Was rechtfertigt die Verwendung von Clifford-Spinoren zur Beschreibung höherdimensionaler Fermionen?

OP scheint nach der Logik hinter „Kleine Gruppe“ zu fragen$\to$Lorentz-Gruppe$\to$Clifford-Algebra". In dieser Antwort diskutieren wir das letzte Bein.

Gegeben sei eine ( unbestimmte ) orthogonale / eine (eingeschränkte) Lorentzgruppe $SO^{+}(V,Q)$[und seine doppelte Abdeckung, die Spinngruppe $Spin^{+}(V,Q)$] über ein$\mathbb{F}$-Vektorraum$V$mit quadratischer Form$Q$, existiert funktoriell immer eine entsprechende Clifford-Algebra $Cl(V,Q)$.

Hier nehmen wir an, dass die dazugehörigen endlichdimensionalen Darstellungen von den Spinordarstellungen [dh den fundamentalen Darstellungen ] von abgeleitet sind$Spin^{+}(V,Q)$und Tensorproduktdarstellungen davon.

Kurz gesagt werden Spinordarstellungen als äußere Algebren realisiert$\bigwedge^{\bullet}(V)$. Die quadratische Form von Clifford$Q$und Gammamatrizen können aus der inneren und äußeren Multiplikation und der Clifford-Algebra aufgebaut werden$Cl(Q,V)$ist eine relevante "Quantisierung" der äußeren Algebren$\bigwedge^{\bullet}(V)$. Also die Clifford-Algebra$Cl(Q,V)$kommt kostenlos. Die (unbestimmte) orthogonale / Lorentz-Algebra$so(V,Q)$selbst als Antikommutatoren von Gammamatrizen realisiert.

Dies bedeutet nicht, dass die Clifford-Algebra [zB die$Pin(V,Q)$Gruppe ] verstärken die Symmetrie der Theorie.

Ich beantworte die Frage, warum wir Darstellungen der Clifford-Algebra in der Quantenmechanik und Quantenfeldtheorie verwenden, um Fermionen oder Spin zu beschreiben.

Die kurze Antwort, die ziemlich überraschend erscheinen mag, ist, dass wir das nicht müssen. Clifford-Algebren haben so viele Vorteile bei der Beschreibung des Spins, aber sie sind nicht der einzige Weg, dies zu tun.

Die Antwort auf die Frage, warum Spin empirisch ist: Wenn wir ein klassisches System mit einer Symmetriegruppe quantisieren$G$, transformieren sich die entsprechenden quantenmechanischen Systeme gemäß den irreduziblen Darstellungen der universellen Hüllengruppe$\tilde{G}$statt$G$selbst. Dies ist eine experimentelle Tatsache. Aus diesem Grund entstehen in Quantensystemen mit Rotationssymmetrie halbintegrale Spinordarstellungen.

Die Antwort auf die Frage, warum zur Beschreibung von Fermionen Spin benötigt wird, liefert das Spin-Statistik-Theorem, auf das ich hier nicht näher eingehen werde.

Ich konzentriere mich auf die Frage: Sind Clifford-Algebren zur Beschreibung des Spins notwendig?

Bevor ich die Antwort gebe, möchte ich eine historische Anekdote erzählen: Bevor Berezin seine Grassmann-Algebra-Beschreibung des Pfadintegrals vorstellte, wurde die fermionische Determinante von Hand invertiert. Sie taten dies während der gesamten Ära der großen Errungenschaften der QED. (Grassmann-Algebren können als klassische Gegenstücke zu Clifford-Algebren angesehen werden).

Es ist kein Zufall, dass ich Beresin erwähnt habe. Berezin (zusammen mit Marinov) erkannte als erster, dass Grassmann-Algebren den Spin klassisch beschreiben und durch einen Prozess quantisiert werden können, der das fermionische Gegenstück zur kanonischen Quantisierung zu den Clifford-Algebren ist: Ref 1 , Ref2 . Aber wirklich interessant ist, dass er auch der erste war, der eine Spinor-Darstellung nicht mit Hilfe einer Clifford-Algebra Ref3 beschrieben hat . Tatsächlich ist die Clifford-Algebra in Beresins Verwirklichung so gut versteckt, dass es sehr schwierig ist, die Repräsentanten ihrer Erzeuger in dieser Verwirklichung zu konstruieren.

Ich werde diese Erkenntnis im Fall der Gruppe ein wenig näher ausführen$SO(2N)$

Es ist bekannt, dass Darstellungen von kompakten Lie-Gruppen in einer 1-1-Entsprechung zu (ganzzahligen) Bahnen der koadjungierten Darstellung stehen. Dies ist der Satz von Borel-Weil-Bott .

Im Fall der Spinordarstellung von$SO(2N)$die entsprechende koadjungierte Umlaufbahn ist$SO(2N)/U(N)$dies ist eine komplexe Mannigfaltigkeit von (komplexe Dimension)$\frac{N^2-N}{2}$. Es ist eine kompakte symplektische Mannigfaltigkeit, die als Phasenraum dienen kann.

Was das Borel-Weil-Theorem wirklich bedeutet, ist, dass wir ein klassisches mechanisches System formulieren können$SO(2N)/U(N)$und quantisieren Sie es mittels geometrischer Quantisierung (was nur eine kleine Verallgemeinerung der bekannten kanonischen Quantisierung ist) und erhalten Sie die Spinor-Darstellung von$SO(2N)$auf dem Quanten-Hilbert-Raum. In der Praxis wird diese Darstellung durch kohärente Zustände gegeben, die als holomorphe Funktionen der gebildet sind$\frac{N^2-N}{2}$(bosonische) Koordinaten. An der Konstruktion sind keine Grassmann- oder Clifford-Algebren beteiligt .

Nun, ein Grund, warum diese Erkenntnis in der Quantenfeldtheorie nicht verwendet wird, ist, dass die Grassmann$\rightarrow$Clifford hat die Spin-Statistik-Verbindung aufgrund seiner Antisymmetrie-Eigenschaften darin kodiert. Wenn wir die Quantisierungsrealisierung von Berezin bei der Berechnung verwendet hätten, wäre eine theoretische Amplitude des Quantenfelds erforderlich gewesen, um die Antisymmetrie zusätzlich zu allen anderen Komplikationen von Hand einzuführen.

Nachdem ich das gesagt habe; immer noch einer meiner Träume ist es, mit dieser Darstellung eine einfache QED-Amplitude auf Baumebene zu berechnen. Ich weiß, dass ich dafür ein sehr leistungsfähiges Computeralgebra-Paket brauche.