Verstehen der Fujitani-Ikeda-Matsumoto-Einbettung

Question

Verstehen der Fujitani-Ikeda-Matsumoto-Einbettung

Verdorbene Milch

Das minimale Maß $N$ des flachen Raums, in den die Schwarzschild-Metrik eingebettet werden kann, ist gleich sechs, und die Fujitani-Ikeda-Matsumoto-Einbettung ist eine Methode zur Einbettung der Schwarzschild-Metrik in eine sechsdimensionale Raumzeit ( https://arxiv.org/pdf/ 1202.1204.pdf ). Es gibt zwei Möglichkeiten der Signaturauswahl: $(++----)$ Und $(--+---)$ .Die Einbettungsfunktion $y^{a}$ ist wie folgt:

j_{0} = T \sqrt{1 - \frac{R}{R}}

$y_{0}=t\sqrt{1-\frac{R}{r}}$

j_{1} = \frac{1}{\sqrt{2} γ} (\frac{γ^{2} T^{2}}{2} - 1) \sqrt{1 - \frac{R}{R}} + \frac{H (R)}{\sqrt{2}}

$y_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}\gamma}\left(\frac{\gamma^{2}t^{2}}{2}-1\right)\sqrt{1-\frac{R}{r}}+\frac{h(r)}{\sqrt{2}}$

j_{2} = \frac{1}{\sqrt{2} γ} (\frac{γ^{2} T^{2}}{2} + 1) \sqrt{1 - \frac{R}{R}} + \frac{H (R)}{\sqrt{2}}

$y_2=\frac{1}{\sqrt{2}\gamma}\left(\frac{\gamma^{2}t^{2}}{2}+1\right)\sqrt{1-\frac{R}{r}}+\frac{h(r)}{\sqrt{2}}$

j_{3} = R S ich N θ S ich N ϕ, j_{4} = R S ich N θ C Ö S ϕ, j_{5} = R C Ö S θ

$y_{3}=rsin\theta sin\phi,y_{4}=rsin\theta cos\phi,y_5=rcos\theta$ Wo

H (R) = \frac{γ R (2 R + 3 R)}{4} \sqrt{1 - \frac{R}{R}} + \frac{3 γ R^{2}}{8} l N (\frac{2 R}{R} (1 + \sqrt{1 - \frac{R}{R}}) - 1)

$h(r)=\frac{\gamma r(2r+3R)}{4}\sqrt{1-\frac{R}{r}}+\frac{3\gamma R^{2}}{8}ln\left(\frac{2r}{R}\left(1+\sqrt{1-\frac{R}{r}}\right)-1\right)$

In allen oben genannten Formeln $R$ ist der Schwarzschild-Radius und $\gamma=\sqrt{2}$ . Nach einer metrischen Signatur von $(++----)$ , dh, $ds^{2}=dy_{0}^{2}+dy_{1}^{2}-dy_{2}^{2}-dy_{3}^{2}-dy_{4}^{2}-dy_{5}^{2}$ , und durch Ersetzen der Metrik für die obigen Transformationen erhielt ich das folgende Ergebnis:

D S^{2} = (1 - \frac{R}{R}) D T^{2} - {(1 - \frac{R}{R})}^{- 1} (\frac{4 R^{4} - 2 R^{3} R + R^{2} R^{2} T^{2} - R^{2}}{4 R^{4}}) D R^{2} - R^{2} D Ω^{2}

$ds^{2}=\left(1-\frac{R}{r}\right)dt^{2}-\left(1-\frac{R}{r}\right)^{-1}\left(\frac{4r^{4}-2r^{3}R+r^{2}R^{2}t^{2}-R^{2}}{4r^{4}}\right)dr^{2}-r^{2}d\Omega^{2}$ Die eingebettete Metrik ähnelt der Schwarzschild-Metrik, abgesehen von einem zusätzlichen Term, der eine Funktion von ist

t

$t$ Und

r

$r$ , dh,

f (r, t) = (\frac{4 r^{4} - 2 r^{3} R + r^{2} R^{2} t^{2} - R^{2}}{4 r^{4}})

$f(r,t)=\left(\frac{4r^{4}-2r^{3}R+r^{2}R^{2}t^{2}-R^{2}}{4r^{4}}\right)$ . Wie visualisiere ich diese Metrik und stelle sie graphisch dar? Und wie ist dies eine erfolgreiche Einbettung, da die ursprüngliche Schwarzschild-Metrik nicht eingebettet ist, sondern eine modifizierte (beachten Sie auch, dass diese Einbettung nicht asymptotisch flach ist).

AccidentalFourierTransform

Hallo Naveen, bitte hör auf, triviale Änderungen vorzunehmen, um diese Frage auf die Titelseite zu bringen. Sie haben das vor 7 Stunden gefragt, Sie müssen geduldiger sein. Danke.

Verdorbene Milch

Die vorherige Bearbeitung war wichtig, da ein Schlüsselwort fehlte, das die Grammatik etwas verzerrt hat.

