Was ist Quantum am No-Cloning-Theorem?

Ich habe verschiedene Leute gehört, die das No-Cloning-Theorem als ein wesentliches Merkmal der "Quantenphysik" beschrieben haben, ähnlich wie zu sagen: "Wir können keine beliebigen Quanteninformationen mit beliebiger Präzision kopieren". Allerdings handelt es sich bei dieser Frage nur insofern um die Interpretation des Quantenergebnisses, als dies das im Verlauf der Frage präsentierte klassische Ergebnis erhellt.

Die formale Grundaussage des Theorems ist die bei einem Hilbert-Raum H , gibt es keinen unitären Operator U : H ⊗ H → H ⊗ H so dass

U ( | a ⟩ ⊗ | b ⟩ ) = | a ⟩ ⊗ | a ⟩
für alle | a ⟩ ∈ H und einen "leeren" Zustand | b ⟩ . Die Frage ist, ist irgendetwas an diesem Ergebnis aus Sicht der klassischen Mechanik überraschend oder "quantenhaft"?

Hier ist ein Argument, das „no-cloning“ auch in der klassischen Mechanik gilt, fast wörtlich übernommen aus „There’s no cloning in symplectic mechanics“ von Fenyes:

Lassen ( M , ω ) sei eine symplektische Mannigfaltigkeit, die ω ist die symplektische Form, die das kodiert, was wir Physiker die Poisson-Klammer nennen ω ( X f , X g ) = { f , g } wo X f ist das durch definierte Vektorfeld d f = ω ( X f , − ) . Dann alle körperlichen Bewegungen weiter M sind Symplektomorphismen, also Funktionen M → M die bewahren ω , weil sie integrale Flüsse des Hamiltonschen Vektorfeldes sind X H was nach Konstruktion ein symplektisches Vektorfeld ist.

Der kombinierte Phasenraum zweier Systeme ( M , ω ) , ( M ' , ω ' ) ist ( M × M ' , ω + ω ' ) , wo × ist das kartesische Produkt von Mannigfaltigkeiten. Das klassische Analogon zum No-Cloning-Theorem wäre nun eindeutig die Aussage, dass es keinen Symplektomorphismus gibt ϕ : M × M → M × M so dass

ϕ ( a , b ) = ϕ ( a , a )
für alle a ∈ M und einen leeren Zustand b ∈ M . Und tatsächlich ist es so:

Lassen u , v ∈ T ( b , b ) ( M × M ) seien Tangentenvektoren an ( b , b ) . Seit ϕ ( x , b ) = ( x , x ) nach Annahme, Kurven ( γ ( t ) , b ) beginnt um ( b , b ) auf Kurven abgebildet werden ( γ ( t ) , γ ( t ) ) beginnt um ( b , b ) , und so d ϕ ( b , b ) ( w , 0 ) = ( w , w ) für alle w ∈ T ( b , b ) ( M × M ) . Deswegen,

( ω + ω ) ( ( u , 0 ) , ( v , 0 ) ) = ( ω + ω ) ( ( u , u ) , ( v , v ) ) ⟹ ω ( u , v ) + ω ( 0 , 0 ) = ω ( u , v ) + ω ( u , v ) ⟹ ω ( u , v ) = 0
Dies ist ein Widerspruch, da symplektische Formen per Definition nicht entartet sind. Daher existiert keine klassische Hamiltonsche Klonierungskarte.

Also, was zeigt dieses Ergebnis eigentlich? Sind die Annahmen des No-Cloning-Theorems dumm und spiegelt die gewünschte Klonkarte nicht wirklich wider, was wir meinen, wenn wir in jedem Fall beliebige Informationen kopieren können? Gibt es einen subtilen Unterschied zwischen dem klassischen und dem Quanten-Setting, der die Annahmen im klassischen, aber nicht im Quanten-Setting lächerlich macht? Wenn die Annahmen nicht dumm sind, was ist dann die Bedeutung des klassischen Ergebnisses?

