Warum brauchen wir Tensoren in der modernen Physik?

Es ist allgemein bekannt, dass die Anwendung von Logik unser Wissen niemals erweitert: Ihre Rolle besteht darin, einen bestimmten Aspekt dieses Wissens klarer oder expliziter zu machen, während sie den Rest praktischerweise aus unserem Blickfeld hält.

Dies ist ein Zitat von Tommaso Toffoli in „Entropy? Honest!“. Entropie 18 , 247 (2016). doi: 10.3390/e18070247 . Das Lesen Ihrer Frage hat mich daran erinnert, weil es so ziemlich der Punkt ist: Wir müssen unsere Gleichungen nicht in Tensorform schreiben, wir könnten sie tatsächlich einfach in Bezug auf jede einzelne Komponente schreiben (wichtiger Hinweis: Das wären keine Skalare , denn sie würden sich nicht als Skalare umwandeln). Allerdings verbergen sich dahinter oft interessante Eigenschaften dessen, womit wir es zu tun haben, die unser Leben erheblich erleichtern könnten (siehe zB diese brillante Antwort von Terence Tao auf eine ähnliche Frage in Math Overflow).

Im Fall von Tensoren ist unser Hauptinteresse, dass ihre Komponenten wohldefinierte Transformationseigenschaften bei Koordinatenänderungen haben und tief im Inneren geometrisch invariant sind, und das ermöglicht es Ihnen, viel mehr zu sehen und zu verstehen, als Sie es sonst tun würden.

Nehmen Sie zum Beispiel den Ausdruck$\mathbf{F} = m \mathbf{a}$in Klassischer Mechanik. Dies wird in Form von Rang-1-Tensoren (Vektoren) geschrieben, aber wir könnten es als drei Gleichungen in Komponenten schreiben. Es würde lesen

$$\left\lbrace \begin{aligned} F_x &= m a_x, \\ F_y &= m a_y, \\ F_z &= m a_z, \end{aligned} \right.$$ wobei ich kartesische Koordinaten verwendet habe. Nehmen wir an, Sie haben bereits gemessen$F_x$,$F_y$, Und$F_z$experimentell und will nun die Beschleunigung in jede Richtung bestimmen. Sie bemerken jedoch, dass Sie Ihr Setup durcheinander gebracht haben und eigentlich wollten Sie, dass die Komponenten der Beschleunigung in einem etwas anderen Winkel eingedreht werden$45º$um die$z$Achse in Bezug auf das von Ihnen gewählte System. Dann berechnet man die Transformation und stellt fest, dass die vorherigen Gleichungen jetzt lauten, nachdem wir sie transformiert haben, $$\left\lbrace \begin{aligned} \frac{\sqrt{2}}{2} F_x - \frac{\sqrt{2}}{2} F_y &= m a_{x'}, \\ \frac{\sqrt{2}}{2} F_x + \frac{\sqrt{2}}{2} F_y &= m a_{y'}, \\ F_z &= m a_{z'}, \end{aligned} \right.$$ Vorausgesetzt ich habe nichts falsch gemacht. Hätten Sie sich entschieden, mit Vektoren zu arbeiten, würde die Gleichung lauten $$\mathbf{F} = m \mathbf{a},$$ denn während sich Vektorkomponenten unter einem Basiswechsel transformieren, sind Vektoren selbst geometrische Objekte, die nicht von der Basis abhängen.

Dies ist natürlich nur ein Beispiel, Sie müssten die Komponenten berechnen, um zu Ihrer endgültigen Berechnung zu gelangen. Beachten Sie jedoch, wie das Schreiben in Vektornotation automatisch die Invarianzeigenschaften von Vektoren verwendet. Sie können wählen, ob Sie komponentenweise schreiben möchten, aber das zerstört nicht die Vektoren, die unter Ihren Berechnungen liegen, es verbirgt sie nur. Die Komponenten werden immer noch als Vektoren transformiert und die Vektoren sind immer noch da, Sie sehen sie sich nur nicht an, und infolgedessen fehlen Ihnen einige Informationen, die die Dinge viel einfacher machen könnten. Der Punkt ist nicht, dass sie eine Möglichkeit sind, Berechnungen zu organisieren (man muss früher oder später oft mit den Komponenten arbeiten), sondern dass es "versteckte" Symmetrien und Eigenschaften gibt, die deutlich werden, sobald man die Formeln in eine geeignete Notation gegossen hat .

