Ohne "Kreuzprodukt" zu sagen, erklären Sie, warum es einen schiefsymmetrischen Drehimpulstensor gibt

Drehung ist enger mit Begriffen von Fläche und Ebenen verbunden als mit Länge oder Linien. Betrachten Sie Keplers zweites Gesetz, das besagt, dass die Linie zwischen einem Planeten im Orbit und dem Fokus des Orbits die Fläche mit konstanter Geschwindigkeit überstreicht. Wenn Sie die Geschwindigkeit des Ausschweifens aus dem Bereich berechnen, stellen Sie fest, dass sie proportional zur Größe des Drehimpulses ist. Wir sollten also den Drehimpuls als eine Geschwindigkeit des Flächenüberstreichens interpretieren (im Allgemeinen muss er mit der Masse gewichtet werden). Da dies ein geometrischer Bereich ist , sollten wir dagegen voreingenommen sein, einen Vektor dafür zu verwenden, da Vektoren geometrisch Linien sind .

Beachten Sie außerdem, dass die Rotationsbewegung natürlich in einer Ebene stattfindet, insbesondere der Ebene, die durch die Geschwindigkeit und die Position aufgespannt wird. Im Planetenbeispiel bleibt diese Ebene, in der Planet und Stern liegen, ebenfalls erhalten. Die Orientierung dieser Ebene im Raum ist nämlich neben der Größe von oben der andere Teil der Erhaltungsgröße des Drehimpulses. Auch hier ist ein Vektor ein linienähnliches Ding, kein ebenenähnliches Ding, also ist er eine schlechte Wahl, um die Ausrichtung des Drehimpulses darzustellen. (Beachten Sie in 3D, dass die Vektordarstellung des Drehimpulses einen Vektor rechtwinklig zur relevanten Ebene wählt; dh der Vektor liegt genau in der Richtung, in die die Drehung nicht geht .)

Es gibt auch ein Problem bei der Auswahl der Richtung eines Vektors aus einer Ebenenorientierung. In 3D muss man sich willkürlich für die Links- oder Rechtshand-Regel entscheiden. Aber intuitiv unterscheidet die Physik (oder zumindest die klassische Physik) Ihre Hände nicht, also warum sollte unsere Darstellung der Physik in der Mathematik diese Asymmetrie brauchen? In 2D gibt es keinen Vektor senkrecht zu "der" Ebene. Und in 4 und höheren Dimensionen gibt es nicht einmal eine brauchbare Links-/Rechts-Hand-Regel. Aber in all diesen Situationen macht die Idee der Rotation immer noch Sinn. Wenn Sie einfach Ihr Beharren aufgeben , den Drehimpuls als "linienähnlichen" Vektor zu behandeln, und ihn als neues "ebenenähnliches" Objekt behandeln, verschwinden vielleicht all diese Probleme? (NB: Da wir in einem 3+1 dimensionalen Universum leben,ein praktisches Anliegen!)