Hallo @ACuriousMind, hast du darüber nachgedacht, dass Menschen die Quantenmechanik einfach als das grundlegendste verfügbare Werkzeug verwenden, um zu sagen, dass es in der Natur (in der realen Welt) keine Duplizierung von Informationen geben kann? Ich meine - ja, wie Sie demonstriert haben, gibt es diese Funktion nicht nur für QM, aber wenn Sie zeigen möchten, dass das Klonen verboten ist, ist es dann nicht sinnvoll, QM dafür zu verwenden, anstatt irgendetwas anderes zu tun? Ich weiß, dass es wahrscheinlich nicht hilft, möchte nur meine Sichtweise teilen.
@SolenodonParadoxus Nun, der Punkt ist, dass die Leute zu glauben scheinen, dass wir "klassische" Informationen kopieren können , was dem Theorem in der Frage zu widersprechen scheint. Was genau bedeutet diese Version von "No-Cloning"? Das möchte ich wissen, wenn ich frage, ob die Klonkarte nicht wirklich widerspiegelt, was wir damit meinen, beliebige Informationen kopieren zu können.
Nun, es wird hauptsächlich in der Informationstheorie verwendet. Klassische Bits können geklont werden und Quanten-Qubits nicht. Der Punkt ist, dass klassische Schaltungen in ständiger Wechselwirkung mit der Außenwelt stehen, daher ist die Hamiltonsche Beschreibung nicht anwendbar und das Klonen ist möglich. Quantenschaltkreise sind isoliert, weil wir Dekohärenz vermeiden wollen.
@SolenodonParadoxus Sie sagen also, die Bedeutung des klassischen Theorems sei "klassisches Klonen erfordert Dissipation", aber niemand hat sich jemals darum gekümmert, weil Dissipation kein Problem für die klassische Informationsspeicherung ist? Das würde dann bedeuten, dass „No-Cloning vs. Cloning“ nicht Quanten vs. Klassik ist, sondern geschlossene Systeme vs. offene Systeme.
So ziemlich, ja.

Antworten (3)

Die Antwort scheint hier gegeben zu sein .

Lassen Sie es mich zusammenfassen: Der Punkt ist, dass der Begriff des Kopierens, der normalerweise gesehen wird (wie im OP), eigentlich nicht das ist, was wir mit Kopieren meinen. Es lässt nur das Objekt zu, das wir kopieren möchten , und das neue Objekt . In diesem Fall ist es tatsächlich unmöglich zu klonen. Aber der verlinkte Artikel zeigt, dass, wenn wir auch einen Kopierer einbeziehen , das Klonen im klassischen Fall möglich wird (aber im Quantenfall unmöglich bleibt).

(Anmerkung: Er beweist eigentlich nicht, dass es klassisch immer möglich ist, aber er gibt zumindest einige explizite Beispiele, wo es möglich ist.)

Sie haben Recht, dass No-Cloning nicht von Natur aus Quanten ist. Das klassische Analogon des Quantenklonens ist das „Wahrscheinlichkeitsklonen“.

Hier ist die Herausforderung zum Klonen von Wahrscheinlichkeiten: Erstellen Sie eine Maschine, die eine Münze nimmt, die darauf vorbereitet ist, mit Wahrscheinlichkeit Kopf zu werfen p , gibt aber zwei Coins aus, die mit Wahrscheinlichkeit Heads-Up sind p . Der Haken ist, dass Sie es nicht wissen p (Die Maschine sollte für alle funktionieren p ) und die beiden Ausgangsmünzen sollen unabhängig sein. Die Statistik der Ausgabe sollte befriedigen P ( H H ) = p 2 , P ( H T ) = P ( T H ) = p ( 1 − p ) , und P ( T T ) = ( 1 − p ) 2 .

Ich hoffe, Sie sehen sofort, warum diese Maschine unmöglich existieren kann (oder zumindest sehr schlecht funktionieren muss). Der Zustand der Münze sagt Ihnen nicht genug über die Wahrscheinlichkeit aus, die sie erzeugt hat. Eine Stichprobe reicht einfach nicht aus, um eine gute Vorstellung von der zugrunde liegenden Verteilung zu bekommen. Das Beste, was Sie tun können, ist, dass die beiden Münzen mit der Eingabe übereinstimmen, vielleicht ein bisschen Rauschen einwerfen und hoffen, dass die statistischen Tests das Offensichtliche übersehen.