An dieser Stelle sei auf den Kommentar von Dvij DC hingewiesen (den ich hier hinzufüge, falls er in Zukunft gelöscht wird).

Tensoren machen nicht nur die zugrunde liegenden Symmetrien deutlicher, sondern sie sind die einzige basisunabhängige/koordinatenunabhängige Art, Physik auszudrücken. Die Tensorkomponenten$T_{\mu\nu}$transformieren unter einem Basiswechsel aber den Tensor selbst$\textbf{T} = T_{\mu\nu} \textbf{e}^{\mu} \otimes \textbf{e}^{\nu}$bleibt unveränderlich.

Beachten Sie, dass dies dem Schreiben von Newtons zweitem Gesetz in Komponenten und in Vektorform ähnlich ist. Vektoren sind einfach Rang-1-Tensoren, und wenn sie verwendet werden, werden unsere Gleichungen automatisch auf invariante Weise unter Rotationen ausgedrückt.

Betrachten Sie als zweites Beispiel den Ausdruck$\mathbf{p \cdot q}$geschrieben in zwei anderen unterschiedlichen Schreibweisen. Die erste, in Einstein-Notation, die lauten würde

$$\mathbf{p \cdot q} = p_i q^i,$$ und der zweite ist der Ausdruck in kartesischen Koordinaten, $$\mathbf{p \cdot q} = p_x q_x + p_y q_y + p_z q_z.$$

Beide Ausdrücke sind tautologisch. Keiner von ihnen fügt uns intrinsisches Wissen hinzu. Der Ausdruck in Einstein-Notation macht jedoch deutlich, dass das Objekt unter Drehungen invariant ist, während das zweite viele Objekte hat, die sich auf komplizierte Weise transformieren, und Sie sind sich nicht sicher, ob sich der Ausdruck ändern würde, wenn Sie dies wünschen Arbeiten Sie mit verschiedenen Koordinaten.

Im Prinzip kann man komponentenweise alles machen, was wir mit Tensoren machen. Es ist ähnlich wie die Suche nach einer Nadel im Heuhaufen: Sie können es tun, indem Sie genau hinsehen und schließlich werden Sie es finden, aber Sie können auch das zusätzliche Wissen nutzen, dass die Nadel aus Eisen besteht, und einen Magneten verwenden.

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Zusätzliche Beispiele

Quantenmechanik

Ein weiteres Beispiel für die Verwendung von Tensoren in der Physik, wenn auch in einer besonders spezifischen Notation, findet sich in der Quantenmechanik. Der Einfachheit halber bleibe ich beim Rotationsbeispiel. Angenommen, Sie haben eine Messung durchgeführt und festgestellt, dass Sie Ihre Koordinaten vorher hätten drehen sollen, und so weiter. Wenn Sie die Zustände in Form von Wellenfunktionen bezeichnen, werden Sie herausfinden, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen in diesem Zustand hergestellt wird$\psi(x)$im Staat zu messen$\phi(x)$Ist

