Tötungsvektoren in der Schwarzschild-Metrik

Question

Tötungsvektoren in der Schwarzschild-Metrik

Arturo DonJuan

Gegeben sei die Schwarzschild-Metrik mit $(-,+,+,+)$ Unterschrift,

D S^{2} = - (1 - \frac{2 M}{R}) D T^{2} + {(1 - \frac{2 M}{R})}^{- 1} D R^{2} + R^{2} (D θ^{2} + {Sünde}^{2} θ D ϕ^{2})

$\text ds^2=-\left(1-\frac{2M}{r}\right)dt^2+\left(1-\frac{2M}{r}\right)^{-1}dr^2+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\phi^2)$

die fehlende Abhängigkeit der Metrik von $t$ Und $\phi$ erlauben Sie uns, die Tötungsvektoren abzulesen $K_1=\partial_t$ Und $K_2=\partial_{\phi}$ . Diese Vektoren sind in ihren Koordinatendarstellungen gegeben durch

K_{1} = (- (1 - \frac{2 M}{R}), 0, 0, 0)

$K_1=\left(-\left(1-\frac{2M}{r}\right),0,0,0\right)$

K_{2} = (0, 0, 0, R^{2} {Sünde}^{2} θ)

$K_2=\left(0,0,0,r^2\sin^2\theta\right)$

Wie liest man diese Vektorkomponenten sofort ab für $K_1$ Und $K_2$ ? Was ist die Logik hinter dem Ablesen? Wie würde ich "die Killing-Vektoren ablesen", wenn ich dabei keine explizite Abhängigkeit behalte $t$ oder $\phi$ , der Metrik einige Terme außerhalb der Diagonale hinzugefügt? Bitte helfen Sie mir, intuitiv zu verstehen, was hier vor sich geht.

Magma

Ihre Frage, so wie sie steht, ist nicht sehr klar. Was Sie wirklich wissen wollen, sind die kovarianten Komponenten der Tötungsvektoren angesichts der einfachen kontravarianten . Sie wechseln einfach von den kontravarianten zu den kovarianten Komponenten, indem Sie einfach mit der Metrik multiplizieren, wie von Chris White in seiner Antwort beschrieben.

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Tötungsvektoren in der Schwarzschild-Metrik

Ihre Frage, so wie sie steht, ist nicht sehr klar. Was Sie wirklich wissen wollen, sind die kovarianten Komponenten der Tötungsvektoren angesichts der einfachen kontravarianten . Sie wechseln einfach von den kontravarianten zu den kovarianten Komponenten, indem Sie einfach mit der Metrik multiplizieren, wie von Chris White in seiner Antwort beschrieben.

Benutzer10851 · Answer 1

Wenn alle Komponenten der Metrik unabhängig von etwas Besonderem sind $x^\nu$ , dann haben Sie den Tötungsvektor $\vec{K}$ mit Komponenten $K^\mu = \delta^\mu_\nu$ . Das heißt, die kontravariante Form hat nur eine Konstante im entsprechenden Slot und Nullen an anderer Stelle. Bei Schwarzschild haben Sie $K^\mu = (1, 0, 0, 0)$ Und $R^\mu = (0, 0, 0, 1)$ ( $\vec{K}$ Und $\vec{R}$ dein sein $K_1$ Und $K_2$ , bzw).

Um die kovarianten Formen zu finden, senken Sie einfach mit der Metrik. In Schwarzschild haben wir

\begin{aligned} K_{μ} & = G_{μ v} K^{v} = G_{μ T} = (- (1 - 2 M / R), 0, 0, 0) \\ R_{μ} & = G_{μ v} R^{v} = G_{μ ϕ} = (0, 0, 0, R^{2} {Sünde}^{2} θ) . \end{aligned}

$\begin{align} K_\mu & = g_{\mu\nu} K^\nu = g_{\mu t} = \big({-}(1-2M/r), 0, 0, 0\big) \\ R_\mu & = g_{\mu\nu} R^\nu = g_{\mu\phi} = \big(0, 0, 0, r^2 \sin^2\!\theta\big). \end{align}$ Hier würden Terme außerhalb der Diagonale ins Spiel kommen. Zum Beispiel haben wir in Boyer-Lindquist auch nein

t

$t$ -Abhängigkeit, so haben wir

K^{μ} = (1, 0, 0, 0)

$K^\mu = (1, 0, 0, 0)$ Und

K_{μ} = G_{μ T} = (- (1 - 2 M R / Σ), 0, 0, - (2 M A R / Σ) {Sünde}^{2} θ),

$K_\mu = g_{\mu t} = \big({-}(1-2Mr/\Sigma), 0, 0, -(2Mar/\Sigma)\sin^2\!\theta\big),$ wo genau die vierte Komponente ist

g_{t ϕ}

$g_{t\phi}$ .

@ user10851 hängt dies damit zusammen, dass, wenn einige $\frac{dP_{x_0}}{d\tau}=0$ Und $K^{\mu}$ ist also ein Tötungsvektor $K^{\mu}P_{\mu}=P_{x_0}$ ?

OT · Answer 2

Konzeptionell:

Wenn wir die mathematische Definition für eine Weile beiseite lassen, können wir den Tötungsvektor definieren :

Tötungsvektor $K^\mu(x)$ lässt die Metrik bei infinitesimalen Koordinatenänderungen unverändert

Zeitkoordinate

Verändern in $t$ ändert nichts an der Metrik:

Verändern in $t\rightarrow t+dt$ :

$g_{\mu \nu}=g_{\mu \nu}(t)=g_{\mu \nu}(t+dt)=g_{\mu \nu}$

Also sollte einer der tödlichen Vektoren dabei sein $t$ :

$K^\mu=(1,0,0,0)$

Das ist es!

Hinweis: Das Formular, das Sie haben, hat den Index gesenkt: $K_\mu=g_{\mu \nu}K^\nu=(g_{\mu0}K^0,0,0,0)=(-(1-2M/r),0,0,0)$

Hinweis: Eine ähnliche Logik kann für jede Metrik verwendet werden. Beispiel: Wenn $g_{\mu \nu} \rightarrow g_{\mu \nu}(x,y,z)$ , dann sollte einer der Tötungsvektoren sein $K^\mu=(1,0,0,0)$

Tötungsvektoren in der Schwarzschild-Metrik

Arturo DonJuan

Magma

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Benutzer10851

Arturo DonJuan

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