Kann Lagrange als Metrik betrachtet werden?

Die Dynamik einer großen Klasse mechanischer Systeme kann als geodätische Bewegung in einem bestimmten Umgebungsraum beschrieben werden. Dies ist die Essenz der Kaluza-Klein-Theorie .

Das grundlegende und elementarste Beispiel ist der Fall eines geladenen Teilchens in$3D$gekoppelt an ein Magnetfeld, das als neutrales Teilchen beschrieben werden kann, das sich geodätisch in einem Hintergrund bewegt$4D$, so dass die vierte Dimension die Form eines Kreises hat. Siehe Marsden und Ratiu (Einführung in Mechanik und Symmetrie – Seite 200). Das$4$-ten Impulskomponente des Teilchens entlang des Kreises wird zur elektrischen Ladung.

Somit kann diese Theorie den Ursprung der Ladung erklären. Der Kreis$S^1$überspannt die$4$-te Dimension, mit der wir begonnen haben, ist schließlich der Innenraum$U(1)$der elektrischen Ladung. (Da außerdem in der Quantenmechanik Impulse entlang kompakter Räume quantisiert werden, erklärt diese Theorie auch die Quantisierung der elektrischen Ladung).

Es gibt auch eine Verallgemeinerung der Kaluza-Klein-Theorie, die nicht-Abelsche Ladungen und Wechselwirkungen wie Spin und Farbe beschreibt. Siehe zum Beispiel den folgenden Artikel von Harnad und Pare. (Die Verallgemeinerung der Kaluza-Klein-Theorie, um nicht-Abelsche Ladungen und Wechselwirkungen mit Yang-Mills-Feldern einzubeziehen, wurde von Kerner initiiert ).

Die Verallgemeinerung auf mehrere Teilchen, die durch Gravitations-, elektromagnetische und Yang-Mills-Felder interagieren, ist einfach. Man muss sie nur an die gleiche Metrik im Umgebungsraum koppeln. Auch ist es nicht schwierig, die Theorie relativistisch zu formulieren, da die relativistischen Regeln zur Kopplung an eine Metrik bekannt sind.

In der Mathematik wird diese Theorie als „SubRiemannsche Geometrie“ bezeichnet. Bitte beachten Sie die folgende Rezension von I. Markina. Die allgemeinste Konstruktion besteht darin, dem Teilchen zu erlauben, von jedem Punkt im Umgebungsraum zu starten und sich entlang geodätischer Linien zu bewegen, aber seine Geschwindigkeit so zu beschränken, dass sie auf bestimmten Unterräumen seines Tangentenbündels liegt. Somit beschreibt diese Theorie in ihrer vollen Allgemeinheit nichtholonome Nebenbedingungen und hat viele Anwendungen in der geometrischen Mechanik.

Aufgrund all der möglichen Wechselwirkungen, die durch den Kaluza-Klein-Ansatz erklärt werden können, erschien es sehr attraktiv für die Vereinigung aller fundamentalen Kräfte. Aber es gibt ein starkes Argument von Witten, dass wir bei diesem Ansatz keine masselosen Fermionen erhalten können, die chiral an Eichfelder gekoppelt sind. (Wir können diese Wechselwirkung natürlich von Hand einführen, aber dann würden wir das Vereinigungsprinzip verlieren). Da diese Art der Interaktion dem Standardmodell zugrunde liegt, wurde dieser Ansatz praktisch aufgegeben.

Sie können die Bewegungsgleichungen (Gleichungen der Geodäten) für ein Teilchen in der gekrümmten Raumzeit mit Hilfe der Lagrange-Funktion ableiten

Das möchte ich klarstellen$L$ ist die Metrik der betrachteten Mannigfaltigkeit, nicht$g_{\mu\nu}$, die seine Bestandteile in der spezifischen Basis sind.

Beispiel

Die Bewegung eines Teilchens auf einer Rotationsfläche$r = r(z)$in$\mathbb{R}^3$wird in Zylinderkoordinaten beschrieben$(r,\theta,z)$durch$L = \frac{1}{2}(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2 + \dot{z}^2)$,$g_{\mu\nu} = \text{diag}(1,r^2,1)$. Dies hat eine zyklische Koordinate$\theta$und zwei Freiheitsgrade, was bedeutet, dass das Problem gelöst werden kann. Da der Hamiltonian zeitunabhängig ist, wird Energie erhalten und$|\dot{\vec{x}}|=\text{const}$. Wenn der Winkel zwischen Meridian u$\dot{\vec{x}}$ist$a$, dann$r\dot{\theta} = |\dot{\vec{x}}| \sin a$, und da$p_\theta = r^2\dot{\theta} = \text{const}$, wir erhalten$r\sin a = \text{const}$, die Gleichung der Geodäten.

