Einbettung von Partikeln in Felder

Für die Klassifikation von Teilchen (Wigner 1939) suchen wir nach einheitlichen Darstellungen der Poincaré/Lorentz-Gruppe. Es gibt nur unendlichdimensionale (nicht-triviale) unitäre Darstellungen!

Um diese zu konstruieren, konzentrieren wir uns auf die "kleine Gruppe", die den Impuls fest lässt, und finden ihre endlich-dim einheitlichen Wiederholungen (klassifiziert durch die beiden Quantenzahlen M Und J ). Diese Wiederholungen hängen jeweils vom Schwung ab P μ , so erhalten wir im Ganzen die unendlich dunklen unitären Wiederholungen in Form von Feldern im Impulsraum.

Wenn wir also bereits Felder haben, die einheitliche Repräsentanten der Poincaré-Gruppe sind, warum müssen wir sie dann noch in verschiedene Repräsentanten wie Skalare einbetten? ϕ ( X μ ) , Vektor A μ ( X μ ) oder Tensor T μ v ( X μ ) Felder? Warum können wir nicht einfach die einheitlichen Wiederholungen verwenden, die wir gefunden haben?

Ich glaube, ich habe mich geirrt und sie sind einheitlich - das wurde in meiner Frage korrigiert. Aber warum verwenden wir nicht einfach die Wiederholungen, die wir zuvor gefunden haben? Was ist falsch daran, sie zu benutzen? Genauer gesagt: Warum verwenden wir nicht die M > 0 , J = 1 , P μ rep anstelle des fourvector-Feldes A μ ( P μ ) ?

Antworten (1)

Wigners Klassifizierung der Teilchendarstellungen ist wichtig , aber nicht das Einzige, was für eine (Quanten-)Feldtheorie benötigt wird. Insbesondere können Sie nicht erwarten, dass sich die Felder in eine von Wigners Darstellungen verwandeln:

Ein klassisches Feld ϕ Transformation unter jeder Gruppe G wird als Abschnitt einer gegeben G -äquivariantes Vektorbündel über der Raumzeit Σ , oder äquivalent a G -äquivariante Karte ϕ : Σ → v ρ Wo v ρ ist ein Repräsentationsraum von G mit Vertretung ρ Und ϕ ( Λ X ) = ρ ( Λ ) ϕ ( X ) .

Die Definition des Feldes, das Werte in einem Vektorraum annimmt, beschränkt es auf die Transformation in eine endlichdimensionale Darstellung, daher kann es kein Teilchen von Wigner sein. Wichtig ist, dass Felder zwar die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für die Teilchen in ihrer Modenentwicklung enthalten , sich aber selbst nicht wie Teilchen umwandeln. Es ist der Hilbert-Raum einer QFT, der die richtigen einheitlichen Darstellungen tragen muss, nicht die Felder.

Wir brauchen ein Feld, weil es die Dynamik der Theorie codiert - eine QFT braucht eine Karte zwischen Ein- und Aus-Zuständen, die durch die S-Matrix gegeben ist, die aus der Feldaktion über das Pfadintegral (oder den LSZ-Formalismus oder einen anderen Ansatz) erhalten wird mit dem du dich am wohlsten fühlst). Die bloße Kenntnis der Fockräume (über Wigners Klassifikation) reicht dafür nicht aus.

Eine freie Theorie gibt im Wesentlichen die Evolutionskarte der In / Out-Zeit als Identität an - Zustände bleiben einfach gleich, sie interagieren überhaupt nicht. In diesem Sinne können Sie eine freie Theorie geben, indem Sie einfach die Fock-Räume angeben. Interessant dürften axiomatische Formulierungen der QFT sein, zB die Wightman-Axiome , wo wir explizit von den unitären Lorentz-Reps + der in den Quantenfeldern codierten Dynamik ausgehen und explizit die Transformation des Feldes als Operator auf das unitäre gefordert wird reps ist durch die äquivariante Transformation genau gegeben ϕ ( Λ X ) = ρ ( Λ ) ϕ ( X ) = U ( Λ ) ϕ ( X ) U ( Λ ) † . Selbst wenn Sie die Dynamik als frei/trivial angeben, benötigen Sie immer noch das Feld, um sie zu codieren.

OK danke! Das erklärt, warum wir nicht einheitliche Skalar-/Vektor-/Tensor-Wiederholungen als unsere Felder verwenden können , aber nicht, warum wir das müssen . Warum nicht einfach die (klassischen) Felder vergessen und mit den Vertretern arbeiten, die Wigner gefunden hat?
@quantumorsch: Wie würdest du? QFT geht normalerweise von der Quantisierung einer klassischen Feldtheorie aus, sodass Sie diese Felder in Ihrer Theorie haben, ob Sie wollen oder nicht. Das Wissen, dass Teilchenzustände sich in eine einheitliche Darstellung der Lorentz-Gruppe umwandeln werden, reicht nicht aus, um die Theorie in irgendeiner Weise zu fixieren. Sie brauchen den Begriff des Feldes, um Dinge wie den Propagator berechnen zu können - das bekommen Sie nicht nur von den Wiederholungen.
Ich verstehe, aber nehmen wir an, wir hätten keine Kenntnisse in klassischen Bereichen und wollten Teilchenphysik "von Grund auf neu" machen. Wigner hat uns gezeigt, welche Arten irreduzibler Wiederholungen es gibt, und jetzt wollen wir daraus eine Wechselwirkungstheorie konstruieren. Warum können wir nicht mit diesen Zuständen (Elementen des Repräsentationsraums) fortfahren? Warum sie in neue mathematische Objekte/Felder einbetten, die sich nicht einheitlich transformieren? A J = 1 Der Zustand transformiert sich gut als Triplett - warum die Komponenten eines Vierervektors verwenden und die schöne Transformationseigenschaft ruinieren?
@quantumorsch: Eine QFT wird durch die In / Out-Hilbert-Räume und die Karten zwischen ihnen gegeben (diese Karte ist im Wesentlichen die S-Matrix / Partitionsfunktion / das Pfadintegral). Wigner sagt Ihnen nur, was die Hilbert-Räume sind, er sagt Ihnen nichts über die S-Matrix. Die Darstellungstheorie allein reicht, außer für CFTs in zwei Dimensionen, nicht aus, um die Partitionsfunktionen zu beschränken, sie müssen immer noch extern gegeben werden, und die übliche Art, sie in der normalen QFT anzugeben, ist als Pfadintegral einer klassischen Feldwirkung.
Also wäre es möglich, über meinen Ansatz eine freie Teilchentheorie aufzubauen? Das Problem liegt in den Wechselwirkungen (S-Matrix)? Ich dachte, das Einbetten von Wigner-Reps in Felder ist bereits für freie Partikel notwendig.
@quantumorsch: Siehe meine Bearbeitung.
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