Den Unterschied zwischen zeitartigen und raumartigen Trennungen verstehen

Zeitähnliche Intervalle sind eine kleine Entfernung und eine lange Zeit. Zum Beispiel ist ein Ereignis hier und jetzt. Ein zweites Ereignis ist 1 m entfernt und 1 s später.

Wenn Sie mit ~1 m/s in die richtige Richtung fahren, können Sie beide Ereignisse passieren. In diesem Frame ist die Trennung rein zeitlich: hier und jetzt, hier und ~ 1 Sekunde später. Jede zeitähnliche Trennung kann auf diese Weise zu einer reinen Zeittrennung reduziert werden.

Bei höheren Geschwindigkeiten wird es ein wenig kontraintuitiv. Sie können die Zeitdilatation und Raumkontraktion bei 1 m/s ignorieren. Bei einem Abstand von 0,8 Lichtsekunden und 1 Sekunde könnte jemand immer noch durch beide Ereignisse reisen. Aber Sie müssten die Zeit- und Entfernungstrennung berechnen, die der Reisende gesehen hat.

Lichtähnliche Trennungen werden gleichmäßig nach Zeit und Entfernung getrennt. Zum Beispiel ist das Ereignis hier und jetzt. Der andere ist 1 Lichtsekunde entfernt und 1 Sekunde später. Sie können nicht mit Lichtgeschwindigkeit reisen, also können Sie dies nicht auf eine reine Zeittrennung reduzieren. Ein Lichtstrahl kann beide Ereignisse passieren.

Eine räumliche Trennung ist eine lange Distanz und eine kurze Zeit. Ein Beispiel ist hier und jetzt und ein Ereignis 1 Lichtsekunde entfernt und 0,8 Sekunden von jetzt an. Nichts kann durch beide Ereignisse gehen.

Aber hier wird es wirklich kontraintuitiv. Wir sind an die Vorstellung gewöhnt, dass ich zwei Orte zu unterschiedlichen Zeiten sehe, während ein Reisender, der beide durchquert, sie zu unterschiedlichen Zeiten als denselben Ort sieht.

Wir sind nicht an die Vorstellung gewöhnt, dass ein Reisender eine Geschwindigkeit wählen kann, die die beiden Ereignisse gleichzeitig macht. Aber die Zeit funktioniert so. Jede raumartige Trennung kann durch Wahl der richtigen Geschwindigkeit auf eine rein räumliche Trennung reduziert werden, zwei gleichzeitige Ereignisse.

Ich werde versuchen, die gleichen Ideen auf andere Weise neu zu beschreiben. Dies soll keine schnelle Antwort auf die Frage sein; Vielmehr soll dies eine Ressource sein, um eine gewisse Intuition aufzubauen.

In dieser Antwort wird das Wort "Rahmen" nicht verwendet. Das liegt daran, dass „Rahmen“ Konnotationen von etwas Starrem haben könnte, etwas, das durch „Achsen“ definiert wird. Diese Antwort wird mit dem allgemeineren Konzept eines Koordinatensystems ausgedrückt, das nicht auf Achsen oder geraden Linien beruht.

Koordinaten sind willkürliche Bezeichnungen für die Punkte in der Raumzeit. Sie sollten ein eindeutiges 4er-Tupel von Zahlen zuweisen$(w,x,y,z)$zu jedem Punkt, und sie sollten dies reibungslos tun , aber ansonsten sind sie willkürlich. Jede Weltlinie (Kurve in der Raumzeit) kann beschrieben werden, indem die vier Koordinaten als Funktionen eines anderen Parameters angegeben werden$\lambda$die entlang der Weltlinie verläuft. Nach den allgemeinen Grundsätzen werden nachstehend Beispiele gezeigt.