I) OP spricht über das Minimieren von Kurven (anstelle von höherdimensionalen Objekten), also konzentrieren wir uns auf die Punktmechanik (im Gegensatz zur Feldtheorie) mit Lagrange$L$(anstelle der Lagrange-Dichte${\cal L}$). Wir nennen den Kurvenparameter herkömmlich Zeit$t$, obwohl es keiner physikalischen Zeitvariablen entsprechen muss.

Lassen Sie uns der Kurve der Einfachheit halber Dirichlet-Randbedingungen auferlegen

Damit das Prinzip der stationären Wirkung als Prinzip der minimalen Wirkung funktioniert, sollte der Potentialterm klein sein, dh wir sollten entweder die plötzliche Annäherung untersuchen$\Delta t:=t_f-t_i \ll \tau$klein ("damit das Potenzial keine Zeit zum Handeln hat"), oder Theorien ohne Potenzialbegriffe studieren, dh

Um ein Minimalprinzip zu haben, die Metrik$g_{jk}$sollte (semi)positiv definit sein. Null-Modi sollten messgerätefest sein.

II) Nehmen Sie an, dass der Konfigurationsraum $(M,g)$ist mit einer Metrik ausgestattet$g_{jk}$. Es liegt nahe, in diesem Zusammenhang die Weltfunktion von Synge zu erwähnen $\sigma(q_f,q_i)$, die das halbe Quadrat der Länge der (kürzesten) Geodätischen zwischen den beiden verallgemeinerten Positionen ist $q_i$und$q_f$, vgl. zB Art.-Nr. 1. Weltfunktion von Synge$\sigma(q_f,q_i)$möglicherweise nicht global gut definiert. Neben der Allgemeinen Relativitätstheorie wird die Weltfunktion von Synge von verschiedenen Autoren verwendet, wie z. B. Refs. 2 und 3, in geometrisch kovarianten Ansätzen zur Feldtheorie.

Verweise:

1. E. Poisson, The Motion of Point Particles in Curved Spacetime, Living Rev. Relativity 7 (2004) 6 ; Abschnitt 2.1.

2. Bryce DeWitt, Supermannigfaltigkeiten, Cambridge Univ. Presse, 1992; Ab etwa Gl. (6.4.13).

3. GA Vilkovisky, Die einzigartige Wirkungsweise in der Quantenfeldtheorie, Nucl. Phys. B234 (1984) 125 ; Ab etwa Gl. (12).

Die Zeit in eine zusätzliche Dimension umzuwandeln hilft nicht wirklich, weil "Zeit" in diesem Zusammenhang keine Koordinate ist, sondern ein Parameter, der verwendet wird, um den Weg darzustellen. Selbst wenn wir eine zusätzliche Dimension hinzufügen, müssten die Pfade immer noch parametrisiert werden, um "Linienintegrale" zu nehmen, also wird ein Parameter trotzdem wieder eingeführt. Aber selbst wenn das sinnvoll wäre (vielleicht durch irgendwie Fixieren der Parametrisierung, ich verstehe nicht wirklich wie), wird ein solcher "angehobener" Lagrange mit Sicherheit nicht in der speziellen Form geodätischer Funktionale vorliegen, da die "Zeit" eingeht es.

Die allgemeine Form eines klassischen Lagrange-Funktionales mit der kleinsten Wirkung in verallgemeinerten Koordinaten ist$L=\int g_\gamma(\dot{\gamma},\dot{\gamma})-V(\gamma)\,dt$, wo$g$ist die Riemannsche Metrik für kinetische Energie,$\gamma=\gamma(t)$ist ein Weg, und$V$ist der potentielle Begriff. Das Funktional, dessen Extremale Geodäten sind, ist nur$\int g_\gamma(\dot{\gamma},\dot{\gamma})\,dt$(Für die Länge müssen wir die Quadratwurzel unter das Integral setzen, aber die Quadratwurzel ist eine monotone Funktion, daher sind die Minimierer gleich). Es gibt keinen Grund, warum die Minimierung eines Integrals der kleinsten Wirkung gleichbedeutend mit der Minimierung eines geodätischen Integrals sein sollte, vielleicht mit einem anderen$g$, außer in einigen sehr speziellen Fällen (z. B. konstant$V$). In Koordinaten ist der erste Term eine Summe einiger Funktionen verallgemeinerter Positionen multipliziert mit Monomen zweiten Grades in verallgemeinerten Geschwindigkeiten, der potentielle Term hat überhaupt keine Geschwindigkeiten.

