Warum ist die Eigenzeit für raumartige und lichtartige Intervalle undefiniert?

So wie ich es verstehe, ist die richtige Zeit , τ , zwischen zwei Ereignissen in der Raumzeit wird durch das Raumzeitintervall definiert D S 2 = η μ v D X μ D X v , so dass

D τ = − D S 2
(wobei wir die "meistens +"-Signatur mit verwenden C = 1 ).

Nun, für zeitähnliche Intervalle, für die D S 2 < 0 , ist es klar, dass die Eigenzeit seit der Menge gut definiert ist − D S 2 positiv ist , und außerdem kann man immer einen Rahmen finden, in dem die beiden Ereignisse am selben Punkt im Raum stattfinden, so dass man eine Weltlinie konstruieren kann, die die beiden Ereignisse verbindet, entlang der ein Beobachter reisen kann, der in Bezug auf beide ruht Ereignisse, so dass D τ = − D S 2 = D T .

Warum ist es jedoch so, dass für raumähnliche , D S 2 > 0 , und lichtartige Intervalle, D S 2 = 0 , der Begriff der Eigenzeit undefiniert (oder vielleicht schlecht definiert) ist?

Für den raumähnlichen Fall, so verstehe ich heuristisch, kann man zwischen den beiden Ereignissen keinen Weg konstruieren, auf dem ein Beobachter reisen kann, und daher ist die eigentliche Zeit in diesem Sinne bedeutungslos, da es keine Weltlinie gibt, die die Ereignisse verbindet, und daher keine Uhr kann beide Ereignisse durchlaufen. Kann man dies jedoch nur erkennen, indem man die Definition der Eigenzeit in Bezug auf das Raumzeitintervall untersucht? Ist es einfach, dass die Menge − D S 2 wird imaginär und kann so eindeutig nicht zur Darstellung eines physikalischen Zeitintervalls verwendet werden?

Ebenso kann für ein lichtähnliches Intervall zwischen beiden Ereignissen nur ein Lichtstrahl passieren, und da es kein Ruhesystem für Licht gibt, kann man kein System konstruieren, in dem eine Uhr in Bezug auf den Strahl ruht und beide Ereignisse durchläuft . Rein vom Raumzeitintervall her ist es aber einfach die Menge − D S 2 gleich 0 , und daher ist der Begriff der Eigenzeit schlecht definiert, da es keine umkehrbare Karte zwischen Referenzrahmen gibt (hier denke ich an Zeitdilatation, T = γ τ und so für ein lichtähnliches Intervall, γ → ∞ was bedeutet, dass die umgekehrte Beziehung τ = T γ ist schlecht definiert)?!

Ich denke, das ist im Wesentlichen richtig. Um genau zu sein, müssen Sie jedoch von Geodäten sprechen, oder zumindest von glatten Kurven, die überall (Raum|Zeit) sind - wie ich denke, weil Sie überall zeitartige Kurven konstruieren können, die zwei raumartig getrennte Ereignisse verbinden, wenn Sie dazu bereit sind dass sie nicht überall glatt sind (gehen Sie einfach vorwärts zu einem Ereignis in der kausalen Zukunft beider Ereignisse und dann rückwärts zum zweiten Ereignis) oder nicht überall zeitähnlich (um die Ecken der vorherigen Kurve herum). Ich stelle dies nicht als Antwort dar, weil ich denke, dass es keine gute ist.
Obwohl mir die Frage gefällt, würde ich vorschlagen, die Suche nach der "tieferen physikalischen Bedeutung" aufzugeben. Die Mathematik ist wirklich alles, was dazu gehört. Sie können interpretieren D S 2 < 0 wie Sie möchten, aber es ändert nichts an der physikalischen Vorhersage der Theorie.
@SolenodonParadoxus Mein Hauptproblem ist, warum die richtige Zeit nicht für raumähnliche und lichtähnliche Intervalle definiert ist?
@ user35305 Das sage ich - es ist einfach nicht so. Warum sollte es Ihrer Meinung nach einen Grund geben?
@SolenodonParadoxus Ich denke, ich versuche nur, die Dinge für mich selbst zu komplizieren und versuche, eine tiefe Bedeutung aus einer Definition zu extrapolieren.

