Wie entsteht durch die Gordon-Zerlegung des Dirac-Stroms ein Spin-Drehimpuls?

Wie entsteht durch die Gordon-Zerlegung des Dirac-Stroms ein Spin-Drehimpuls?

Ich habe die Gordon-Zerlegung verwendet, um den Wahrscheinlichkeitsstrom des Dirac-Felds in seinen Orbitalstrom und seinen Spinstrom aufzuteilen. Ich multiplizierte die Ströme mit$mc$um sie in Impuls umzuwandeln und dann den Impuls mit der Position zu kreuzen, um den Bahndrehimpuls und den Spindrehimpuls zu erhalten. Der Spindrehimpuls war jedoch doppelt so groß wie der akzeptierte Wert des Spindrehimpulses. Ich stecke fest, wie ich den zusätzlichen Faktor zwei loswerde.

Die Gordon-Zerlegung teilt den Wahrscheinlichkeitsstrom in zwei Terme

$$\begin{align} mc\langle \gamma^{0n} \rangle = \langle \gamma^{0} i\hbar \partial^{n} \rangle + \tfrac{\hbar}{2}\partial_{j}\langle i\gamma^{0nj} \rangle_{n\neq j} , \end{align}$$ Wo $\langle \gamma^{0} i\hbar \partial^{n} \rangle$sieht aus wie ein orbitaler Impulsstrom und $\tfrac{\hbar}{2}\partial_{j}\langle i\gamma^{0nj} \rangle_{n\neq j}$sieht aus wie ein Spin-Impulsstrom?

Die Winkelmomente von$mc\langle \gamma^{0n} \rangle$kann berechnet werden, indem dann mit Position gekreuzt wird, um Folgendes zu erhalten:

$$\begin{align} mc \left( x^m\langle \gamma^{0n} \rangle - x^n\langle \gamma^{0m} \rangle \right) = \langle \gamma^{0} i\hbar (x^m\partial^{n}-x^n\partial^{m}) \rangle + \tfrac{\hbar}{2}\partial_{j} \left( x^m\langle i\gamma^{0nj} \rangle_{n\neq j} - x^m\langle i\gamma^{0nj} \rangle_{n\neq j} \right) , \end{align}$$