Kinematik der Streuamplituden in (2,2)(2,2)\left(2, 2\right) Signatur innerhalb des Amplitueders

Die wichtigsten Punkte sind:

1. Es gibt eine bijektive Isometrie aus dem Raum mit geteilter Signatur$(\mathbb{R}^{2,2},||⋅||^2)$zum Raum von$2\times 2$echte Matrizen$({\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{R}),\det(⋅))$, Wo

   $$\begin{align} ||p||^2~=~&(p^0)^2-(p^1)^2+(p^2)^2-(p^3)^2~=~\det(P), \cr p~=~&(p^0,p^1,p^2,p^3)~\in~\mathbb{R}^{2,2},\cr P~=~&\sum_{\mu=0}^3p^{\mu}\sigma_{\mu}~\in~ {\rm span}_{\mathbb{R}}\{ \sigma_0,\sigma_1,i\sigma_2,\sigma_3\} ~=~{\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{R}).\end{align}$$

2. Es gibt eine bilineare Karte

   $$\mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2~\ni~(\lambda,\tilde{\lambda})\quad\mapsto\quad P~:=~\lambda\tilde{\lambda}^T~\in~ {\rm Mat}_{2\times 2} (\mathbb{R}),$$ aus 2 Weyl-Spinoren$\lambda,\tilde{\lambda}$zu einem Rang-1-Operator$P$, die notwendigerweise verschwindende Determinante hat, dh der zugehörige Impuls ist lichtartig/null.