Eine andere Möglichkeit, darüber nachzudenken, ist, dass es keine stochastische Matrix gibt S das erfüllt:

S [ p 1 − p ] = [ p 1 − p ] ⊗ 2 = [ p 2 p ( 1 − p ) p ( 1 − p ) ( 1 − p ) 2 ]

Dies ist offensichtlich, weil die Ausgabe erfordert, dass Komponenten der Eingabe multipliziert und quadriert werden. Du kannst nicht gehen p zu p 2 unter Verwendung einer linearen Operation.

Siehe auch: die Veröffentlichung von 2002 „Classical No-Cloning Theorem“ von A. Daffertshofer et al. , die von dem von Ihnen zitierten Papier zitiert wird.

Kommentare sind nicht für längere Diskussionen gedacht; diese Konversation wurde in den Chat verschoben .

Kommentare zum Beitrag (v1):

  1. Es gibt also mindestens 4 verwandte Theoreme:

    1. Das Quanten-No-Cloning-Theorem für reine Zustände von Wootters, Zurek & Dieks.

    2. Das Quanten-No-Broadcast-Theorem für Dichteoperatoren.

    3. Das klassische symplektische No-cloning-Theorem von Lit. 1-2. Das ist es, wonach OP fragt.

    4. Das klassische probabilistische No-Cloning-Theorem unter Verwendung der Kullback-Leibler-Divergenz von Ref. 3. Zu Punkt 4 haben wir nichts mehr zu sagen.

  2. Beachten Sie, dass sowohl Thm. 1 & Thm. 3 haben elementare einzeilige Beweise. Es könnte daher nicht sehr konstruktiv/produktiv/nützlich/sinnvoll sein, zu versuchen, sie zu vergleichen. [zB ist ein solches 'Detail', ob wir (i) einen Hilbert-Raum oder (ii) einen projektiven Hilbert-Raum/Strahlenraum (wie wir es in der Quantenmechanik tun) betrachten, schon subtiler, vgl. zB Satz von Wigner & sein nicht-trivialer Beweis.]

  3. In der geometrischen Quantisierung nach dem Korrespondenzprinzip zwischen klassischer und Quantenmechanik der Hilbert-Raum H wird über Polarisation mit einer Lagrange-Untermannigfaltigkeit identifiziert. Daher können wir den Hilbertraum nicht verwenden H um Nicht-Null-Richtungen der symplektischen Struktur zu untersuchen. Daher können wir argumentieren, dass das Klonierungshindernis in Thm. 3 spiegelt nicht das Klonierungshindernis in Thm wider. 1.

  4. Eher Thm. 1 ist von anderer Natur, möglicherweise näher verwandt mit Thm. 2. Wenn es die Zeit erlaubt, können wir diesen Punkt in Zukunft weiter ausführen.

Verweise:

  1. A. Fenyes, Es gibt kein Klonen in der symplektischen Mechanik , 2010.

  2. A. Fenyes, J.Math . Phys. 53 (2012) 012902 , http://arxiv.org/abs/1010.6103 .

  3. A. Daffertshofer, AR Plastino & A. Plastino, Phys. Rev. Lett. 88 (2002) 210601 .

In der Tat, beim Lesen von Ref. 2 Wie in der Antwort von RubenVerresen auch ausdrücklicher hervorgehoben wird, stellt sich heraus, dass die klassische Behinderung verschwindet, wenn der Zustand des Kopiergeräts eingeschlossen wird, was bei der Quantenbehinderung nicht der Fall ist. Die oberflächliche Ähnlichkeit der Aussagen und ihrer Beweise ist irreführend, wie Sie in Punkt 2 vermuten.
↑ Punkt 2?
Was ist Quantum am No-Cloning-Theorem?
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