Massendimension der Ableitung in einer Lagrange-Funktion

Wir arbeiten in Einheiten, in denen$c = \hbar = 1$. Erinnern Sie sich, die Compton-Wellenlänge ist,

$$\lambda = \frac{\hbar}{mc}$$

und damit in unseren Einheitenlängenskalen$\lambda$haben Einheiten mit inverser Masse oder äquivalent inverser Energie, und so sagen wir$[\lambda] = -1$, dh$[\lambda] = [M]^{-1}$. Das partielle Differential ist

$$\frac{\partial}{\partial x^\mu}$$

was die Dimensionen des Kehrwerts der Länge hat, also$[\partial] =1$. Diese Ableitung ist unabhängig von der Vorstellung eines Lagrange-Operators. Wir können dieses Wissen nun anwenden, um die Skalarfeldtheorie zu sagen:

$$\mathcal L = \frac12 \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi, \quad S = \int \mathcal L \, \mathrm d^4x.$$

Die Aktion hat die gleichen Einheiten wie$\hbar$die auf eins gesetzt ist, also$[S] = 0$. Jede$\mathrm dx$hat Längeneinheiten usw$[\mathrm d^4x] = -4$woraus wir finden$[\mathcal L] = 4$. Wissen$[\partial] = 1$, wir finden$[\phi] = 1$.