben. Im Allgemeinen können Partikel also kollidieren, für eine unvorhersehbare Zeit miteinander verbunden bleiben und dann aus der Kollision wieder auftauchen.

Bei der Quantisierung erwarten wir, dass sich diese Nichterhaltung von Informationen als Verletzung der Einheitlichkeit zeigt. Dies scheint sich in der Analyse von user23660 zu zeigen, in der das quantisierte System reellwertige Wellenfunktionen hat. Wenn die Wellenfunktionen reellwertig sind und wir Kollisionen haben können, dann müssen wir mindestens eines der folgenden aufgeben: Unitarität, Linearität oder die Born-Regel. Andernfalls würde sich ein positiver Impuls, der mit einem negativen Impuls kollidiert, überlagern und destruktive Interferenz erleiden, was die Einheitlichkeit verletzt. Aber es ist sowieso nicht klar, dass die Analyse von user23660 uns wirklich etwas über Fall #2 aussagt, da die Analyse Annahmen über das Verhalten von trifft$p$.

Wir können die aristotelische Mechanik quantifizieren, und nach Diskussion scheint auch Ben Crowell in diesem Punkt einer Meinung zu sein.

Kurze Zusammenfassung: Um das von der aristotelischen Mechanik beherrschte System zu quantisieren, erweitern wir seinen Konfigurationsraum mit kanonisch konjugierten Impulsen und führen dann eine gewöhnliche kanonische Quantisierung durch. Das resultierende Quantensystem zeigt ein etwas langweiliges Verhalten und könnte je nach Wahl des Kraftfelds einige ernsthafte Probleme haben.

Ein Beispiel der aristotelischen Mechanik ist die Bewegung eines Objekts in einer sehr viskosen Flüssigkeit, bei der wir Trägheitskräfte vernachlässigen können: Stokes (oder kriechende) Strömung . Da die viskose Widerstandskraft$\mathbf{F}_\text{drag}$ist proportional zur Geschwindigkeit eines Objekts, die Anwendung einer äußeren Kraft$\mathbf{F}_\text{ext}$würde schnell (auf einer durch Trägheitskräfte bestimmten Zeitskala: je kleiner sie sind, desto schneller geschieht es) zu einer Bewegung führen, bei der$\mathbf{F}_\text{ext}= - \mathbf{F}_\text{drag}$. Das bedeutet, dass die resultierende Bewegungsgleichung ist

Dieses Modell belegt übrigens auch die Relevanz der aristotelischen Mechanik für Bereiche wie Mikro- und Nanofluidik.

Die Quantisierung der aristotelischen Mechanik könnte also im Rahmen der Quantisierung dissipativer Systeme erfolgen, was eine gut etablierte Theorie ist.

Zum Beispiel dieses Papier

Tarasov, Vasily E. "Quantisierung nicht-hamiltonischer und dissipativer Systeme." Phys. Lette. A 288.3 (2001): 173-182. (arxiv:quant-ph/0311159)

gibt die folgende Zusammenfassung von Lösungsansätzen für das Problem:

Wir können die häufigsten Methoden zur Quantisierung von dissipativen und nicht-Hamiltonschen Systemen in zwei Gruppen einteilen. Das erste Verfahren verwendet ein Verfahren zum Verdoppeln der Phasenraumdimension [6]–[8]. Die zweite Methode besteht in der Verwendung eines explizit zeitabhängigen Hamiltonoperators [9]-[16].

Bateman hat gezeigt [6], dass zur Verwendung der üblichen kanonischen Quantisierungsmethoden ein Verfahren zur Verdopplung der Phasenraumdimension erforderlich ist. Um das übliche kanonische Quantisierungsschema auf dissipative und nicht-hamiltonsche Systeme anzuwenden, kann man die Anzahl der Freiheitsgrade verdoppeln, um mit einem effektiv isolierten System umzugehen. Es kann angenommen werden, dass die neuen Freiheitsgrade durch kollektive Freiheitsgrade des Bades repräsentiert werden, das die durch das dissipative System dissipierte Energie absorbiert [7, 8].