Mathematisch werden Koordinatensysteme und Weltlinien ohne die Hilfe von geometrischen Konzepten wie Zeit, Entfernung, zeitähnlich oder raumähnlich und ohne die Hilfe von dynamischen Konzepten wie dem freien Fall definiert. Geometrie (einschließlich Zeit) und freier Fall werden stattdessen beide durch die Metrik definiert. Eine bequeme Methode zur Angabe der Metrik ist die Angabe des Linienelements . Das Linienelement nimmt beliebige Werte an$\lambda$-parametrisierte Weltlinie als Eingabe und gibt eine einzelne Funktion zurück$G(\lambda)$als Ausgang. In der speziellen Relativitätstheorie kann das Linienelement ausgedrückt werden als

$$G(\lambda) = \dot w^2 - (\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2) \tag{1}$$ wobei ein Punkt eine Ableitung in Bezug auf den Parameter bezeichnet$\lambda$entlang der gegebenen Weltlinie. Die Weltlinie wird aufgerufen

• zeitgemäß wo auch immer$G(\lambda)>0$,

• raumartig wo auch immer$G(\lambda)<0$,

• überall leicht$G(\lambda)=0$.

Eine Weltlinie heißt kausal , wenn sie entweder zeitartig oder lichtartig ist. Das Kausalitätsprinzip besagt, dass nur eine kausale Weltlinie die Geschichte eines physikalischen Objekts darstellen kann. Die Eigenzeit ist nur entlang einer solchen Weltlinie definiert. Angesichts jeder kausalen Weltlinie, ihrer richtigen Zeit$\tau(\lambda)$wird durch die Bedingung definiert

$$\dot\tau^2 = G(\lambda) \geq 0. \tag{2}$$ Dies sagt uns, wie die richtige Zeit$\tau$als Funktion des Parameters entlang der Weltlinie fortschreitet$\lambda$.

Jetzt, da das Zeilenelement (1) spezifiziert wurde, sehen wir im Nachhinein, dass eine Wortzeile nicht zeitähnlich sein kann, es sei denn$w$ändert sich monoton entlang der Weltlinie. In diesem Sinne können wir denken$w$als "zeitähnliche" Koordinate - aber es ist immer noch nur eine Koordinate. Die Eigenzeit ist durch Gleichung (2) gegeben, und das ist es, was ein Objekt tatsächlich als Zeit erfährt. Die Eigenzeit ist spezifisch für die gegebene Weltlinie und bei Änderungen des Koordinatensystems unveränderlich.

Wenn die Größe (1) negativ ist, dann haben wir eine raumartige Weltlinie. Entlang einer solchen Weltlinie ist die richtige Zeit undefiniert . Physische Objekte, einschließlich Uhren, können sich nicht gemäß einer solchen Weltlinie bewegen, daher sollten wir nicht erwarten, eine unveränderliche Vorstellung vom Fortschreiten der Zeit entlang einer solchen Weltlinie zu haben. Was wir stattdessen für eine solche Weltlinie haben, ist die richtige Entfernung$\ell$, gegeben durch die Bedingung

$$\dot\ell^2 = -G(\lambda) > 0. \tag{3}$$

Zwei Punkte in der Raumzeit werden als "zeitlich getrennt" bezeichnet, wenn sie durch eine zeitartige Weltlinie miteinander verbunden werden können, und als "raumartig getrennt", wenn sie nicht durch irgendeine kausale Weltlinie miteinander verbunden werden können. Das Konzept der „raumartig getrennten“ Ereignisse ist eine Erweiterung des Konzepts der „gleichzeitigen“ Ereignisse. Raumartig getrennte Ereignisse können nicht auf unveränderliche Weise zeitlich geordnet werden.

Übrigens, selbst wenn zwei Punkte zeitlich getrennt sind (also einer der Punkte eindeutig in der Zukunft des anderen liegt), können sie dennoch durch eine raumartige Weltlinie miteinander verbunden sein. Das folgende Beispielpaar veranschaulicht dies.

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Beispiel 1

Wählen Sie Konstanten$A,B,C$und betrachte die durch gegebene Weltlinie

$$w(\lambda)=A\lambda \hskip1cm x(\lambda)=B\lambda+C \hskip1cm y(\lambda)=0 \hskip1cm z(\lambda)=0. \tag{4}$$ Dann $$\dot w = A \hskip1cm \dot x = B \hskip1cm \dot y = 0 \hskip1cm \dot z = 0, \tag{5}$$ So$G(\lambda)=A^2-B^2$, die unabhängig von ist$\lambda$in diesem einfachen Beispiel. Diese Weltlinie ist:

• zeitgemäßes wenn$A^2>B^2$, und dann ergibt Gleichung (2).$\tau(\lambda) = \sqrt{A^2-B^2}\,\lambda$für die richtige Zeit entlang dieser Weltlinie.

