Gilt das Gesetz 12mv212mv2\frac12mv^2 für die Quantenmechanik?

Betrachten Sie den klassischen Hamiltonoperator für eine Feder:

H = 1 2 P 2 M + 1 2 k X 2
Dies ist einer dieser einfachen Fälle, in denen wir die Mathematik finden, wenn Sie sie ausarbeiten
M X ¨ = − k X
und es macht klar und deutlich, dass die 1 2 P 2 M Begriff ist jetzt geworden M X ¨ , Newtonsches Gesetz. Hier ist also klar, wie die 1 2 P 2 M entspricht dem M X ¨ Begriff und die − k X ist mit dem Newtonschen Gesetz vereinbar.

Meine Frage:

Hat diese Beziehung zwischen 1 2 P 2 M Und M X ¨ für den quantenmechanischen Operator gelten? Mit dem Operator meine ich diesen Hamiltonoperator

H ^ = 1 2 P ^ 2 M + v ^

Es ist offensichtlich das gleiche Format, aber mein Verdacht ist, dass es aufgrund der grundlegenden Unterschiede zwischen klassischer und Quantenmechanik nicht die gleiche Beziehung zu Newtons Gesetzen hat. Wenn ich richtig liege, dass der quantenmechanische Operator nichts mit dem Newtonschen Gesetz zu tun hat, kann jemand erklären, warum er das gleiche Format hat?

Antworten (2)

Ja, es gilt in Bezug auf die Heisenberg- Operatorenentwicklung und im speziellen Fall des harmonischen Oszillators:

X ^ ( T ) := U ( T ) † X ^ U ( T )
Wo U ( T ) := e − ich T H ^ (Hier ℏ := 1 ). Hat man
D 2 D T 2 X ^ ( T ) = D D T D D T U ( T ) † X ^ U ( T ) = D D T U ( T ) † ich [ H ^ , X ^ ] U ( T ) = U ( T ) † ich 2 [ H ^ , [ H ^ , X ^ ] ] U ( T ) .
Mit der expliziten Form von H ^ des harmonischen Oszillators und der kanonischen Kommutierungsbeziehungen , [ X ^ , P ^ ] = ich ICH , du hast [ H ^ , [ H ^ , X ^ ] ] = k M X ^ so dass,
U ( T ) † ich 2 [ H ^ , [ H ^ , X ^ ] ] U ( T ) = − k M U ( T ) † X ^ U ( T ) = − k M X ^ ( T )
so dass
M D 2 D T 2 X ^ ( T ) = − k X ^ ( T ) .
Dieses Ergebnis gilt nicht für kompliziertere Formen von v wie Sie durch direkte Inspektion sehen können.

Abgesehen von Domänenproblemen und der Regelmäßigkeit des Potenzials scheint mir die Hamilton-Gleichung P ˙ = − ∇ v Generell gilt bei diesem Ansatz, wie [ P ^ , v ( Q ^ ) ] = − ich ℏ ∇ v ( Q ^ ) , Wo ∇ v ( Q ^ ) ist die „Multiplikation mit ∇ v " Betreiber. Übersehe ich etwas?
Nur Domänenprobleme, die jedoch sehr subtil sein können. Im Allgemeinen stammen die Vertauschungsrelationen von selbstadjungierten Operatoren wie dem von Ihnen betrachteten nur in schwachem Sinne von den Vertauschungsrelationen assoziierter einheitlicher Gruppen ab (soweit ich weiß, gibt es keinen mathematisch zufriedenstellenden Beweis für den Satz von Eherenfest, obwohl er physikalisch offensichtlich erscheint )... es sei denn, die Generatoren gehören zu einer gemeinsamen Lie-Algebra und es wird ein geeigneter Definitionsbereich (Garding / Nelson) verwendet.

Nach dem Satz von Ehrenfest haben Sie

ich ℏ D D T E ω [ Q ] = E ω [ [ Q , H ] ]
Und
ich ℏ D D T E ω [ P ] = E ω [ [ P , H ] ]
Wo E ω gibt den Erwartungswert über den Zustand an ω . Einfache Rechnungen zeigen, dass die erste Gleichung ergibt
ich ℏ D D T E ω [ Q ] = ich ℏ M E ω [ P ]
während der zweite gibt
ich ℏ D D T E ω [ P ] = − ich ℏ k E ω [ Q ] .
Einstellung X := E ω [ Q ] Und π := E ω [ P ] Sie sehen, dass Sie bekommen
X ˙ = π M Und π ˙ = − k X ,
woher
M X ¨ = − k X .

Allgemeiner gesagt, angesichts eines generischen Potenzials v was differenzierbar ist, verallgemeinern sich die obigen Gleichungen zu

M X ¨ = − U ' ,
Wo U ' := ich ℏ E ω [ [ P , v ( Q ) ] ] , was zusammenfällt v ' ( X ) nur wenn v ' ist linear in seiner Argumentation.

Gilt das Gesetz 12mv212mv2\frac12mv^2 für die Quantenmechanik?
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