$$P(\phi|\psi) = \left\vert \int \phi^*(x) \psi(x) \mathrm{d}^3{x} \right\vert^2$$ vor der Drehung und nach der Drehung $$P'(\phi|\psi) = \left\vert \int \phi'^*(x) \psi'(x) \mathrm{d}^3{x} \right\vert^2,$$ Wo$\psi'$ist die Wellenfunktion$\psi$nach der Drehung des Koordinatensystems. Öffnen Sie den entsprechenden Ausdruck für$\psi'$Und$\phi'$, wird man schließlich feststellen, dass die Wahrscheinlichkeit natürlich dieselbe ist. In der Dirac-Notation jedoch, die die Tatsache nutzt, dass die Objekte, mit denen wir es zu tun haben, Vektoren sind, würde man schreiben $$P(\phi|\psi) = \vert\langle \phi \vert \psi \rangle\vert^2$$ vor der Drehung u $$P'(\phi|\psi) = \vert\langle \phi' \vert \psi' \rangle\vert^2.$$ Da Rotationen in der Quantenmechanik durch unitäre Operatoren implementiert werden, hat man das dann$\vert\psi'\rangle = U \vert\psi\rangle$für einen unitären Operator$U$. Daher ist die gedrehte Version $$P'(\phi|\psi) = \vert\langle \phi' \vert \psi' \rangle\vert^2 = \vert\langle \phi \vert U^\dagger U \vert \psi \rangle\vert^2 = \vert\langle \phi \vert \psi \rangle\vert^2 = P(\phi|\psi),$$ und das Ergebnis ist die sofortige Verwendung von Eigenschaften der linearen Algebra, ohne dass irgendetwas mit Kalkül manipuliert werden muss.

Ein weiteres Beispiel ist, wie man den harmonischen Quantenoszillator in Form von Leiteroperatoren lösen kann , anstatt Differentialgleichungen zu lösen. Es nutzt die in den Wellenfunktionen verborgene lineare Struktur aus und ermöglicht es, mit viel weniger Aufwand eine Lösung zu erhalten.

Relativität

Ausdrücke, die in Form von Tensoren in der Relativitätstheorie geschrieben sind, funktionieren garantiert in allen Referenzrahmen, da Tensoren geometrische Objekte sind. Dies ähnelt meinem vorherigen Beispiel dafür, wie das Arbeiten in Vektornotation die Berücksichtigung der Drehungen viel einfacher gemacht hat.

Nehmen Sie zum Beispiel den berühmten Ausdruck

$$E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4.$$ In dieser Form ist es nicht offensichtlich, dass diese Formel in jedem Inertialsystem gilt (es sei denn, Sie sind bereits gut mit der Relativitätstheorie vertraut und kennen die Tatsache auswendig). Die gleiche Formel kann jedoch geschrieben werden als $$p^\mu p_\mu = m^2 c^2,$$ Wo$p^\mu = (\frac{E}{c}, \mathbf{p})^\intercal$, was explizit zeigt, dass der Ausdruck unveränderlich ist.

Ein weiteres Beispiel ist die Tatsache, dass der relativistische Dopplereffekt für eine Quelle in gleichförmiger linearer Bewegung darauf hinausläuft, dies zu bemerken$k^\mu u_\mu$ist eine Invariante,$k^\mu = (\frac{\omega}{c}, \mathbf{k})^\intercal$ist der Vierimpuls der Welle und$u^\mu$die Vier-Geschwindigkeit der Quelle ist. Indem man die Invariante in zwei verschiedenen Rahmen berechnet, von denen einer die Quelle in Ruhe hat, gelangt man auf unglaublich einfache Weise zum Ausdruck für die Frequenzverschiebung. Nehmen wir nämlich an, dass die Welle im Ruherahmen der Quelle liegt$k^\mu = (\frac{\omega_0}{c}, \mathbf{k}_0)^\intercal$, während in einem anderen Rahmen die Quelle hat$u^\mu = (\gamma c, \gamma \mathbf{v})^\intercal$und die Welle hat$k^\mu = (\frac{\omega}{c}, \mathbf{k})^\intercal$. Dann

$$\begin{align} k^\mu u_\mu\vert_{\text{rest}} &= k^\mu u_\mu\vert_{\mathbf{v}}, \\ - \omega_0 &= \gamma(-\omega + \mathbf{k \cdot v}). \end{align}$$

Lass uns schreiben$\mathbf{k} = \frac{\omega}{c} \mathbf{\hat{n}}$, Wo$\mathbf{\hat{n}}$ein Einheitsvektor ist (dass dies möglich ist, kommt aus der üblichen Wellenmechanik). Dann

$$\omega_0 = \omega\gamma\left(1 - \frac{\mathbf{n \cdot v}}{c}\right),$$ und wir schließen daraus $$\frac{\omega}{\omega_0} = \frac{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}{1 - \frac{\mathbf{n \cdot v}}{c}}.$$

Diese Herleitung kommt einfach so direkt, weil uns das von Anfang an aufgefallen ist$k^\mu u_\mu$ist eine relativistische Invariante, etwas, das von der Tensornotation begünstigt wird: Das Fehlen "freier" Indizes sagt uns, dass die Größe eine Invariante ist.