Antworten (2)

Ich bin mir nicht sicher, nach welcher Art von Antwort Sie suchen; du scheinst mit deiner frage alles gesagt zu haben. Die kausale Struktur der Raumzeit ist so, dass es Lichtkegel gibt und das Quadrat der Vektoren positiv oder negativ sein kann. Wenn der Vektor zeitartig ist, nennen wir seine Länge Eigenzeit. Wenn es raumartig ist, nennen wir die Länge echte Distanz. Für räumlich getrennte Ereignisse ist die richtige Zeit nicht definiert, gerade weil sie räumlich getrennt sind . Warum würdest du erwarten, dass der Begriff der Zeit in einem solchen Kontext Sinn macht?

Dennoch könnten Sie einen physikalischeren Grund zu schätzen wissen. Die meisten Menschen, einschließlich Einstein, würden sagen, dass die Definition der Eigenzeit entlang einer Weltlinie (dh einer Kurve in der Raumzeit) die Zeit ist, die von einer Uhr gemessen wird, die von einem Beobachter getragen wird, der sich entlang dieser Weltlinie bewegt. Nun, Beobachter können sich nicht schneller als Licht bewegen. Und relativ zu einem (willkürlichen) festen Beobachter ist Ihre Eigenzeit umso kleiner, je näher Sie der Lichtgeschwindigkeit kommen, sodass lichtähnliche Intervalle keine Eigenzeit haben.

Sie werden feststellen, dass ich im Grunde zweimal dasselbe sage: Die Eigenzeit ist per Definition nicht für raumartige Intervalle definiert . Wenn das Intervall raumartig ist, setzen wir das Minuszeichen nicht und nennen es richtige Distanz. Sie könnten genauso gut fragen, warum die richtige Entfernung für zeitähnliche Intervalle nicht definiert ist, und Sie sollten sich darüber im Klaren sein, dass Sie dieselbe Antwort erneut erhalten würden, jedoch mit ausgetauschten Wörtern.

Ich denke, ich habe die Situation überdenkt und versucht, aus etwas, das nur eine Definition ist, eine tiefe physikalische Bedeutung zu gewinnen. Ich hatte gehofft zu verstehen, ob es eine physische Motivation gibt, die richtige Zeit als zu definieren D τ = − D S 2 ?! Mir scheint, wenn man die Eigenzeit eines Objekts als die im Ruhesystem dieses Objekts gemessene Zeit definiert, dann haben wir das in diesem System D S 2 = − D τ 2 und dann, seitdem D S 2 ist Lorentz-invariant, garantiert dies automatisch, dass die Eigenzeit eine Lorentz-invariante Größe ist?!
@ user35305: Ich würde sagen, das ist es; Die Eigenzeit ist wie die Ruhemasse in einem bestimmten Rahmen definiert und daher per Definition unveränderlich. Es stellt sich dann heraus, dass es gleich dem Quadrat von etwa vier Vektoren ist.
Ah okay. Ist es also nicht sinnvoll, die Vorstellung zu diskutieren, dass ein Photon eine Eigenzeit hat, weil es kein Ruhesystem für ein Photon gibt? In ähnlicher Weise gibt es für raumähnliche Trennungen keine Weltlinie zwischen den beiden Ereignissen, und somit ist wiederum eine Vorstellung von Eigenzeit nicht möglich?!
@ user35305: Ja, in der Tat.

Sie haben Recht, außer in Bezug auf lichtähnliche Intervalle.

Ein wichtiges Element, das Sie vielleicht vermissen und das der Grund für Ihr Unverständnis sein kann, ist, dass Raum und Zeit nicht auf einer Ebene stehen, ihre Symmetrie streng auf die Lorentz-Symmetrie beschränkt ist. Deshalb hat es keinen Zweck, jenseits der Lorentz-Symmetrie nach einer Ähnlichkeit zwischen Raum und Zeit zu suchen, und ebenso gibt es kein Gesetz der Symmetrie zwischen raumartigen und zeitlichen Intervallen jenseits der Lorentz-Symmetrie.