Wir kommen also zu der Frage, wie wir die Kombination einer Ebenenorientierung und einer Größe als ein Objekt darstellen können, das wir einen Bivektor nennen werden (so wie ein Vektor die Kombination einer Linienorientierung und einer Größe ist). Wenn zwei orthonormale Vektoren$\mathbf{\hat u},\mathbf{\hat v}$ein Flugzeug überspannen, sagen wir$\mathbf{\hat u}\wedge\mathbf{\hat v}$ist der Bivektor, der diese Ebene darstellt, in der sich der Keil befindet$\wedge$ist ein neues Symbol, das wir gerade erfunden haben. Wir wollen, dass die Reihenfolge egal ist, da sie sich dreht$\mathbf{\hat u}$hinein$\mathbf{\hat v}$ist genau das Gegenteil von Rotieren von$\mathbf{\hat v}$hinein$\mathbf{\hat u},$also lass uns etablieren$\mathbf{\hat u}\wedge\mathbf{\hat v}=-\mathbf{\hat v}\wedge\mathbf{\hat u},$und lass uns entscheiden$\mathbf{\hat u}\wedge\mathbf{\hat v}$orientiert sich im gleichen Sinn wie die Rotation aus$\mathbf{\hat u}$hinein$\mathbf{\hat v}$(der kurze Weg). Das gibt auch$\mathbf{\hat u}\wedge\mathbf{\hat u}=0,$was die geometrische Aussage wiedergibt, dass parallele Vektoren keine Ebene "zwischen" haben. Endlich machen wir$\wedge$bilinear. Bei einer Basis für unseren gewöhnlichen Vektorraum bedeutet dies, dass der Keil aus zwei beliebigen Vektoren mit einigen Koeffizienten in eine Summe von Keilen zwischen den Basisvektoren zerlegt werden kann. Dh die Keile zwischen den Basisvektoren bilden die Basisbivektoren. In 2D die Basisvektoren$\mathbf{\hat e}_1,\mathbf{\hat e}_2$einen Basisbivektor erzeugen$\mathbf{\hat e}_1\wedge\mathbf{\hat e}_2.$In 3D der eine neue Basisvektor$\mathbf{\hat e}_3$erzeugt zwei neue Basisbivektoren$\mathbf{\hat e}_1\wedge\mathbf{\hat e}_3,\mathbf{\hat e}_2\wedge\mathbf{\hat e}_3.$In 4D erhalten wir 3 weitere Bivektoren usw. Ihre zitierte Formel für den Drehimpuls entspricht$\mathbf L=m\mathbf r\wedge\mathbf v:$(zweimal) die Rate der Fläche ($\wedge$) gefegt ($\mathbf v$) durch die Linie zwischen einem Objekt und einem Punkt ($\mathbf r$), nach Masse gewichtet ($m$).

Abschließend die Umstellung von$\mathbf L$in einen antisymmetrischen Tensor kommt daher, dass wir seine Komponenten (Koeffizienten auf der Basis von Bivektoren) auf die gleiche Weise berechnen wollen, wie wir Vektoren in Komponenten aufteilen. Jeder Basisbivektor wurde durch Verkeilen von zwei der Basisvektoren erstellt. Wenn wir also jeden Basisvektor mit einem Index kennzeichnen, sollten die Basisbivektoren zwei Indizes haben:$\mathbf{\hat e}_{ij}=\mathbf{\hat e}_i\wedge\mathbf{\hat e}_j.$In ähnlicher Weise wird jede der Komponenten des Drehimpuls-Bivektors identifiziert, durch welchen Basis-Bivektor sie mitgenommen wird, so dass die Komponenten mit zwei Indizes als gekennzeichnet sind$L^{ij}$und bilden$\mathbf L$von

$$\mathbf L=\sum_{\text{$\mathbf{\hat e}_{ij}$ in the basis}}L^{ij}\mathbf{\hat e}_{ij}=\frac12\sum_{i,j}L^{ij}\mathbf{\hat e}_{ij}.$$

Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Summe auf der linken Seite zu nehmen. Dh wenn wir uns entscheiden zu setzen$L^{ij}\mathbf{\hat e}_{ij}$in der summe dürfen wir das nicht einrechnen$L^{ji}\mathbf{\hat e}_{ji}$seit$\mathbf{\hat e}_{ij},\mathbf{\hat e}_{ji}$nicht in einer gemeinsamen Basis sein können, oder wir könnten den anderen Weg wählen, aber beide Entscheidungen sollten das gleiche Ergebnis liefern. Aber$\mathbf{\hat e}_{ij}=-\mathbf{\hat e}_{ji},$So$L^{ij}=-L^{ji},$Bedeutung$L^{ij}$kommt als antisymmetrischer Tensor heraus.