Ich denke, andere werden längere Antworten geben, aber ein offensichtlicher Punkt ist, dass die Tensornotation es einfach macht, skalare Invarianten zu bilden und zu erkennen (dh Größen, die unabhängig von Drehungen des Koordinatensystems sind).

Allgemeiner gesagt, wenn ein Phänomen bestimmte Symmetrien in Bezug auf Koordinatenänderungen hat, wie z. B. Rotationen, dann muss es möglich sein, es in einer Gleichung auszudrücken, in der jeder Term ein Tensor (mit einem geeigneten Rang) ist. Diese Beobachtung macht es manchmal leicht, den passenden Ausdruck abzuleiten. Man untersucht das Phänomen in einer Auswahl von Koordinaten, wo es auf einfache Weise herauskommt, oder zumindest auf eine Weise, die man berechnen kann, und man drückt seine Form in diesem Koordinatensystem aus, aber unter Verwendung geeignet gewählter Tensoren. Damit hat man sofort einen Ausdruck, der prinzipiell in allen Frames gültig sein kann. Man muss nur prüfen, ob es keine weiteren Terme gibt, die im ersten Frame zufällig Null waren.

Hier ist eine Antwort aus der Sicht eines Mathematikers:

Tensoren sind für die Differentialgeometrie notwendig. Die Differentialgeometrie ist zwangsläufig die Sprache der Physik.

Ich erkläre das mal umgekehrt. Physiker müssen den Raum, von dem festgestellt wurde, dass er gekrümmt ist, aus diesem Raum heraus untersuchen.

Differentialgeometrie ist die Untersuchung bestimmter Strukturen an bestimmten Objekten.

Die fraglichen Objekte sind "Mannigfaltigkeiten", raumähnliche Objekte, die "aussehen wie" flacher Raum, wenn Sie weit genug hineinzoomen. Unsere Welt verhält sich so, weil die klassische Grenze funktioniert. Die Strukturen auf ihnen werden "Metriken" genannt und kodieren Informationen, die es einem ermöglichen, etwas "wie" Standardgeometrie zu konstruieren, Längen von Kurven in der Mannigfaltigkeit, Winkel zwischen Vektoren zu definieren, die die Mannigfaltigkeit berühren, und so weiter. Wir möchten Winkel und Längen haben, um Physik zu machen, also sind diese Strukturen auch notwendig.

Kritischerweise entscheiden sich Mathematiker dafür, diese Objekte auf eine intrinsische Weise zu beschreiben, indem sie nur Objekte verwenden, die in Form von Punkten der Mannigfaltigkeit definiert sind, und nicht ansprechen, dass sich die Mannigfaltigkeit „innerhalb“ eines größeren Raums befindet (dies wird als eingebettete Oberfläche bezeichnet, und interessanterweise gibt es viele Mannigfaltigkeiten, die in keine Oberfläche eingebettet werden können, weshalb sich Mathematiker dafür entschieden haben, Mannigfaltigkeiten intrinsisch zu untersuchen). Das ist für die Physik sehr hilfreich, da wir die Struktur des Weltraums von außen nicht beobachten können.

Um Tensoren in der Differentialgeometrie zu erklären, muss man duale Vektorräume verstehen: Ein dualer Vektor ist eine Funktion, die einen Vektor aufnimmt und einen Skalar ausgibt. A$(r, k)$Tensor ist dann eine Funktion mehrerer Variablen, wobei er eingeht$r$Normalvektoren u$k$duale Vektoren und Ausgabe eines Skalars.

