Geodätische Gleichung aus dem Eigenzeitintegral

Das ist etwas, was mich schon seit einiger Zeit beschäftigt. Das übliche Verfahren, das ich gesehen habe, besteht darin, die Eigenzeit als Linienintegral zu schreiben

$$\tau=\int_\gamma d\tau$$ entlang irgendeiner Kurve $\gamma$. Diese Kurve, die dies minimiert, ist eine Geodäte (unter der Annahme einer Levi-Civita-Verbindung hier). Die Definition $d\tau^2=-g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu$führt zu $$\frac{d\tau}{d\lambda}=\sqrt{-g_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx^\mu}{d\lambda}}.$$ Unter Verwendung der Standardregel für Linienintegrale haben wir also $$\int_\gamma d\tau=\int_{\lambda_i}^{\lambda_f}\sqrt{-g_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx^\mu}{d\lambda}}d\lambda,$$ Wo $\gamma(\lambda_i),\gamma(\lambda_f)$sind Anfangs- und Endpunkt der Kurve. Es kann leicht verifiziert werden, dass dies parametrisierungsinvariant ist. Normalisieren ist Standard $\gamma$ $$g_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\tau}\frac{dx^\nu}{d\tau}=-1.$$ So scheint es $$\int_\gamma d\tau=\int_{\lambda_i}^{\lambda_f}\sqrt{-g_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx^\mu}{d\lambda}}d\lambda=\int_{\tau_i}^{\tau_f}d\tau=\tau_f-\tau_i.$$ Daher $\gamma$scheint gar keine Rolle zu spielen. Also, wenn wir eine Ein-Parameter-Familie einführen $\{\gamma_\varepsilon\}$und die Variationsableitung nehmen, erhalten wir willkürlich 0. Was gibt? Wie können wir dieses Integral variieren, ohne die Grenzen zu ändern?