Gesamtdrehimpuls des freien Dirac-Feldes in Bezug auf Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren

Bei der kanonischen Quantisierung für das Dirac-Feld beginnt man normalerweise damit, das Feld in die folgende Form zu erweitern:

$$\psi(x) = \int\frac{d^3\vec{p}}{\sqrt{(2\pi)^32E_\vec{p}}}\sum_{s} \left\{a(\vec{p},s)u(\vec{p},s)e^{-ipx}+ b^\dagger(\vec{p},s)v(\vec{p},s)e^{ipx} \right\},$$ Wo $u(\vec{p},s)e^{-ipx}$Und $v(\vec{p},s)e^{ipx}$sind Lösungen für ebene Wellen mit positiver und negativer Energie für die Dirac-Gleichung, die auch Helizitäts-Eigenspinoren mit Eigenwert sind $s$. Indem man eine zeitgleiche Antikommutierungsbeziehung für den Feldoperator und den kanonischen Impuls auferlegt, gelangt man zu fermionischen Antikommutierungsbeziehungen, die erfüllt sind durch $a(\vec{p},s)$, $b(\vec{p},s)$und ihre hermitischen Konjugierten, wo sie als Schöpfungs- und Vernichtungsoperatoren physikalische Bedeutung erlangen.

Nachdem man eine weise Definition dessen eingeführt hat, was Vakuum bedeutet, kann man den Ausdruck für den Hamilton-Operator, den Impuls und die Ladung des Feldes in Bezug auf diese Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren aufschreiben. Zum Beispiel lautet der Ausdruck für Impuls

$$P^\mu = \int d^3\vec{p} \sum_{s}p^\mu[a^\dagger(\vec{p},s) a(\vec{p},s) + b^\dagger(\vec{p},s) b(\vec{p},s)].$$

Wenn es jedoch um den Drehimpuls geht, scheinen die Lehrbücher ihn nur in Bezug auf angeben zu wollen$\psi(x)$, dh,

$$M_{\mu\nu} = \int d^3x~\psi^\dagger(x)\left[i(x_\mu\partial_\nu-x_\nu\partial_\mu)+\frac{1}{2}\sigma_{\mu\nu}\right]\psi(x),$$ Wo $\sigma_{\mu\nu}$ist der Satz von Matrizen, die das Verhalten des Dirac-Spinors bei der Lorentz-Transformation steuern. Ich weiß, dass der obige Ausdruck ein Sonderfall einer allgemeineren Formel ist, die aus dem Satz von Noether stammt, und ich frage mich, ob es einen ordentlichen Ausdruck dafür gibt $M_{\mu\nu}$bezüglich $a(\vec{p},s)$, $b(\vec{p},s)$und ihre hermiteschen Konjugierten. Ich habe versucht, in der Erweiterung zu ersetzen $\psi(x)$, aber es hat mich nicht sehr weit gebracht. Insbesondere, da sich zwischen den Spinoren ein Ableitungsoperator befindet $u$Und $v$, ich konnte keine orthogonalen Beziehungen anwenden und sehe nicht, wie ich weiter vorgehen soll.

Meine Frage ist also: Gibt es einen ordentlichen Ausdruck für den Gesamtdrehimpuls?$M_{\mu\nu}$des freien Dirac-Feldes$\psi(x)$in Bezug auf Schöpfungs- und Vernichtungsoperatoren$a(\vec{p},s),~a^\dagger(\vec{p},s),~b(\vec{p},s),b^\dagger(\vec{p},s)$? Wenn es einen solchen Ausdruck gibt, wie komme ich dann darauf? Vielen Dank für Ihre Hilfe!

ps Auf dieser Website gibt es eine verwandte, aber nicht identische Frage , auf die anscheinend keine zufriedenstellende Antwort gefunden wurde.

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UPDATE: Für diejenigen, die daran interessiert sein könnten, habe ich Folgendes gefunden, nachdem @Numroks Antwort folgte: $$M_{\mu\nu} = \int d^3\vec{p}\sum_{s,s'}\left\{ \frac{a^\dagger(\vec{p},s')u^\dagger(\vec{p},s')}{\sqrt{2E_\vec{p}}} \left[i\left(\frac{\partial}{\partial p^\nu}p_\mu-\frac{\partial}{\partial p^\mu}p_\nu\right)+\frac{1}{2}\sigma_{\mu\nu}\right] \frac{a(\vec{p},s)u(\vec{p},s)}{\sqrt{2E_\vec{p}}} +\frac{b^\dagger(\vec{p},s')v^T(\vec{p},s')}{\sqrt{2E_\vec{p}}}\left[i\left(p_\mu\frac{\partial}{\partial p^\nu}-p_\nu\frac{\partial}{\partial p^\mu}\right)-\frac{1}{2}\sigma^T_{\mu\nu}\right]\frac{b(\vec{p},s)v^*(\vec{p},s)}{\sqrt{2E_\vec{p}}} \right\}.$$ Wo ${\partial}/{\partial p^0}$sollte als Null genommen werden, und alle ${\partial}/{\partial p^i}$mit $i$Da es sich um einen räumlichen Index handelt, wirkt er auf alle $p^0 = E_\vec{p}$rechts davon. (Ich benutze die $+,-,-,-$Unterschrift.) Ich bin mir nicht sicher, ob dies die einfachste Form ist, weil es mir immer noch etwas kompliziert erscheint. Ich hoffe, die Leute werden nicht zögern, zu kommentieren, wenn sie weitere Ideen oder Informationen haben.