• raumartiges wenn$A^2<B^2$, und dann ergibt Gleichung (3).$\ell(\lambda) = \sqrt{B^2-A^2}\,\lambda$für die richtige Entfernung entlang dieser Weltlinie.

• leichtes wenn$A^2=B^2$, und dann sind sowohl die Eigenzeit als auch die Eigendistanz entlang dieser Weltlinie null.

Für die durch (1) definierte spezielle Metrik entspricht eine zeitähnliche (oder lichtähnliche) Weltlinie genau dann dem freien Fall, wenn die Ableitungen$(\dot w,\dot x,\dot y,\dot z)$sind alle proportional zueinander. Insbesondere:

• Die durch (4) definierte Weltlinie stellt den freien Fall dar, wenn$A^2\geq B^2$.

• Wenn$A^2<B^2$, dann stellt sie keine physikalisch mögliche Bewegung dar.

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Beispiel 2

Betrachten Sie die durch definierte Weltlinie

$$\begin{align} w(\lambda) &= \lambda + \lambda^3 \\ x(\lambda) &= \cos(\beta\lambda + \beta\lambda^3) \\ y(\lambda) &= \sin(\beta\lambda + \beta\lambda^3) \\ z(\lambda) &= 0. \tag{6} \end{align}$$ Wo$\beta$ist eine Konstante. Für jeden Wert von$\lambda$, spezifizieren diese Gleichungen die Koordinaten eines Punktes in der vierdimensionalen Mannigfaltigkeit, also definieren sie eine Weltlinie. Stecken Sie (6) in (1), um zu erhalten $$G(\lambda)=(1-\beta^2)(1+3\lambda^2)^2. \tag{7}$$

• Wenn$\beta^2<1$, dann ist diese Weltlinie zeitartig, und dann sagt Gleichung (2), dass ihre Eigenzeit gegeben ist durch

  $$\tau(\lambda)=\sqrt{1-\beta^2}\,(\lambda+\lambda^3). \tag{8}$$ Dies sagt uns, wie die richtige Zeit$\tau$als Funktion des Parameters entlang der Weltlinie fortschreitet$\lambda$. Gleichung (8) ist unabhängig von den Koordinaten, wie es sein sollte; Die Eigenzeit ist unter Koordinatentransformationen unveränderlich.

• Wenn$\beta^2>1$, dann ist diese Weltlinie raumartig. Beachten Sie jedoch, dass diese raumartige Weltlinie durch alle Punkte verläuft$(w,x,y,z)=(2\pi\,n/\beta,1,0,0)$für alle ganzen Zahlen$n$, und diese Punkte sind auch alle in der zeitartigen Weltlinie (4) mit enthalten$A=1$,$B=0$, Und$C=1$. (Die Parameter$\lambda$der beiden Weltlinien sind nicht gleich; das Symbol$\lambda$wurde recycelt.) Dies zeigt, dass die Weltlinie (6) mit$\beta^2>1$ist ein Beispiel für eine raumähnliche Weltlinie, die einige zeitähnlich getrennte Punkte verbindet.

Das liegt einfach am Intervall$ds^2$ist unveränderlich, und so können wir es in jedem gewünschten Rahmen berechnen. Also wenn$ds^2$Zeitlich ist, können wir ein System gehen$(t', x', y', z')$in der die Weltlinie von A nach B ruht, und dieses Koordinatensystem haben wir

$$ds^2 = dt'^2,$$

da die räumliche Verschiebung Null ist. In ähnlicher Weise können wir, wenn die Trennung raumartig ist, zu einem System gehen, in dem A und B gleichzeitig sind, also$dt'$verschwindet aus dem Intervall.

Für eine genaue Einschätzung müssen Sie berücksichtigen, dass zeitliche Intervalle und räumliche Intervalle unterschiedliche Grundlagen haben. Zeit ist nicht Raum, und die Symmetrie von Zeit und Raum ist auf die Lorentz-Symmetrie beschränkt. Folglich müssen Sie zeitähnliche Intervalle und raumähnliche Intervalle getrennt bewerten:

Zeitähnliche Intervalle sind Zeitintervalle aufgrund der Phänomene der Eigenzeit und der Zeitdilatation.

