Warum ist Aktion nur eine Funktion von qqq?

Question

SRS

Die Wirkung eines Teilchens wird geschrieben als

S [Q] = \int D T L (Q (T), \dot{Q} (T), T) .

$S[q]=\int dt\hspace{0.2cm} L(q(t),\dot{q}(t),t).$ Wie kann ich verstehen, warum

S

$S$ ist eine Funktion von

q

$q$ , und nicht das von

\dot{q}

$\dot{q}$ ? Vorausgesetzt

L = \frac{1}{2} m {\dot{q}}^{2} - V (q)

$L=\frac{1}{2}m\dot{q}^2-V(q)$ Und

V (q) = α q^{2}

$V(q)=\alpha q^2$ (als Beispiel), wie kann ich das verstehen

S = S [q]

$S=S[q]$ Und

S \neq S [q, \dot{q}]

$S\neq S[q,\dot{q}]$ ?

QMechaniker · Answer 1

Die Notation $q$ im funktionalen $S[q]$ steht für die gesamte parametrisierte Kurve/Pfad $q:[t_i,t_f]\to \mathbb{R}$ , nicht nur eine einzelne Position. Insbesondere trägt der parametrisierte Pfad bereits alle Informationen über die Ableitung $\dot{q}\equiv\frac{dq}{dt}$ , sodass es nicht als zusätzliches Argument in die Aktion aufgenommen werden muss.
Im Gegensatz dazu der Lagrange $L(q(t),v(t),t)$ manchmal $t$ ist eine Funktion von
- die momentane Position $q(t)$ damals $t$ ;
- die Momentangeschwindigkeit $v(t)$ damals $t$ ; Und
- die Zeit $t$ (auch bekannt als explizite Zeitabhängigkeit).
Siehe auch diesen und diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.

Aber auch die Lagrange-Funktion wird durch parametrisiert $q(t)$ , der ganze Weg. Ist es nicht? Aber wir schreiben trotzdem $L=L(q,\dot{q})$ . @QMechaniker