Wie entsteht Reibung und ihre Geschwindigkeitsabhängigkeit aus mikroskopischen Wechselwirkungen?

Stokessches Gesetz für die Reibungskraft, die eine Kugel in einer sich langsam bewegenden Flüssigkeit erfährt

$$F_d= 6\pi \eta a u,$$ Wo $u$ist die Flüssigkeitsgeschwindigkeit, $\eta$ist die Viskosität und $a$der Radius ist, ist eine rigorose Konsequenz der Navier-Stokes-Gleichung im Grenzfall kleiner Reynolds-Zahl $R=ua/\nu$Wo $\nu=\eta/\rho$( $\rho$ist die Massendichte der Flüssigkeit).

Tatsächlich sagt die Navier-Stokes-Gleichung auch Terme höherer Ordnung voraus$R$. Der nächste Term (aufgrund von Oseen) dient als Korrektur

$$1+ \frac{3}{8}R,$$ was eine quadratische Abhängigkeit von ergibt $u$. Terme höherer Ordnung sind komplizierter (Terme wie z $R^2\log(R)$), und schließlich impliziert Turbulenz, dass die Expansion nicht mehr nützlich ist und der Luftwiderstand numerisch berechnet werden muss.

Die Navier-Stokes-Gleichung selbst kann mit mikroskopischeren Theorien wie der (Quanten-) Kinetiktheorie abgeleitet werden. Insbesondere für verdünnte Gase bestimmt die Boltzmann-Gleichung die Viskosität$\eta$in Bezug auf den Streuquerschnitt zwischen Atomen. Eine einfache Schätzung ist

$$\eta =\frac{\sqrt{2mT}}{3\sigma}\, ,$$ Wo $T$ist die Temperatur, $m$ist die Masse der Atome, und $\sigma$ist der Querschnitt. Diese Formel ist ungefähr richtig für Luft, aber Flüssigkeiten (wie Wasser) sind komplizierter und $\eta$muss numerisch berechnet werden. Dies wird in Standard-Lehrbüchern zur kinetischen Theorie erklärt, wie Band X von Landau und Lifshitz (oder einführenderen Lehrbüchern über Stat-Mech, wie Kerson Huangs Buch).

Der Streuquerschnitt zwischen Atomen kann mit den Gesetzen der Quantenmechanik berechnet werden. Für neutrale Atome ist das Fernpotential das Van-der-Waals-Potential (Casimir-Polder), das aus dem Zwei-Photonen-Austausch entsteht und durch die Polarisierbarkeit der Atome bestimmt wird.

Beachten Sie, dass wir beim Übergang von der Vielkörper-Quantenmechanik zu einer makroskopischen Theorie wie der kinetischen Theorie oder der Fluiddynamik grobkörniger werden müssen und als Ergebnis von der zeitlich reversiblen mikroskopischen Dynamik zur irreversiblen makroskopischen Dynamik übergehen. Der wichtige Punkt ist jedoch, dass die Parameter der makroskopischen Theorie (insbesondere die Scherviskosität) vollständig durch die mikroskopische Dynamik festgelegt sind.

Festkörperreibung ist ein etwas anderes Thema, siehe Kann der Reibungskoeffizient aus Grundlagen abgeleitet werden? .

Eine gute Ableitung der Navier-Stokes-Gleichung und ihres dissipativen Terms findet sich in dem ausgezeichneten Buch über statistische Physik von Linda Reichl .

Im Allgemeinen sind die Korrekturen niedrigster Ordnung an konservativen effektiven Theorien (hier die Euler-Gleichungen), die eine mikroskopische Theorie (hier z. B. die klassische N-Teilchen-Theorie oder eine Boltzmann-Gleichung) durch geeignete Grobkörnung annähern, dissipativ, da die Dissipation eine Rolle spielt der Energieverlust an unmodellierte Hochfrequenzmoden. Die entstehenden zusätzlichen Terme enthalten Integrale über 2-Punkt-Korrelationsfunktionen, die die mittleren Beiträge der bilinearen Terme bei einer Potenzenentwicklung der Fluktuationen angeben. Die linearen Terme in dieser Erweiterung tragen nicht bei, da ihr Mittelwert null ist.

Dies ist unabhängig von elektromagnetischen Dingen, aber man kann die Ableitungen verallgemeinern, um dissipative Gleichungen für geladene Flüssigkeiten zu erhalten, und diese beinhalten das elektromagnetische Feld.