Einige Aktionen wie 11D-Supergravitation werden "on-shell" definiert. Was bedeutet das genau? Kannst du mir ein Beispiel geben? Sagen wir zum Beispiel die Klein-Gordon-Aktion. Kann dies auch auf der Shell definiert werden?
Die Körper einer supersymmetrischen Theorie bilden eine Darstellung der Super-Poincare-Algebra. Wenn diese Darstellung auf einen bestimmten Wert des Massenoperators beschränkt ist , wird die Repräsentation Multiplett der On-Shell-Repräsentation genannt.
Einschalendarstellungen zeichnen sich durch die Gleichheit der Anzahl von bosonischen und fermionischen Zuständen aus. Wenn wir versuchen, supersymmetrische Lagrange-Operatoren basierend auf den Feldern aus den Multipletts der On-Shell-Darstellung zu konstruieren, beobachten wir, dass die Algebra der Super-Poincaré-Noether-Ladungen nur für Feldkonfigurationen schließt, die die Bewegungsgleichung erfüllen. Aus diesem Grund werden solche Aktionen als On-Shell bezeichnet.
Der tiefere Grund für dieses Problem liegt darin, dass die bosonischen und fermionischen Felder (entsprechend ihrem Spin) im Gegensatz zu den Zuständen eine andere Anzahl von Komponenten haben als die entsprechende Anzahl von Zuständen (mit Ausnahme des neutralen Skalarfelds). Aber Supersymmetrie hat eine strenge Regel von Boson # = Fermion # auf jeder Ebene, so dass zusätzliche bosonische Felder benötigt werden, um die fermionische Anzahl von Komponenten auszugleichen. Es gibt Fälle, in denen die zusätzlichen (Hilfs-)Felder in geeigneter Weise zum Lagrange-Operator hinzugefügt werden können, so dass die Supersymmetrie-Algebra basierend auf dem vollständigen Satz von Feldern ohne Anwendung der Bewegungsgleichungen schließt. In diesem Fall bildet das aus dem Original- und den Hilfsfeldern zusammengesetzte Multiplett eine Off-Shell-Darstellung der Supersymmetrie-Algebra. Die Bewegungsgleichungen dieser Hilfsfelder sind algebraisch,
Es gibt supersymmetrische Theorien, die keine bekannten Off-Shell-Formulierungen haben. Möglicherweise gibt es solche Formulierungen gar nicht. Dies schließt alle supersymmetrischen Theorien in Dimensionen größer als 6 ein. Andererseits hat die minimale Supergravitationstheorie in 4 Dimensionen viele unäquivalente Off-Shell-Formulierungen.
Der Grund dafür, dass angenommen wird, dass eine Off-Shell-Formulierung notwendig ist, besteht darin, dass die On-Shell-Formulierung nicht für eine Pfadintegralquantisierung geeignet ist. Während die triviale Pfadintegration der Hilfsfelder durchgeführt werden kann, um die On-Shell-Theorie zu erhalten, muss die Nichtschließung der Supersymmetriealgebra als Einschränkung in der Quantenformulierung auferlegt werden, um eine vollständig supersymmetrische Quantentheorie zu erhalten. Diese Beschränkungsoberflächen sind kompliziert, was das Quantisierungsproblem höchst nicht trivial macht. Es gibt mehrere Techniken, die die Konstruktion der Off-Shell-Aktion bei gegebener On-Shell-Aktion ermöglichen (wann immer dies möglich ist), von denen die meisten auf Superspace-Formulierungen basieren.
Die folgenden Referenzen enthalten weitere Ausarbeitungen zu diesem Thema:
1) Bitte beachten Sie die folgende Rezension von Sohnius, insbesondere Abschnitt 5.4, der dieses Thema behandelt.
2) Die folgende Übersicht von Gates, Linch, Philips und Rana beschreibt die relativ hochmodernen offenen Probleme der Off-Shell-Formulierung supersymmetrischer Theorien.
3) Auch die folgende relativ neue Forschungserklärung von Gregory Landweber und die darin enthaltenen Referenzen beschreiben einige fortschrittliche Techniken, die Menschen versuchen, für die Konstruktion von Off-Shell-supersymmetrischen Aktionen zu verwenden.
JamalS
Noiralef
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