Wie Sie geschrieben haben, können Sie zeitartige, lichtartige und raumartige Intervalle unterscheiden. Zeitähnliche Weltlinien erzeugen Eigenzeit. Die Eigenzeit raumähnlicher Weltlinien ist bedeutungslos, da kein Teilchen und kein anderes Phänomen auf raumähnlichen Weltlinien reisen kann und aus diesem Grund raumähnliche Weltlinien keine Eigenzeit erzeugen können.

Im Gegensatz dazu unterscheiden sich lichtähnliche Weltlinien von raumähnlichen Weltlinien, da das Nullintervall innerhalb des Definitionsbereichs der parabolischen Wurzelfunktion liegt, während dies bei den negativen Intervallen von raumähnlichen Weltlinien nicht der Fall ist. Teilchen und andere Phänomene (wie Felder), die sich bei v = c bewegen, bewegen sich auf lichtähnlichen Weltlinien, und ihre Eigenzeit ist 0, sie ist nicht undefiniert!

Auch die Eigenzeit lichtartiger Weltlinien ist nicht „schlecht definiert“: Sie haben recht, wenn Sie sagen, dass der Lorentzfaktor gegen unendlich geht. Aber der inverse Lorentz-Faktor in der Gleichung τ = D T / γ gegen null geht, bedeutet das, dass jede beobachtete Koordinatenzeit lichtähnlicher Phänomene der Eigenzeit null entspricht. Die Tatsache, dass die Eigenzeit von lichtähnlichen Phänomenen Null ist, verbietet jedoch eine Lorentz-Transformation, die zu Problemen der Division durch Null führen würde: Lichtähnliche Phänomene haben kein Referenzsystem, das in andere Referenzsysteme transformiert werden könnte. Aber die Gleichung τ = D T / γ hängt nicht von der Lorentz-Transformation ab, da sie direkt aus den beiden Postulaten der speziellen Relativitätstheorie abgeleitet werden kann.

In Bezug auf das Raumzeitintervall ist die Eigenzeit für raumähnliche Intervalle aufgrund der Definition nicht definiert D τ = − D S 2 impliziert, dass die Eigenzeit imaginär und damit unphysikalisch würde?! Außerdem hätte ich gedacht, dass die richtige Zeit für ein Photon undefiniert wäre, wenn nicht nur, weil es kein Ruhesystem für ein Photon gibt und es daher für eine "Uhr" nicht möglich ist, entlang der Weltlinie eines Photons zu reisen?!
Raumartige Intervalle: Ja, die physikalische Situation spiegelt genau die mathematische Gleichung wider.
Lichtartige Intervalle: Ihre Konstellation ist sehr speziell, nehmen Sie zum Beispiel ein masseloses Teilchen (Photon). Da das Raumzeitintervall Null ist, bedeutet dies, dass der Emissionspunkt und der Absorptionspunkt in der Raumzeit benachbart sind, sie befinden sich am selben Ort. Ihre Uhr zeigt Null an, weil ihre zurückgelegte Strecke (in Raumzeit) Null ist.
Mein Punkt ist jedoch, dass Sie in Bezug auf ein Photon nicht in Ruhe sein können und daher keine Eigenzeit dafür definieren können, da die Koordinatenzeit nur im Ruhesystem des Objekts gleich der Eigenzeit ist. Ein Beobachter, der sieht, wie ein Photon von einer Quelle und dann anschließend von einem Detektor emittiert wird, wird sicherlich ein von Null verschiedenes (koordiniertes) Zeitintervall zwischen den beiden Ereignissen messen.
Ihr Argument ist nicht relevant, weil Sie das Zeitintervall (das nicht Null ist) und das Raumzeitintervall (das Null ist) verwechseln.
Ich glaube, ich habe deinen vorherigen Kommentar einfach falsch verstanden, um ehrlich zu sein.
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