Definition von Raumzeitintervall

Ich habe die Antwort unter Berücksichtigung des folgenden Ausdrucks als Ausdruck für das Intervall geschrieben:$\Delta t^2 - \dfrac{1}{c^2}(\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2)$. Nach meiner Erfahrung ist dies eine eher gebräuchliche Form des Intervalls als die vom OP angegebene. Immer wenn ich so etwas schreibe wie „die von Ihnen erwähnte Form“, meinte ich eigentlich, mich auf den oben genannten Ausdruck zu beziehen.

Die angegebene Größe ist eine Lorentz-Invariante. Diese für ein Ereignispaar berechnete Größe bleibt unabhängig von der Trägheit gleichBeobachter misst es. Daher ist es eine gute Idee, sich diese Größe als eine Eigenschaft des Ereignispaars selbst vorzustellen, über ihre Messung durch einen beliebigen Beobachter hinaus. Dies ist der wesentliche Grund, diese Größe als Intervall zu definieren – ein Analogon der euklidischen Distanz in der Minkowskischen Raumzeit. Aber wie Sie teilweise darauf hingewiesen haben, würde jede bijektive Abbildung der angegebenen Größe alle oben genannten Eigenschaften erfüllen. Warum also nicht einen von ihnen als Intervall definieren? Um es in einem Satz zusammenzufassen: Es ist nicht viel Physik, diesen speziellen Ausdruck zu wählen, sondern es ist eher eine Sache der Konvention. Tatsächlich werden einige Variationen dieser Größe auch gleichermaßen als Intervall akzeptiert. Das bekannteste ist das Negativ dieser Größe (bis zum Faktor von$c^2)$. Trotzdem sind die Ursprünge aller Konventionen nicht dumm und es gibt gute Erklärungen für die speziellen Fragen, die Sie gestellt haben:

(1) Sie wird in quadrierter Form verwendet, da die Größe sowohl negativ als auch positiv sein kann. Daher würde das Ziehen der Quadratwurzel unnötige Arbeit mit sich bringen, da überall imaginäre Größen auftauchen würden. Ein weiterer Grund ist, dass diese Form in der tensorischen Formulierung der Speziellen Relativitätstheorie, die für ihre Erweiterung zur Allgemeinen Relativitätstheorie entscheidend ist, einen sehr eleganten und leicht manipulierbaren Ausdruck findet. Seine Wurzel zu nehmen würde wiederum unnötige Komplikationen in die Tensorial-Darstellung einführen.

(2) Der angegebene Ausdruck ist hilfreich, um die Eigenzeit zwischen zwei zeitähnlichen Ereignissen herauszufinden. Um dieser Größe eine zeitliche Dimension zu geben, erfolgt die Division durch$c^2$erledigt. Wenn Sie das Negativ der obigen Formel verwenden, soll es verwendet werden, um das Raumzeitintervall zwischen zwei raumähnlichen Ereignissen herauszufinden. In diesem Fall ist es angemessen, ihm eine räumliche Dimension zu geben und damit tatsächlich die$c^2$wird mit multipliziert$t^2$statt zu teilen$x^2+y^2+z^2$von$c^2$. All dieses Durcheinander wird in jeder ernsthaften theoretischen Arbeit durch die Einführung der natürlichen Einheiten wo weggeworfen$c=1$.

Warum ist$I$in Bezug auf quadratische Komponenten (ohne die Quadratwurzel) definiert? Wenn es wäre$I^2$dann wäre es klarer.

Sehen Sie sich den Satz des Pythagoras an,

Wie Rudyard sagt, können Sie überlegen$I$quadriert als (modifizierte) 4-dimensionale Version des obigen 3-dimensionalen Ausdrucks.

Warum dividiert durch$c^2$passieren darin$I$? Was ist$c^2I$Dann?

Die Relativitätstheorie geht mit dem Postulat einher, dass es keine absolute Geschwindigkeit des Zeitablaufs gibt, also kann man schreiben:

So geht die Relativitätstheorie mit der vom sich bewegenden Beobachter gemessenen Zeit um, auch Eigenzeit genannt$\tau$, analog Zeit = Entfernung/Geschwindigkeit auf der Erde.

Wenn Sie Wikipedia Proper Time oder Hyperphysics lesen, erhalten Sie eine detailliertere Erklärung und Ableitung der obigen Ausdrücke.