Im Gegensatz dazu ist die Betrachtung raumartiger Intervalle als Raumintervalle ein bloßes Modell, das die Annahme erfüllt, dass die Raumzeit eine Mannigfaltigkeit ist, aber es gibt nicht die gleiche Art strenger Ableitung wie für die Eigenzeit.

1.Zeitähnliche Intervalle: Die Teilchenweltlinien sind zeitähnliche Intervalle und bestehen aus echten Zeitintervallen dτ. Das heißt, im Bezugssystem des Teilchens sind die Intervalle Intervalle seiner eigenen Zeit (Eigenzeit dτ). Außerdem bewegt sich das Partikel gemäß dem Referenzrahmen des Partikels überhaupt nicht, seine räumlichen Koordinaten sind immer Nullkoordinaten, da es sein eigener Referenzrahmen ist.

Beobachter hingegen beobachten ein sich bewegendes Teilchen. Die beobachtete Zeitkoordinate ist dt, entsprechend der "zeitgedehnten Eigenzeit". Da sich das Teilchen aus der Sicht aller Beobachter mit anderen Bezugsrahmen bewegt, gibt es eine räumliche Koordinate.

Das bedeutet umgekehrt, dass man aus einer gegebenen Zeit- und Raumkoordinate der Weltlinie eines Teilchens die entsprechende Eigenzeit des Teilchens erhalten kann. Da zeitähnliche Intervalle der Eigenzeit einer Weltlinie entsprechen, ist es kein Problem zu verstehen, dass zeitähnliche Intervalle Zeitcharakter haben.

2. Anders und komplizierter ist die Situation bei raumartigen Intervallen. Die Geschwindigkeitsbegrenzung der Raumzeit ist c, und aus diesem Grund gibt es keine raumähnlichen Weltlinien. Dies impliziert auch, dass die Zeitdilatation für raumähnliche Weltlinien nicht funktionieren kann, was oben 1) die Verschmelzung von Zeit- und Raumkoordinaten erklärt wurde.

Andererseits werden Entfernungen durch 3D-Raumintervalle gemessen, nicht durch 4D-raumähnliche Intervalle. Der Abstand zwischen Sonne und Erde beträgt immer (ungefähr) 8 Lichtminuten, auch wenn wir die Sonne vor 4 Minuten und die Erde jetzt betrachten. Wir können diese Entfernung "8 Lichtminuten + 4 Minuten" oder "Raumintervall + Zeitintervall" nennen, aber wir erhalten keine einfache Entfernung als Raumintervall.

Wie Sie in Ihrer Frage skizziert haben: Quadratische raumartige Intervalle sind negativ. Damit erhalten wir imaginäre Ergebnisse für räumliche Abstände raumartiger Intervalle. Misner/ Thorne/ Wheeler, Gravitation, versuchten diesen Fehler mit Hilfe der Signatur (-,+,+,+) zu beheben, aber bis heute hat sich dieses Konzept nicht durchgesetzt, und insbesondere in der Teilchenphysik kommt dieses Konzept nicht vor experimentellen Anforderungen entsprechen.

Folglich ist die Betrachtung raumartiger Intervalle als Entfernungen ein bloßes Modell, und dieses Modell hat nicht die gleiche physikalische Grundlage wie zeitartige Intervalle. Wenn Sie der Signatur (-,+,+,+) folgen, wird dieser Fehler dadurch verdeckt, dass quadrierte raumartige Intervalle positiv und raumartige Intervalle genauso reell sind wie 3D-Abstände. Nach diesem Modell können raumähnliche Intervalle als "Raumentfernungen, die durch eine Zeitkoordinate korrigiert werden" betrachtet werden. Aber genau eine solche Korrektur mag für zeitartige Intervalle physikalisch gerechtfertigt sein, wie oben gezeigt 1), aber für raumartige Intervalle gibt es eine solche Rechtfertigung nicht.

Zusammenfassend stellt sich Ihre Frage, sobald Sie die Signatur (-,+,+,+) verlassen. Und die Antwort lautet kurz gesagt, dass ein Modell verwendet wird, um die menschliche Intuition zu befriedigen, nicht mehr und nicht weniger.