Den Lagrange aus der Aktion in der gekrümmten Raumzeit herausholen

Question

Den Lagrange aus der Aktion in der gekrümmten Raumzeit herausholen

Aktion
Physik
Konventionen
Metrik-Tensor
lagrangescher Formalismus
qft-in-der-gekrümmten-raumzeit

Benutzer40381

Angenommen, ich habe diese Aktion:

S = \int D^{4} X \sqrt{- G} \times etwas

$S = \int \mathrm d^4 x\sqrt{-g}\times \text{something}$

Wo $g$ ist die Determinante der Metrik.

Soll ich die Lagrange-Funktion folgendermaßen annehmen:

L = \sqrt{- G} \times etwas

$\mathcal L = \sqrt{-g} \times \text{something}$

oder:

L = etwas

$\mathcal L = \text{something}$

stattdessen? Ja, das ist eine dumme Frage.

Antworten (2)

Den Lagrange aus der Aktion in der gekrümmten Raumzeit herausholen

Danu · Answer 1

Es ist in gewisser Weise nur Semantik, aber ich würde sagen, die natürliche Wahl ist es $\mathcal{L}=\sqrt{-g}\times \text{something}$ . Wenn Sie diese Definition verwenden, ist die allgemeine Form der Bewegungsgleichungen dieselbe wie bei QFT in Minkowski, mit den entsprechenden Verallgemeinerungen zur Berücksichtigung der Krümmung. Außerdem halte ich es für gängige Praxis, die Aktion zu definieren

S \equiv \int D T L = \int D^{4} X L

$S\equiv \int dt L=\int d^4x \mathcal{L}$ Dieses Formular bleibt auch erhalten, wenn die von mir vorgeschlagene Konvention angenommen wird.

John · Answer 2

John

Die natürliche Wahl ist eigentlich $\mathcal{L}=\text{something}$ , der Grund dafür ist, dass die $\sqrt{-g}$ Begriff ist natürlich mit der Volumenform gepaart $d^4x$ .

Bevor Sie die gekrümmte Raumzeit in Betracht ziehen, sollten Sie nicht kartesische Koordinaten berücksichtigen. Zum Beispiel sphärische Koordinaten

D T D X D j D z = R^{2} Sünde θ D T D R D θ D ϕ

$dt\,dx\,dy\,dz = r^2 \sin\theta\ dt\,dr\,d\theta\,d\phi$

Woher kommt dieser Begriff $r^2 \sin\theta$ komme aus? Das ist die Determinante der Jacobi-Matrix der Koordinatenänderung. Das ist die Rolle $\sqrt{-g}$ spielt, ohne die die Volumenform nicht invariant wäre, um Änderungen zu koordinieren.

Wenn Sie es anders trennen würden, wären weder die Lagrange-Dichte noch die Volumenform Lorentz-invariant. Es macht also viel mehr Sinn, die zu behalten $\sqrt{-g}$ mit der Integration, und behalten $\mathcal{L}$ nur eine Lagrange-Dichte.

Arthur Suworow

Ich stimme @PhysStudent zu, die natürliche Wahl ist in der Tat

L = something

$\mathcal{L} = \text{something}$ . Der

\sqrt{- g} d x^{0} \land d x^{1} \dots

$\sqrt{-g} dx^{0} \wedge dx^{1} \cdots$ Teil, der in der erscheint

a c t i o n

$\mathit{action}$ ist die Volumenform auf der Mannigfaltigkeit. Per Definition haben wir, dass die Aktion als Integral über den Raum genommen wird (sagen wir

Ω

$\Omega$ ), wobei die Lagrange-Dichte definiert ist:

S := \int_{Ω} L = \int d^{4} x \sqrt{- g} L

$\mathcal{S} := \int_{\Omega} \mathcal{L} = \int d^{4} \boldsymbol{x} \sqrt{-g} \mathcal{L}$ .

Arthur Suworow

Das Problem mit der Definition

L = \sqrt{- g} \times \dots

$\mathcal{L} = \sqrt{-g} \times \cdots$ ist, dass es nur für Lorentz-Mannigfaltigkeiten funktioniert. Wenn Sie dann (aus welchen Gründen auch immer) an einem Riemannschen Raum arbeiten wollten, ist Ihre Definition nicht mehr gültig. Wenn Sie jede Spur der entfernen

\sqrt{- g}

$\sqrt{-g}$ aus dem Lagrange und sagen, dass es in der Volumenform innerhalb der Handlung entsteht, dann kann niemals eine Inkonsistenz entstehen.

JamalS

Ich stimme Ihren Punkten zu, aber um die Euler-Lagrange-Gleichungen abzuleiten, nehmen wir normalerweise

L = \sqrt{| g |} \times \dots

$\mathcal{L}=\sqrt{|g|} \times \dots$ ?

Leere

Wenn Sie die vergessen

\sqrt{- g}

$\sqrt{-g}$ Begriff in der Kosmologie, Ihre Materie wird nicht verdünnt usw. Wenn Sie auf einem gekrümmten und dynamischen Hintergrund arbeiten, wäre es ein grundlegender Fehler, den auszulassen

\sqrt{- g}

$\sqrt{-g}$ Begriff.

Leere

Plus, beachten Sie das nur mit dem

\sqrt{- g}

$\sqrt{-g}$ Begriff der Lagrange ist wirklich eine Dichte .

John

@JamalS Um die Euler-Lagrange-Gleichungen abzuleiten, beginnen wir mit der Aktion, da sie aus dem Prinzip der stationären Aktion stammt. Ich bin mir also nicht sicher, warum Sie denken, a

\sqrt{- g}

$\sqrt{-g}$ wird weggelassen.

John

@Void Wenn du das sagst

\sqrt{- g}

$\sqrt{-g}$ benötigt wird, um die Lagrange-Transformation wie eine skalare Dichte zu haben, dann sagen Sie

d^{4} x

$d^4x$ verwandelt sich gut ohne den g-Faktor? Es scheint, als ob das obige sphärische Koordinatenargument (oder nur die Definition, die Arthur verwendet) damit nicht übereinstimmt.

Leere

@PhysStudent Nun, dann hätten Sie in Ihren Euler-Lagrange-Gleichungen nicht

L

$\mathcal{L}$ Aber

L \sqrt{- g}

$\mathcal{L} \sqrt{-g}$ aufgrund der

\partial_{x^{μ}}

$\partial_{x^\mu}$ Bedingungen (

δ ϕ_{, μ}

$\delta \phi_{,\mu}$ Variationen und die per partes). Die Lagrange-Dichte sollte das sein, was in den Lagrange-Gleichungen auftaucht, oder nicht? Die ganze Argumentation mit Volumenformen ist fehlerhaft, wenn es um nicht orientierbare Mannigfaltigkeiten geht - wir sprechen hier wirklich von Dichten, nicht von Volumenformen.

d^{4} x

$d^4 x$ ist dann nur eine Dichte von anderem Gewicht .

John

@Void Okay, vielleicht ist das dann nur eine Notationskonvention, weil ich das noch nie gesehen habe

\sqrt{- g}

$\sqrt{-g}$ in die Lagrange-Dichte subsumiert. Stattdessen bleibt es wie bei der Einstein-Hilbert-Aktion mit dem Volumenterm gepaart

Kosm

@John In der Supergravitation über Superspace-Formalismus, chirale Dichte (einschließlich

\sqrt{- g}

$\sqrt{-g}$ als niedrigste Komponente) wird üblicherweise in die Lagrange-Dichte aufgenommen.

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Benutzer40381

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