So$L^{ij}$ist ein antisymmetrischer Tensor, weil er die Komponentendarstellung eines Bivektors ist$\mathbf L,$und die Basisbivektoren selbst haben eine gewisse Antisymmetrie. Die Existenz und Eigenschaften von Bivektoren und die Identifizierung des Drehimpulses als solches Objekt sind geometrisch begründet. In 3D können Sie Bivektoren fälschlicherweise mit Vektoren identifizieren, weil es zufällig genauso viele Basisbivektoren wie Vektoren gibt. In anderen Dimensionen wird das nicht passieren, und ihr müsst es richtig machen.

TL; DR: OPs Verweis auf Noethers Theorem ist genau richtig. Drehimpuls$x^{[i}p^{j]}$ist die Noether-Ladung für Rotationssymmetrie.

1. Die Noether-Ladung in der Punktmechanik lautet

   $$Q~=~ p_i X^i - h T, \tag{1}$$ Wo$X^i$Und$T$sind räumliche und zeitliche Generatoren, und wo$p_i=\frac{\partial L}{\partial v^i}$ist der Schwung und$h=p_iv^i-L$ist die Energie.

2. Der$n$-dimensionale Rotationsgruppe$SO(n)$hat eine Lie-Algebra

   $$so(n)~=~\{\omega\in {\rm Mat}_{n\times n}(\mathbb{R}) \mid \omega^T=-\omega\} \tag{2}$$ bestehend aus antisymmetrischen Matrizen. Es erzeugt unendlich kleine Drehungen.

3. Eine unendlich kleine räumliche Drehung

   $$\delta x^i ~=~\epsilon X^i, \qquad \delta t~=~\epsilon T, \tag{3}$$ (Wo$\epsilon$ist ein infinitesimaler Parameter), hat Generatoren$^1$ $$X^i = \omega^i{}_jx^j, \qquad T~=~0.\tag{4}$$

4. Die entsprechende Noether-Ladung ist also

   $$Q~\stackrel{(1)+(4)}{=}~p_i \omega^i{}_jx^j~=~\underbrace{x^{[j}p^{i]}}_{\text{ang. mom.}}\omega_{ij}.\tag{5}$$

Siehe auch zB diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.

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$^1$Wir erhöhen und verringern räumliche Indizes mit der räumlichen Metrik$\delta_{ij}$.

Weil die physikalische Interpretation und der Ausdruck immer noch die gleichen sind, aber wenn wir uns nicht in drei Dimensionen befinden, macht es keinen Sinn, zu versuchen, es als Kreuzprodukt zu schreiben.

Über höhere Dimensionen nachzudenken ist schwierig, also lasst uns stattdessen etwas Intuition über die zweidimensionale Mechanik gewinnen. Nach den gleichen Überlegungen der üblichen 3D-Mechanik, aber jetzt auf eine Ebene beschränkt, werden wir schließlich herausfinden, dass die Menge

$$L = m (xv_y - yv_x ) \tag{1}$$ ist eine Erhaltungsgröße in Abwesenheit eines Drehmoments. Beachten Sie jedoch, dass wir es nicht als Kreuzprodukt schreiben können:$L$ist eine Zahl, während$\mathbf{r} = (x,y)^{\intercal}$Und$\mathbf{v} = (v_x,v_y)^{\intercal}$sind Vektoren.$L$ist nur eine Art seltsame Kombination, die wir schreiben könnten wie in Gl. (1).

Angenommen, wir leben in 4D. Irgendwann würden wir auf 2D-Probleme achten (vielleicht wenn wir eine Frage in Phys.SE beantworten und Angst haben, zu viele Dimensionen auf einmal anzugehen, lol) und das für jedes Koordinatenpaar bemerken$r^i$dass wir pflücken, gibt es eine Menge$L^{ij}$was erhalten bleibt, wenn "in dieser Richtung" kein Drehmoment vorhanden ist. Natürlich stellen wir irgendwann fest, dass all diese Größen in verschiedenen Richtungen genau derselbe Begriff sind, und beschließen, einfach zu schreiben

$$L^{ij} = m (r^i v^j - r^j v^i).$$ Wir würden bemerken, dass wir uns wiederholen und definieren$4^2 = 16$Objekte statt der$6$wir brauchten, aber das ist in Ordnung: Es ist einfacher, sie einfach so anzuordnen.

