Hochgestellte vs. tiefgestellte Indizes in der Euler-Lagrange-Gleichung in relativistischen Feldtheorien

Question

Hochgestellte vs. tiefgestellte Indizes in der Euler-Lagrange-Gleichung in relativistischen Feldtheorien

Physik
Notation
Relativität
Konventionen
Metrik-Tensor
Tensorkalkül

Heng Fai Chang

In der Literatur zu Feldtheorien in flacher Raumzeit werden beide Formen der Euler-Lagrange-Gleichung verwendet.

Betrachten Sie zB ein reelles Skalarfeld $\phi$

\begin{matrix} (A) & \partial_{μ} \frac{\partial L}{\partial ϕ,_{μ}} = \frac{\partial L}{\partial ϕ} Wo ϕ,_{μ} = \frac{\partial ϕ}{\partial X^{μ}} \end{matrix}

$\partial_\mu\frac{\partial L}{\partial \phi,_\mu}=\frac{\partial L}{\partial \phi}\qquad\text{where}\qquad\phi,_\mu = \frac{\partial \phi}{\partial x^\mu}\tag{a}$

\begin{matrix} (B) & \partial^{μ} \frac{\partial L}{\partial ϕ,^{μ}} = \frac{\partial L}{\partial ϕ} Wo ϕ,^{μ} = \frac{\partial ϕ}{\partial X_{μ}} \end{matrix}

$\partial^\mu\frac{\partial L}{\partial \phi,^\mu}=\frac{\partial L}{\partial \phi}\qquad\text{where}\qquad\phi,^\mu = \frac{\partial \phi}{\partial x_\mu}\tag{b}$

Seit $\partial^\mu = \pm \partial_{\mu}$ , sind die beiden Formen offensichtlich einander äquivalent. Allerdings fühle ich mich manchmal ziemlich unwohl mit Form b. Ursprünglich wurde das Raumzeit-Volumenelement als definiert $dtdxdydz = \prod_{\mu}dx^\mu$ . Form b der Euler-Gleichung impliziert, dass wir die Lagrange-Funktion und das Feld denken $\phi$ als Funktion von $x_\mu$ im Aktionsintegral und im Verlauf der Variationsrechnung. Ich würde gerne wissen, ob es möglich ist, das Raumzeitvolumen als zu betrachten $\prod_{\mu}dx_\mu$ damit alles mathematisch konsistent ist?

(Ich denke, es ist etwas unnatürlich, die Aktion zu betrachten $S = \int L$ als Integration bzgl $x_{\mu}$ . Ich verstehe, dass diese Frage möglicherweise keine physikalische Bedeutung hat, aber ich möchte die Antwort der mathematischen Klarheit wegen wissen.)

AccidentalFourierTransform

Im Allgemeinen nein: Der natürliche Rahmen für Integration (und Differenzierung) ist der Raum der Formen. Andererseits erfordern Vektoren die Einführung einer zusätzlichen Struktur, wie z. B. einer Metrik und einer Verbindung. Bitte belassen Sie das Volume-Formular so wie es ist.

Heng Fai Chang

Danke für deine Kommentare und Klarstellung. Ich kann nur teilweise verstehen, was Sie meinen, da meine mathematischen Kenntnisse nicht so ausgereift sind wie Ihre. Andererseits geht mein Argument so: In einer Mannigfaltigkeit, die durch eine krummlinige Koordinate beschrieben wird

x^{μ}

$x^\mu$ , sowas gibt es nicht

x_{μ}

$x_\mu$ als Koordinate

x^{μ}

$x^\mu$ selbst haben keine kontravariante vektorielle Bedeutung, und es wäre lächerlich, über das kovariante Gegenstück zu sprechen

x_{μ}

$x_{\mu}$ . Die Koordinate

x^{μ}

$x^\mu$ ist nur eine Bezeichnung eines Punktes im Raum und das Volumenelement könnte nur als ausgedrückt werden

\sqrt{g} \prod_{μ} d x^{μ}

$\sqrt{g}\prod_{\mu}dx^\mu$ .

AccidentalFourierTransform

Das ist völlig richtig.

Heng Fai Chang

Dieser Kommentar ist eine Fortsetzung des letzten. Aus den oben genannten Gründen denke ich, dass es besser ist, das Volumenelement immer als zu betrachten

\sqrt{g} \prod_{μ} d x^{μ}

$\sqrt{g}\prod_{\mu}dx^\mu$ egal mit welcher Geometrie und Koordinate wir arbeiten.