Warum dies nützlich ist: Um die Krümmung einer Mannigfaltigkeit intrinsisch zu beschreiben, ohne auf Kreise zu verweisen, die den Raum tangieren, und andere Dinge, die man in Kalkül 3 tun könnte, verwenden Mathematiker ein Objekt namens Krümmungstensor . Es nimmt zwei Tangentenvektoren (wieder einmal intrinsisch definiert; es ist wirklich kontraintuitiv und hier nicht notwendig) an den Verteiler und gibt eine Zahl aus, die der Stärke der Biegung des Verteilers entspricht.

Ein weiteres Beispiel ist der metrische Tensor , den man aus der allgemeinen Relativitätstheorie kennt. Auf den in GR untersuchten 4-dimensionalen Pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeiten ist dies die Minkowski-Metrik, dargestellt als

$$\eta = \begin{pmatrix}-1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$$

Es ist wichtig zu beachten, dass die Matrix, die einen Tensor darstellt , und der Tensor selbst unterschiedlich sind. Diese Verwirrung ist darauf zurückzuführen, dass Naturwissenschaftler ihren Studenten nicht die richtigen endlichdimensionalen Vektorräume beibringen, aber ich schweife ab. Eine Matrix ist eine Möglichkeit, Informationen über eine lineare Karte oder einen Tensor zu speichern , sie ist nicht der Tensor selbst in beiden physikalischen Begriffen (der mit dem hier kompatiblen ist, aber das ist kompliziert und erfordert eine Änderung des sogenannten Atlas der Mannigfaltigkeit, um verschiedene Koordinatenfunktionen zu haben) oder die mathematische. Beispielsweise misst die Minkowski-Metrik die Länge. Es wirkt also nichtwie eine lineare Karte, die einen Vektor erzeugt und die Sie wahrscheinlich daran gewöhnt sind, Matrizen darzustellen. Die Metrik verhält sich tatsächlich wie

$$\eta(v,w)=v^T\eta w=\begin{pmatrix} v_1 & v_2 & v_3 &v_4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \\ w_4\end{pmatrix}$$ Also die lineare Karte dargestellt durch$\eta_{ij}$und der Tensor dargestellt durch$\eta_{ij}$sind zwei extrem unterschiedliche Objekte. Die eine ist eine lineare Abbildung zwischen zwei vierdimensionalen Vektorräumen; die andere ist eine Abbildung von Paaren von Elementen eines vierdimensionalen Vektorraums auf das Feld der Skalare.

Interessanterweise gab es eine Arbeit, die ich von Moon und jemand anderem gesehen habe, die etwas namens „Holors“ definiert; Sie waren daran interessiert, die Eigenschaften dieser mehrdimensionalen Arrays zu untersuchen, die wir verwenden, um Informationen nach ihren eigenen Vorzügen zu speichern. Soweit ich das beurteilen konnte, gab es dort keine enorme Menge an erschütternd neuer Arbeit, aber eine sehr gute Darstellung. Ich erinnere mich entweder daran, oder die Biographien der Autoren haben mir irgendwo einen etwas verschrobenen Eindruck gemacht, aber es ist sehr schwer, in Mathematik ein Spinner zu sein, also werde ich das Buch trotzdem vorschlagen.

EDIT: Als allgemeines Beispiel dafür, wie einfach dies die Physik macht, bin ich derzeit in einer einsemestrigen mathematischen QFT-Klasse mit Differentialgeometrie als Voraussetzung. Die Klasse unterrichtet mehrere Leute, die sich vielleicht an Schnipsel aus 8-jährigen Studienanfängern in allgemeiner Physik erinnern, nicht mehr. Dennoch beabsichtigt der Professor, die gesamte klassische Mechanik, die gesamte traditionelle Quantenmechanik, die Eichtheorie und den Batalin-Vilkovsky-Formalismus der Quantenfeldtheorie zu erklären, indem er sich ein Semester lang 3 Stunden pro Woche trifft. Indem alles auf diese (für Mathematikstudenten sehr vertraute) Weise behandelt wird, sogar die klassische Mechanik, ist es sehr schnell und einfach, ein respektables technisches Verständnis physikalischer Theorien zu erlangen.

