Folgt gμμgμμg_{\mu\mu} in einem Ausdruck der Einsteinschen Summationskonvention?

Angenommen, ich habe den Ausdruck für ein Christoffel-Symbol:

$$\Gamma^\mu_{\alpha \beta}=\frac{1}{2}g^{\mu \lambda}(\partial_\alpha g_{\beta \lambda}+\partial_\beta g_{\alpha \lambda} - \partial_\lambda g_{\alpha \beta}).\tag{1}$$

Wenn die Metrik$g_{\mu\nu}$Diagonal ist dann die Identität

$$g^{\mu\lambda}g_{\lambda\nu}=\delta^\mu_\nu\tag{2}$$ vereinfacht sich zum Ausdruck $$g^{\mu\mu}g_{\mu\mu}=1.\tag{3}$$

Ist daher der folgende Ausdruck für das Christoffel-Symbol notational korrekt?

$$\Gamma^\mu_{\alpha \beta}=\frac{1}{2g_{\mu \mu}}(\partial_\alpha g_{\beta \mu}+\partial_\beta g_{\alpha \mu} - \partial_\mu g_{\alpha \beta}).\tag{4}$$

Befolgt es die Einstein-Summierungskonvention korrekt als Wiederholung$\mu$Index wird nicht summiert?

Wenn der Ausdruck nicht korrekt ist, wie soll er geschrieben werden?

Zusatz

Ok, ich sehe die richtige Manipulation, um eine vollständig kovariante Form mit der Einstein-Notation zu erhalten:

$$\begin{eqnarray}\tag{5} \Gamma_{\gamma\alpha\beta}&=&g_{\gamma\mu}\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\\ &=&\frac{1}{2}g_{\gamma\mu}g^{\mu\lambda}(\partial_\alpha g_{\beta\lambda} + \partial_\beta g_{\alpha \lambda} - \partial_\lambda g_{\alpha\beta})\\ &=&\frac{1}{2}\delta^\lambda_\gamma(\partial_\alpha g_{\beta\lambda} + \partial_\beta g_{\alpha \lambda} - \partial_\lambda g_{\alpha\beta})\\ &=&\frac{1}{2}(\partial_\alpha g_{\beta\gamma} + \partial_\beta g_{\alpha \gamma} - \partial_\gamma g_{\alpha\beta}) \end{eqnarray}$$

Das ist richtig oder?