Woher wissen wir, dass die Geodäte ein Minimum ist?

Im Allgemeinen sind die Geodäten "stationäre Punkte", was bedeutet, dass sie die entsprechenden Euler-Lagrange-Gleichungen erfüllen. Diese Bedingung ist grundlegender als ein Minimum oder Maximum oder ein Sattelpunkt oder eine Grenzsituation, die Biegungen beinhaltet. Ein Minimum zu sein usw. ist eine Kombination der Grundbedingung, die durch die Euler-Lagrange-Gleichungen angegeben ist; und eine Art Ungleichung für die Matrix der zweiten funktionellen Ableitungen.

Geodäten in Räumen mit der eindeutigen euklidischen Signatur – nicht Raumzeiten! – neigen dazu, Minima mit der richtigen Länge zu sein.

In der Minkowski-Raumzeit sind fast alle zeitähnlichen Geodäten tatsächlich eher Maxima als Minima der Eigenzeit, die entlang der Geodäten gemessen wird. Das ist leicht zu sehen: Jede andere zeitähnliche Kurve, die die beiden Endpunkte verbindet, ist näher an Null (deren Eigenzeit Null ist), also ist ihre Eigenzeit kürzer als die Zeit entlang des geraden Pfades (der Zwilling, der im Zwillingsparadoxon zu Hause bleibt wird älter). Dies wird auch auf die gekrümmte Minkowski-Signatur-Raumzeit verallgemeinert: Man sieht das, wenn er den langen gekrümmten Weg in viele Stücke zerlegt, weil jedes Stück de facto den gleichen Regeln folgt wie die Wege in einem flachen Raum.

Allerdings sind raumartige Geodäten Sattelpunkte. Störungen der Geodäten in den transversalen raumartigen Richtungen machen die Eigenlänge länger, während Störungen der Geodäten in der zeitartigen Querrichtung kürzer sind.

Null-Geodäten können überhaupt nicht eindeutig als Maxima oder Minima definiert werden: Jede Nullkurve, die dieselben zwei Endpunkte verbindet (und es gibt unendlich viele), hat dieselbe Länge, nämlich Null, während sowohl zeitartige als auch räumliche Kurven "länger" sind. obwohl sich die Längeneinheit um einen Faktor von unterscheidet$i$. Relativ zu einigen Variationen werden Null-Geodäten wahrscheinlich Beugungen sein. In diesem Fall sind die entsprechenden Euler-Lagrange-Gleichungen die einzige einfache Möglichkeit, das Besondere an einer Geodäte im Vergleich zu nahe gelegenen Pfaden zu beschreiben.

In den obigen Absätzen ging es um "Minima vs. Maxima vs. Sattelpunkte". Es stellt sich noch die Frage, ob die stationären Punkte globale Minima oder Maxima sein können. Sattelpunkte können nicht "global" sein, daher ist diese Möglichkeit nur für zeitähnliche Geodäten relevant. In vielen Fällen "nah" an den geraden Linien in flachen Räumen und vergleichbaren Situationen in gekrümmten Räumen ist die Geodäte ein globales Maximum der Eigenzeit entlang der Kurve. Im Allgemeinen genug Raumzeiten, nichts dergleichen kann gesagt werden.