Statische Raumzeit und Schwarzschild-Lösung

Die Schwarzschild-Raumzeit ( M , G ) , für die die Metrik eine Lösung für die Einstein-Feldgleichung im Vakuum ist,

G = − ( 1 − 2 M R ) D T 2 + ( 1 − 2 M R ) − 1 D R 2 + R 2 D Ω 2
ist sicherlich stationär in der Region { R > 2 M } und ich habe gelesen, dass das auch statisch ist.

Per Definition ist eine Raumzeit statisch, wenn es eine Funktion gibt T : M → R st wenn X ist also ein tödliches Vektorfeld X B = G ( X , X ) D T , Wo X B ist das eine Formular, dem zugeordnet ist X durch die Metrik G .

Nun, ich habe den Sinn dieser Definition nicht verstanden und kann daher nicht verstehen, wie ich mit Blick auf die obige Metrik sagen kann, dass dies statisch ist. ich meine warum ∂ ∂ T erfüllt die Bedingung für die Statik?

Antworten (2)

Betrachten Sie Killings Gleichung für Schwarzschild:

∇ ( A v B ) = 0

betrachte den Ansatz v B = A ( R ) D T

Dann,

Dies gibt uns eine nichttrivale Gleichung (t,r):

0 = ∂ R A − Γ R T T A = ∂ R A − A M / R 2 1 − 2 M / R l N ( A ) = l N ( C ) + ( 1 / 2 ) l N ( 1 − 2 M / R 2 ) A = C ( 1 − 2 M / R )

So, D T nicht die kovariante Form des Tötungsvektors ist, muss sie um einen Faktor von skaliert werden | G T T |

Es ist ein Killing-Vektorfeld, da die Metrik nicht explizit davon abhängt T !! Und auch ∂ ϕ tötet!
Sie irren sich in den obigen Kommentaren (die Antwort ist richtig): wenn die Metrik unabhängig von ist T dann die kontravariante KVF ξ A = ( 1 , 0 , 0 , 0 ) . Die korrekten Komponenten des kovarianten KVF sind wie Jerry oben geschrieben hat. Sie werden oft Leute sehen, die schreiben, dass die KVF ist ∂ T aber das bedeutet wirklich dasselbe.
@Umaxo Bei der Arbeit mit Killing-Vektoren ist es ziemlich üblich, sowohl mit erhöhten als auch mit niedrigeren Indexkomponenten zu arbeiten. Ich finde die letzte Aussage von Jerry Schirmer nicht so ξ = ∂ T kein Tötungsvektor ist, ist richtig. Aber sein Ausdruck für die kovarianten Komponenten, die man aus Killings Gleichung findet, ist.
@Umaxo Ah, wenn Sie sich nur mit der letzten Aussage beschwert haben, als ich Ihnen nicht widerspreche, habe ich falsch verstanden, dass die Antwort selbst falsch war. Scheint ein Notationsproblem zu sein.
@Eletie fair genug. Ich habe seine Gleichungen nicht überprüft, nur den letzten Satz.
@Umaxo korrigiert
Und ja, die Version davon, die explizite Lügenableitungen der Metrik verwendet, anstatt der Form, die kovariante Ableitungen verwendet, erhalten Sie ξ A ∂ A G B C Begriffe anstelle von Christoffel-Symbolen, und es ist immer noch äquivalent
@JerrySchirmer Aus deiner Antwort verstehe ich nicht, wie man die Statik der Schwarschild-Lösung erkennt ...

Alles, worüber Sie in der Frage sprechen, hat sehr viel mit der Lie-Ableitung zu tun . Sie können die Definition online nachschlagen, aber im Grunde ist es eine andere Möglichkeit, Veränderungen zu messen (dies sollte aus dem Wort Ableitung ersichtlich sein ). Die Lie-Ableitung misst im Gegensatz zu anderen Ableitungen eine Änderung im Feld unter einem Diffeomorphismus.

Ich stelle mir das gerne so vor: Stell dir vor, du gehst auf einen Berg und fragst dich, wie sehr sich deine Position verändern wird, wenn du weiter vorwärts gehst. Was Sie also tun, ist, eine bestimmte Strecke (sollte unendlich klein sein, aber vergessen Sie das jetzt) ​​in eine bestimmte Richtung zu gehen, und dann schauen Sie zurück, vielleicht schauen Sie nach unten, vielleicht nach oben, je nachdem, wo Sie standen. Sie können jetzt die beiden Positionen vergleichen und so eine Art von Änderung in Ihrer Position messen, richtig?

Stellen Sie sich nun vor, Sie seien ein Tensor und bewegten sich infinitesimal entlang eines Pfades γ ( λ ) mit Tangentenvektoren X (es ist ein Feld), und dann ziehen Sie sich dorthin zurück, wo Sie begonnen haben. Dann herzlichen Glückwunsch, Sie haben sich differenziert.

Ein Killing-Vektor (meiner Meinung nach ein unglücklicher, auffälliger Name, aber nur nach Wilhelm Killing benannt. Sie können denken, dass er den Tensor in der Ableitung "tötet", da er gegen Null geht.) ist nur ein Vektorfeld X die eine Kurve tangiert, entlang der die Lie-Ableitung Null ist (der Tensor ändert sich nicht). Für den Fall der Metrik ist der Koordinatenausdruck

L X G μ v = ∇ μ X v + ∇ v X μ = 0

Damit können Sie überprüfen, ob die Metrik tatsächlich statisch ist. Aber ich hoffe wirklich, dass Sie nach der Antwort die Formel nicht brauchen, um zu fühlen, warum die Metrik statisch ist: Nachdem Sie eine gewisse Strecke auf einem Pfad rein in Zeitrichtung gewandert sind, ändert sich die Schwarzschild-Metrik in keiner Weise.

Denken Sie in der obigen Formel daran X μ D X μ ist KOVARIANT, während X μ ∂ ∂ X μ ist KONTRAVARIANT, obwohl beide die gleichen Vektoren sind. Denken Sie nur daran, sich zu drehen X μ ∂ ∂ X μ in seine kovariante Form, und dann können Sie die Formel verwenden.
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