Tensoren sind höherdimensionale Vektoren. Hier ist nicht die Umgebungsdimension höher, sondern die Dimension des Pfeils selbst.

Das bedeutet, dass ein 2-Vektor zwei Möglichkeiten zum Addieren hat, während ein 5-Vektor 5 Möglichkeiten zum Addieren hat und so weiter.

Sie sind nützlich in der Kontinuumsmechanik, Quantenmechanik und allgemeinen Relativitätstheorie. Bei letzteren handelt es sich bei den sogenannten Tensoren eigentlich um Tensorfelder.

Auch in der klassischen Mechanik brauchen wir Tensoren. Zum Beispiel wird der Drehimpuls normalerweise durch das Kreuzprodukt von Verschiebung und Impuls gegeben und ist ein axialer Vektor. Es stellt sich heraus, dass dies nur in 3d funktioniert, in höheren Dimensionen gibt es kein Kreuzprodukt (außer 7d) und es wird durch einen antisymmetrischen 2d-Tensor ersetzt. Dies zeigt, dass Tensoren dieses Konzept natürlich eher beschreiben als axiale Vektoren. Tatsächlich sollte überall dort, wo ein Kreuzprodukt verwendet wird, ein solcher Tensor ersetzt werden.

Für viele Anwendungen ist die Verwendung der Tensornotation oder nicht-tensorialen Notation nur eine Frage der Bequemlichkeit oder persönlichen Präferenz. Wenn Sie beispielsweise ein Ingenieur sind, der etwas über die Bewegung eines Autos berechnet, das schnell um eine Kurve fährt, kann es hilfreich sein, mit einem Trägheitstensor im kartesischen 3-Raum zu arbeiten und ihn in Ausdrücken mit Notation wie zu schreiben die Einstein-Summenkonvention. Aber das ist alles optional.

Der Bereich, in dem es nicht optional ist, ist die allgemeine Relativitätstheorie. GR sagt uns, dass Zeit und Raum einfach nicht so funktionieren, wie wir denken, und insbesondere sagt es uns, dass es nicht einmal so etwas wie einen globalen Bezugsrahmen oder einen globalen Satz von Raum-Zeit-Koordinaten gibt einzigartig gut geeignet für einen bestimmten Beobachter in einem bestimmten Bewegungszustand.

Darüber hinaus sagt uns GR, dass der parallele Transport von Vektoren nicht gut definiert ist, es sei denn, wir spezifizieren den Pfad, entlang dem der Vektor transportiert wird. Als konkretes Beispiel transportierte der Satellit Gravity Probe B ein Gyroskop auf einem bestimmten Weg durch die Raumzeit und maß, wie stark die Achse dieses Gyroskops am Ende dieses Vorgangs relativ zu einer Gyroskopachse, wie sie von der Erde definiert wurde, gewackelt hatte Drehachse (was einem Taumeln relativ zu den „Fixsternen“ gleichkommt).

In dem Zusammenhang, in dem GR-Effekte signifikant sind, könnten Sie mir also etwas über eine von Ihnen definierte Größe erzählen, die wie ein "Vektor" notiert ist, aber wenn es sich nicht wirklich um einen Vektor im Sinne eines Rang-1-Tensors handelt, dann hast du mir nicht wirklich gesagt, wie du dieses Ding definierst. Angenommen, wir richten diesen "Vektor" auf Arcturus, versiegeln ihn in einer Kiste und transportieren ihn auf einem Weg durch die Raumzeit und öffnen dann die Kiste am Ende wieder. Wir wollen wissen, ob es immer noch auf Arcturus zeigt oder nicht, und wenn nicht, dann in welche Richtung. Wenn Sie mir nicht garantieren können, dass es sich tatsächlich um einen Rang-1-Tensor handelt, kennen wir die Antwort auf diese Frage nicht, und ich würde behaupten, dass Sie überhaupt nicht wirklich definiert haben, was dieses Ding ist.