In 3D machen wir genau dasselbe, mit dem einzigen Unterschied, dass wir bemerken, dass es eine einfachere Art gibt, diese Objekte zu schreiben. Anstatt zu schreiben$L^{ij}$Da wir uns ständig mit all diesen redundanten Einträgen auseinandersetzen müssen, können wir das Levi-Civita-Symbol verwenden , um ein anderes Objekt zu definieren$L^i$(mit nur einem Index) so dass

$$L^i = \frac{1}{2} \epsilon^{ijk} L^{jk}.$$

Diese Definition ergibt$L^1 = L^{23}$,$L^{2} = L^{31}$, Und$L^{3} = L^{12}$, und das kann man zeigen$L^i$transformiert als Vektor unter Drehungen. Daher könnte es in vielen Anwendungen einfacher sein, einfach eine neue Operation zwischen Vektoren zu definieren, die dauern$\mathbf{r}$Und$m\mathbf{v}$direkt zu dem neuen Vektor, den wir gerade gebaut haben,$\mathbf{L}$. Wir könnten es vielleicht mit einem Kreuz markieren und schreiben$\mathbf{L} = m \ \mathbf{x \times v}$. Wir werden feststellen, dass sich diese Größe nicht immer wie ein "echter" Vektor verhält, insbesondere wenn wir ihr Verhalten bei der Aufnahme ihres Spiegelbildes betrachten, also sollten wir uns manchmal daran erinnern und sie einen Pseudovektor nennen . Trotzdem kommen wir in den meisten Fällen davon, indem wir es als regulären Vektor behandeln, solange wir uns an drei Dimensionen halten.

Drehimpuls ist in erster Linie ein interessantes Konzept, weil Zentralkräfte ihn erhalten. Seit

$$\frac{d}{dt}(u^i\xi^k)=\dot{u}^i\xi^k+u^iu^k$$ wird symmetrisch, wenn die Kraft$m\xi^k=\lambda u^k$für einige$\lambda$, In diesem Fall$L^{ik}:=m(u^i\xi^k-u^k\xi^i)$wird konserviert.

3D-Fall

der Drehimpuls$~\mathbf L$muss senkrecht zu den Vektoren stehen

$~\mathbf u~$Und$~\mathbf \xi$

somit

$$\mathbf L\cdot \mathbf u=0\\ \mathbf L\cdot \mathbf \xi=0$$

das sind zwei Gleichungen für die drei Unbekannten$~L_1~,L_2~,L_3$

Sie erhalten die Lösung

$$\mathbf L= \left[ \begin {array}{c} {\frac {L_{{3}} \left( u_{{2}}\xi_{{3}}-u_{{ 3}}\xi_{{2}} \right) }{u_{{1}}\xi_{{2}}-\xi_{{1}}u_{{2}}}} \\ -{\frac {L_{{3}} \left( u_{{1}}\xi_{{3}}-\xi_{{1} }u_{{3}} \right) }{u_{{1}}\xi_{{2}}-\xi_{{1}}u_{{2}}}} \\ L_{{3}}\end {array} \right]$$

wir können jetzt einen beliebigen Wert für wählen$~L_3$aber um den Drehimpuls antisymmetrisch zu machen, wählen wir

$$L_3=u_{{1}}\xi_{{2}}-\xi_{{1}}u_{{2}}$$

und erhalten

$$\mathbf L=\left[ \begin {array}{c} u_{{2}}\xi_{{3}}-u_{{3}}\xi_{{2}} \\ -u_{{1}}\xi_{{3}}+\xi_{{1}}u_{{3}} \\ u_{{1}}\xi_{{2}}-\xi_{{1}}u_{{2}}\end {array} \right]$$