Gegeben seien zwei Punkte in der Lorentzschen Raumzeit , stimmt es, dass es nur eine eindeutige Null-Geodäte (bis zur affinen Reparametrisierung) gibt, die die beiden Punkte verbindet?
Einerseits scheint die Antwort "Ja" zu sein, da aus der geodätischen Gleichung Null-Geodäten erhalten werden, die bei gegebenen Anfangsdaten eindeutige Antworten haben und alles, was ich reparieren muss, der Endpunkt ist wenn Anfangsdaten bei Punkt beginnen . Andererseits kann ich mir beispielsweise einen Fall von Gravitationslinsen vorstellen, bei dem Nullstrahlen von einer Quelle (Punkt ) hinter einer Gravitationslinse werden entlang zweier verschiedener Nullrichtungen gebogen und erreichen die Erde (Punkt ), was zu implizieren scheint, dass die Antwort "nein" lautet.
Ich versuche, die Physik zu verstehen, also vermeide ich es jetzt, vollständig in den Beweis der Einzigartigkeit einzutauchen, es sei denn, das ist der einzige Weg.
Bearbeiten: Ich hätte vorsichtiger sein sollen, die Standard-Gegenbeispiele auszuschließen, z. B. solche mit kugelförmiger räumlicher Topologie. Wenn ich eine ausreichend gute Einschränkung wählen müsste, wäre es zu lassen B. Schwarzschild-Raumzeit sein – insbesondere das Äußere der Schwarzschild-Schwarzen Löcher oder kugelförmigen Sterne. Naiv erwarte ich, dass dies nicht eindeutig ist, aber ich bin mir nicht sicher, ob die Lösung am besten mit Kaustiken und Sachen behandelt wird, die für Singularitätstheoreme verwendet werden.
Nein ist es nicht. Selbst in der Schwartzschild-Metrik zum Beispiel kann man bei zwei Punkten, die sich nur in der Zeitkoordinate unterscheiden, leicht zwei Geodäten finden, von denen die eine die Drehung um den BH ist und die andere eine nach außen gerichtete Anfangsgeschwindigkeit hat.
Es ist wahr, dass die geodätischen Gleichungen eine und nur eine Lösung für gegebene "Anfangsdaten" haben, aber wenn Sie sagen Und Sie nehmen nur Koordinaten, keine Geschwindigkeiten, und legen daher keine richtigen "Randbedingungen" fest.
Die geodätische Gleichung ist zweiter Ordnung, daher benötigen Sie eine Anfangsposition und eine anfängliche erste Ableitung, um eine eindeutige Lösung zu erhalten. Wenn Sie eine Anfangs- und eine Endposition haben, erhalten Sie möglicherweise eine einzigartige Lösung, wenn die beiden Positionen sehr nahe beieinander liegen, in der Praxis, wenn Sie Krümmungseffekte ignorieren können. Mit anderen Worten, Sie approximieren die Raumzeit lokal als flache Raumzeit, sodass Sie zwei beliebige Ereignisse durch eine eindeutige Geodäte verbinden können.
Bei manchen Mannigfaltigkeiten wie der Kugel ist dies überhaupt nicht möglich. Selbst wenn zwei Punkte nahe beieinander liegen, gibt es immer mindestens zwei Geodäten, die sie verbinden.
Gegeben seien zwei Punkte in einer Lorentzschen Raumzeit , gibt es im Allgemeinen keine Null-Geodäte, die die beiden Punkte verbindet. Eine Null-Geodäte besteht nur aus ist ein Element des Lichtkegels von , .
In einer ausreichend kleinen Nachbarschaft von , ist eigentlich ein Kegel, und für jeden innerhalb dieser Nachbarschaft die geodätische Nullverbindung Und wird einzigartig sein. Allerdings weiter weg von es ist möglich, dass selbst schneidet. Diese Schnittpunkte sind als "Caustics" von bekannt . Wenn auf diesen Kaustiken liegt, dann gibt es zwei (oder mehr) verbindende Nullgeodäten Und .
In besonderen Fällen ist sogar eine Existenz möglich Und für die es unendlich viele verbindende Null-Geodäten gibt Und . Betrachten Sie als einfaches Beispiel die Lorentzsche Raumzeit (mit der offensichtlichen Lorentizan-Metrik). Durch Symmetrie ist es leicht zu sehen, dass wenn Und sind auf entgegengesetzten Polen der Und , dann gibt es unendlich viele Null-Geodäten, die miteinander verbunden sind Und .
Beachten Sie jedoch im Allgemeinen, dass da die Kaustik von sind Selbstschnitte von , die höchstens eine Maß-Null-Teilmenge von bilden . Daher für einen allgemeinen Punkt es wird eine einzigartige geodätische Verbindung geben Und .
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