Korrekte Schreibweise des Tetradenindex

Es scheint einige unterschiedliche Konventionen für die Indizes der Tetrade zu geben. Ich frage mich, was der Standard ist, was richtig ist und was ein Notationsmissbrauch ist.

In Sean Carrolls Notizen und in Wikipedia sehe ich die Tetrade als dargestellt$e^I_\mu$. Diese Notation ist sicher, um die Verwendungsabsichten für die Konvertierung von Indizes von Griechisch nach Latein und umgekehrt zu vermitteln, aber sobald Sie anfangen, die eigenen Indizes der Tetrade zu erhöhen und zu senken (wie es Wikipedia tut), wird die Darstellung mehrdeutig.$e^I_\mu$beides darstellen könnte${e_\mu}^I$oder darstellen könnte${e^I}_\mu$, und diese beiden Werte sind nicht gleich.

Andere Quellen wie Einsteins Vierbein-Feldtheorie des gekrümmten Raums (Yepez 2008) machen die Unterscheidung zum Schreiben${e_\mu}^I$als Transformation von$\eta_{IJ}$Zu$g_{\mu\nu}$Und${e^\mu}_I$als Umkehrung. Andere Quellen kehren die griechischen und lateinischen Indizes um und verwenden sie${e^I}_\mu$als Transformation von$\eta_{IJ}$Zu$g_{\mu\nu}$.

Ich werde etwas Matrixmathematik verwenden, um meinen Standpunkt zu verdeutlichen. Lassen$G = ||g_{\mu\nu}||$sei die Matrix, die den kovarianten metrischen Tensor darstellt,$H = \eta_{IJ}$sei die Matrix des Lorentzschen Tensors,$E = ||{e_\mu}^I||$sei die Tetradentransformation aus$H$Zu$G$, Und$(E^T)^{-1} = ||{e^\mu}_I||$sei die Verwandlung von$G$Zu$H$(transponiert für Konsistenz der Reihenfolge der Indizes). Die Tetradentransformationsregeln und ihre Matrixäquivalente lauten wie folgt:

$$\begin{matrix} g_{\mu\nu} = {e_\mu}^I \eta_{IJ} {e_\nu}^J & & G = E H E^T \\ g^{\mu\nu} = {e^\mu}_I \eta^{IJ} {e^\nu}_J & & G^{-1} = (E^T)^{-1} H^{-1} E^{-1} \\ \eta_{IJ} = {e^\mu}_I g_{\mu\nu} {e^\nu}_J & & H = E^{-1} G (E^T)^{-1} \\ \eta^{IJ} = {e_\mu}^I g^{\mu\nu} {e_\nu}^J & & H^{-1} = E^T G^{-1} E \end{matrix}$$

Diese Regeln können verwendet werden, um zu zeigen, dass das Anheben und Absenken der Tetrade der Vorwärtstransformation die Tetrade der inversen Transformation erzeugen kann, sodass die Indexgymnastik korrekt funktioniert${e_\mu}^I$Und${e^\mu}_I$:

$$\begin{matrix} {e^\mu}_I = g^{\mu\nu} {e_\nu}^J \eta_{IJ} & & (E^T)^{-1} = G^{-1} E H \end{matrix}$$

Die Mehrdeutigkeit entsteht, wenn wir mit beginnen${e_\mu}^I$und verwenden Sie Indexgymnastik, um dorthin zu gelangen${e^I}_\mu$:

$${e_\sigma}^I g^{\sigma\nu} {e_\nu}^J \eta_{JK} {e_\mu}^K = {e^I}_\mu$$ Das Matrixäquivalent sagt: $$E^T G^{-1} E H E^T=E^*$$ Dies kann zur Anzeige neu angeordnet werden $$G^{-1} E H=(E^T)^{-1} E^* (E^T)^{-1}$$ die Kombination mit der ersten der obigen Identitäten ergibt $$(E^T)^{-1} E^* (E^T)^{-1} = (E^T)^{-1}$$ neu anordnen: $$E^* = E^T$$ Wir bekommen nur $E^*=E$in dem Fall, dass $E=E^T$, was keine Einschränkung für die Werte von darstellt ${e_\mu}^I$. Daher generell ${e_\mu}^I \neq {e^I}_\mu$. Also das Mehrdeutige heben oder senken $e^I_\mu$Tensor durch den metrischen Tensor oder den Lorentz-Tensor könnte einen von zwei verschiedenen Werten beschreiben.

Was ich insgesamt daraus gesammelt habe, ist:

• Verwenden$e^I_\mu$ist übertragbar, solange Sie niemals versuchen, zu vereinfachen$g^{\mu\nu} e^I_\mu$in entweder$e^{\nu I}$oder$e^{I \nu}$da diese Werte unterschiedlich sind. Ebenso für$e^I_\mu \eta_{IJ}$in entweder$e_{\mu J}$oder$e_{J \mu}$. Der von mir zitierte Wikipedia-Eintrag begeht diesen Fehler.
• Entweder verwenden${e_\mu}^I$oder${e^I}_\mu$als Ihre Tetrade transformiert$\eta_{IJ}$Zu$g_{\mu\nu}$ist prägnanter als$e^I_\mu$, obwohl es keinen Standard dafür gibt, welche dieser beiden Optionen richtig ist.
• Die meisten Quellen werden ihr Griechisch zuerst und ihr Latein an zweiter Stelle oder umgekehrt beibehalten und werden nie genug Indexgymnastik durchführen, um diese Reihenfolge neu zu ordnen. Dies ist eine sichere Wette, um nicht in die Situation zu geraten, die ich oben beschreibe.

Okay, abgesehen von all meiner Arbeit, was ist die korrekte Art, auf die Tetrade zu verweisen?