Minuszeichen in der Definition des relativistischen Impulses

Nehmen wir den metrischen Tensor$η_{μν}=(+,-,-,-)$und Lagrange$L=-m\sqrt{\dot{x}_{\mu }\dot{x}^{\mu }}$.Durch die Definition von Momentum

$$p_{\alpha }=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^{\alpha }}=-\frac{m\dot{x}% _{\alpha }}{\sqrt{\dot{x}_{\mu }\dot{x}^{\mu }}}$$ oder $p^{\alpha}=-\frac{m\dot{x}^{\alpha }}{\sqrt{\dot{x}_{\mu }\dot{x}^{\mu }}}$dann reparieren wir $x^{0}=t$und schließlich bekommen wir

$$p^{0}=E=-\frac{m}{\sqrt{1-v^{2}}}$$

$$\vec{p}=-\frac{m\vec{v}}{\sqrt{1-v^{2}}}$$

Es gibt also ein zusätzliches Minuszeichen in der Definition Energie-Impuls. Sollen wir den Impuls mit Minuszeichen definieren?

$$p_{\alpha }=-\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^{\alpha }}$$