Antworten (1)

Hochgestellte vs. tiefgestellte Indizes in der Euler-Lagrange-Gleichung in relativistischen Feldtheorien

Im Allgemeinen nein: Der natürliche Rahmen für Integration (und Differenzierung) ist der Raum der Formen. Andererseits erfordern Vektoren die Einführung einer zusätzlichen Struktur, wie z. B. einer Metrik und einer Verbindung. Bitte belassen Sie das Volume-Formular so wie es ist.
Danke für deine Kommentare und Klarstellung. Ich kann nur teilweise verstehen, was Sie meinen, da meine mathematischen Kenntnisse nicht so ausgereift sind wie Ihre. Andererseits geht mein Argument so: In einer Mannigfaltigkeit, die durch eine krummlinige Koordinate beschrieben wird $x^\mu$ , sowas gibt es nicht $x_\mu$ als Koordinate $x^\mu$ selbst haben keine kontravariante vektorielle Bedeutung, und es wäre lächerlich, über das kovariante Gegenstück zu sprechen $x_{\mu}$ . Die Koordinate $x^\mu$ ist nur eine Bezeichnung eines Punktes im Raum und das Volumenelement könnte nur als ausgedrückt werden $\sqrt{g}\prod_{\mu}dx^\mu$ .
Dieser Kommentar ist eine Fortsetzung des letzten. Aus den oben genannten Gründen denke ich, dass es besser ist, das Volumenelement immer als zu betrachten $\sqrt{g}\prod_{\mu}dx^\mu$ egal mit welcher Geometrie und Koordinate wir arbeiten.

QMechaniker · Answer 1

Wenn $x^{\mu}$ mit hochgestellten Zeichen bezeichnet lokale Raumzeitkoordinaten, dann wir normalerweise $^1$ Definieren Sie die tiefgestellte Version als
$X_{μ} := G_{μ v} X^{v},$ $x_{\mu} ~:=~ g_{\mu\nu}x^{\nu},$ Wo $g_{\mu\nu}$ ist das (0,2)-Raumzeit-Metrik-Tensorfeld.
Innerhalb von SR lassen wir nur affine Koordinatentransformationen zu , so dass $x^{\mu}$ transformiert als (Komponenten von) einem (1,0) Tensorfeld und $x_{\mu}$ als (Komponenten von) einem (0,1)-Tensorfeld transformiert, und Sie können beide Schreibweisen verwenden.
Innerhalb von GR erlauben wir allgemeine Koordinatentransformationen und keine davon $x^{\mu}$ Und $x_{\mu}$ dann als (Komponenten von) Tensorfeldern transformieren. Jedoch $\partial/\partial x^{\mu}$ transformiert als (Komponenten von) einem (0,1) Tensorfeld, während $\partial/\partial x_{\mu}$ transformiert sich nicht als (Komponenten von) einem (1,0)-Tensorfeld. Ähnlich, $\mathrm{d}x^{\mu}$ transformiert als (Komponenten von) einem (1,0)-Tensorfeld, während $\mathrm{d}x_{\mu}$ transformiert sich nicht als (Komponenten von) einem (0,1)-Tensorfeld. Daher die Hochstellung $x^{\mu}$ wird bevorzugt, um die Kovarianz aufrechtzuerhalten.

--

$^1$ Das ist natürlich letztlich eine Frage der Konvention.

Vielen Dank für Ihren Kommentar. Neben der Betrachtung der Transformationseigenschaften können wir auch verstehen, warum eine Betrachtung keinen Sinn macht $x_{\mu}$ im Rahmen von GR. Die Operation $V_{\mu} = g_{\mu\nu}V^\nu$ macht nur Sinn wann $V_{\mu},V^{\nu}$ sind wirklich Komponenten eines Vektors V. Für eine krummlinige Koordinate, die eine gekrümmte Raumzeit beschreibt, ist es nicht möglich, der Koordinate irgendeine vektorielle Bedeutung zuzuschreiben, die Koordinate ist nur eine Bezeichnung eines Punktes im Raum. Andererseits sind kartesische Koordinaten im flachen Raum (Zeit) tatsächlich Komponenten des Vektors
Danke für die Rückmeldung. Ich stimme grundsätzlich zu. (Kleiner Kommentar: Seien Sie vorsichtig mit der Verwendung des Wortes krummlinig , das üblicherweise auf affine Räume beschränkt ist.)

Hochgestellte vs. tiefgestellte Indizes in der Euler-Lagrange-Gleichung in relativistischen Feldtheorien

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AccidentalFourierTransform

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