Der zitierte Artikel von Bateman aus dem Jahr 1931

Bateman, Harry. "Über dissipative Systeme und verwandte Variationsprinzipien." Physical Review 38.4 (1931): 815. (doi:10.1103/PhysRev.38.815)

sagt auch:

In einer kürzlich erschienenen Arbeit stellte PS Bauer fest, dass ein linear dissipativer Satz von Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten nicht aus einem Variationsprinzip abgeleitet werden kann. Dies gilt nur, wenn das Variationsprinzip keine zusätzlichen Gleichungen liefern soll. Nun ist ein dissipatives System physikalisch unvollständig, und daher sind zusätzliche Gleichungen zu erwarten, wenn versucht wird, die definierenden Gleichungen aus einem Variationsprinzip abzuleiten. Wir müssen also nach einem komplementären Satz von Gleichungen suchen.

Da die Gleichung (1) von erster Ordnung ist, könnten wir versuchen, mit einem Satz von Impulsvariablen nach einer minimalen Erweiterung des Konfigurationsraums zu suchen. Mit Blick auf die kanonische Quantisierung versuchen wir, einen Hamiltonoperator zu finden, der die Gleichung (1) als eine der kanonischen Gleichungen erzeugen würde.

Es ist überraschend einfach: Der benötigte Hamiltonoperator ist:

Wir könnten also den Hamilton-Operator (2) einfach als der aristotelischen Mechanik entsprechend betrachten und eine kanonische Quantisierung verwenden, die uns in der Koordinatendarstellung die Schrödinger-Gleichung liefert:

Betrachten wir zur Veranschaulichung einige Spezialfälle von Kraftfeldern für 1D-Systeme:

1. Konstante Kraft$F = b$. Das gibt uns$\Psi = f(x-\alpha\, b\, t),$das heißt, Impulsausbreitung mit konstanter Geschwindigkeit in der$x$-Richtung. Beachten Sie das Fehlen von Dispersion.

2. Elastische Feder$F = - x$. Hier wäre allgemeine Lösung$\Psi = f(y+\alpha t) \cdot \exp(\frac{\alpha \,t}2)$, wo$y = \ln x$.

Schon aus diesen beiden einfachen Beispielen könnten wir schließen, dass die Dynamik dieser quantisierten Systeme weniger interessant ist als gewöhnliche QM. Insbesondere sehen wir, dass es keine Quanteninterferenz gibt: Das Doppelspaltexperiment in der aristotelischen Quantenmechanik wäre sehr langweilig. Dies wird natürlich durch das zugrunde liegende klassische System bestimmt: Da wir dort einen einfachen Fluss auf dem Konfigurationsraum haben, wird die Quantisierung nicht viel hinzufügen.

Zusatz . Kürzlich hat die Frage „Ein „hermitischer“ Operator mit imaginären Eigenwerten“ (und die Antwort von Emilio Pisanty) die Art von Problemen hervorgehoben, denen wir in der aristotelischen Quantenmechanik begegnen könnten. Insbesondere ist der "Problem"-Hamiltonian dort von dem Typ, der durch Gleichung (2) definiert ist. Die Probleme wurden auch in Ben Crowells Antwort auf diese Frage erwähnt, von denen die schwerwiegendste die nicht konservierte Wahrscheinlichkeit ist. Tatsächlich konnten wir für einige ziemlich einfache Kraftfelder keinen selbstadjungierten Hamilton-Operator konstruieren. Aber wie das Papier

Klassische Symptome von Quantenkrankheiten. Chengjun Zhu und John R. Klauder. Bin. J. Phys. 61 nr. 7, 605 (1993) doi:10.1119/1.17221 .

gezeigt, haben diese Probleme ihre Wurzeln in der klassischen Dynamik. Um also ein vernünftiges Quantensystem zu erhalten, müssen wir ein gutes Verhalten des zugrunde liegenden klassischen Systems sicherstellen. Insbesondere könnten wir fordern, dass klassische Lösungen für alle Zeitwerte existieren und keine Singularitäten zu endlichen Zeiten auftreten. Dies kann zulässige Felder einschränken, führt jedoch zu einer korrekten Quantenversion.

Eugene Wigner diskutierte die Quantisierung der aristotelischen Physik in dem sehr kurzen Artikel Conservation Laws in Classical and Quantum Physics . Sie können die Theorie quantisieren, aber es gibt keinen offensichtlichen Weg, auf dem sich die quantisierte Version physisch von der klassischen Version unterscheidet.