So auch schon Galileis Problem der fallenden Körper in konstanter Schwerkraft, mit$L=\int\frac12(\dot{x}^2+\dot{y}^2)-\text{g}y\,dt$das die übliche Auswahl an Parabeln erzeugt, ist kein geodätisches Problem. Man kann sich immer noch fragen, ob es einen superschlauen Weg gibt, eine Metrik zu finden, die ein äquivalentes Problem erzeugt, für das die Parabeln mit der geringsten Wirkung die Geodäten sind. Aber es gibt eine besondere Eigenschaft der Geodäten, die dies ausschließt: Es gibt nur eine (lokal) durch jeden Punkt in jede Richtung. Dies gilt nicht für Galileos Parabeln: Wenn Sie einen Ball in die gleiche Richtung werfen, beispielsweise horizontal, aber mit unterschiedlichen Stärken (Anfangsgeschwindigkeiten), werden die Parabeln, denen er auf den Boden folgt, unterschiedlich sein. Das heißt, ein Großteil der geometrischen Theorie der Geodäsie, die in modernen Lehrbüchern oft nur in ihrem Kontext anzutreffen ist, das Eikonal, die konjugierten Punkte, die Jacobi-Felder usw., lässt sich auf allgemeinere Funktionale verallgemeinern.

Im Gegensatz dazu ist das verwandte Brachistochronenproblem ein geodätisches Problem, seine Lagrangedichte ist es$L=\displaystyle{\int\frac{\dot{x}^2+\dot{y}^2}{2\text{g}y}\,dt}$, die entsprechende "Länge" ist die Laufzeit, und deshalb konnte Bernoulli sie so lösen, wie er es tat, mit der optisch-mechanischen Analogie. Insbesondere bedeutet die oben erwähnte Parametrisierungsinvarianzeigenschaft der Geodäten, dass unabhängig von der Anfangsgeschwindigkeit die Trajektorie des schnellsten Abstiegs von jedem Punkt dieselbe ist, solange sie in die gleiche Richtung verläuft.

Somit sind die Zykloiden von Bernoulli Geodäten, die Parabeln von Galileo jedoch nicht. Übrigens war es Galileo, der sich zuerst mit dem Brachistochronenproblem befasste, obwohl er dachte, dass die Lösungen eher kreisförmige als Zykloidenbögen seien (oder zumindest wird das, was er schrieb, allgemein so interpretiert). Galileo war auch derjenige, der als erster die Zykloide einführte. Geschichte ist manchmal lustig.

Sie müssen nicht davon ausgehen, dass der Weg der geringsten Maßnahmen der eingeschlagene Weg ist. Sie können es anhand der Newtonschen Gesetze zeigen. Siehe http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/dynamics/two.pdf

Der Weg der geringsten Aktion ist der Weg für die$F = ma$hält an jedem Punkt. Das ist die Geodäte. Dies ist der kürzeste Weg durch die Raumzeit. Sie erhalten diesen Pfad aus dem Lagrangian.

Sie können dies für viele Partikelsysteme in allgemeinen Koordinaten tun. Es funktioniert für alle grundlegenden Gesetze der Physik.

Aber ich bin mir nicht sicher, ob dies die Lagrange-Funktion zu einer Metrik macht. Ein Vektorraum ist ein metrischer Raum, wenn er eine Metrik hat. Eine Metrik ist eine Funktion, die einen beliebigen Vektor nimmt und eine Länge für diesen Vektor zurückgibt.

In diesem Fall ist der Vektorraum die Raumzeit. Die übliche Metrik gibt entweder eine richtige Länge oder eine richtige Zeit zurück.

Wollen Sie damit sagen, dass ein gültiger Ersatz für die Länge durch gegeben ist?$L = T-V$? Dies hat Energieeinheiten. Es liefert Informationen über Kräfte, nicht nur über die Raumzeit. Vielleicht ist das in Ordnung. Geodäten enthalten Informationen über Kräfte. Aber mehr Energie = größere Strecke/Zeit?

Das sieht nicht richtig aus, es sei denn, Sie sprechen von einem anderen Vektorraum als ich denke, Sie meinen.