Jerry Schirmer

Es ist nicht die Schwarzschild-Metrik, es sei denn, es gibt eine Koordinatentransformation, die diese in Schwarzschild-Koordinaten umwandelt.

QMechaniker

Kleiner Kommentar zum Beitrag (v6): Bitte verlinken Sie in Zukunft auf Abstract-Seiten statt auf PDF-Dateien

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Verstehen der Fujitani-Ikeda-Matsumoto-Einbettung

Hallo Naveen, bitte hör auf, triviale Änderungen vorzunehmen, um diese Frage auf die Titelseite zu bringen. Sie haben das vor 7 Stunden gefragt, Sie müssen geduldiger sein. Danke.
Die vorherige Bearbeitung war wichtig, da ein Schlüsselwort fehlte, das die Grammatik etwas verzerrt hat.
Es ist nicht die Schwarzschild-Metrik, es sei denn, es gibt eine Koordinatentransformation, die diese in Schwarzschild-Koordinaten umwandelt.
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Verdorbene Milch · Answer 1

Es scheint, als hätte ich doch oder zumindest teilweise eine Antwort auf die Frage gefunden.

Betrachten Sie den Zeitabschnitt der Metrik $t=const.,\theta=\pi/2$ (mit $R=2M$ ):

\begin{matrix} (1) & D S^{2} = (1 - 2 M / R)^{- 1} (\frac{4 R^{4} - 4 R^{3} M - 4 M^{2}}{4 R^{4}}) D R^{2} + R^{2} D ϕ^{2} = \frac{D R^{2}}{ρ (R)} + R^{2} D ϕ^{2} \end{matrix}

$ds^2=(1-2M/r)^{-1}\left(\frac{4r^{4}-4r^{3}M-4M^{2}}{4r^{4}}\right)dr^{2}+r^{2}d\phi^{2}=\frac{dr^{2}}{\rho(r)}+r^{2}d\phi^{2}\tag{1}$

Dies kann als flache Ebene betrachtet werden, $z=0$ , in zylindrischen Koordinaten. Natürlich beschreibt die Metrik die Geometrie eines Gravitationsobjekts mit einer Masse ungleich Null, dh $M(r)≠0$ , daher können wir davon ausgehen, dass die Metrik eine gegebene Rotationsfläche beschreibt $z=z(r)$ , mit dem $\phi$ Komponente der Zylinderkoordinaten mit dem Bereich $0<\phi≤2\pi$ . Die Metrik einer solchen in drei Dimensionen eingebetteten Fläche wird durch die folgende Metrik beschrieben:

\begin{matrix} (2) & D S^{2} = D z^{2} + D R^{2} + R^{2} D Ω^{2} = {[(\frac{D z}{D R}) + 1]}^{2} D R^{2} + R^{2} D Ω^{2} \end{matrix}

$ds^{2}=dz^{2}+dr^{2}+r^{2}d\Omega^{2}=\left[\left(\frac{dz}{dr}\right)+1\right]^{2}dr^{2}+r^{2}d\Omega^{2}\tag{2}$

Vergleichen $(1)$ Und $(2)$ , wir haben:

\begin{matrix} (3) & [(\frac{D z}{D R}) + 1] = ρ (R)^{- 1} = (1 - 2 M / R)^{- 1} (\frac{4 R^{4} - 4 R^{3} M - 4 M^{2}}{4 R^{4}}) \end{matrix}

$\left[\left(\frac{dz}{dr}\right)+1\right]=\rho(r)^{-1}=(1-2M/r)^{-1}\left(\frac{4r^{4}-4r^{3}M-4M^{2}}{4r^{4}}\right)\tag{3}$ Wir können jetzt integrieren

(3)

$(3)$ , (nach einer Annäherung) wie folgt:

\begin{matrix} (4) & z (R) = \int_{0}^{R} \frac{- M (\frac{M}{2} - R^{3})}{M^{2} + \frac{R^{3} (M - R)}{2}} D R = - M \sum_{ω : - ω^{4} + M ω^{3} + 2 M^{2} = 0} \frac{M l Ö G (- ω + R) - 2 ω^{3} l Ö G (- ω + R)}{- 4 ω^{3} + 3 M ω^{2}} \end{matrix}

$z(r)=\int_{0}^{r}\frac{-M(\frac{M}{2}-r^{3})}{M^{2}+\frac{r^{3}(M-r)}{2}}dr=-M \sum_{\omega:-\omega^{4}+M\omega^{3}+2M^{2}=0}\frac{M log(-\omega +r)-2\omega^{3}log(-\omega+r)}{-4\omega^{3}+3M\omega^{2}}\tag{4}$

Bei einer Reihenentwicklung (verallgemeinerte Puiseux-Entwicklung) erhält man den Ausdruck:

\begin{matrix} (5) & - 2 M l Ö G (R) + \frac{2 M^{2}}{R} + \frac{3 M^{3} + M^{2} (2 M^{2} - 1)}{3 R^{3}} + \frac{M^{3} (2 M^{2} + 3)}{4 R^{4}} + \frac{M^{4} (2 M^{2} + 7)}{5 R^{5}} + Ö {(\frac{1}{R})}^{6} \end{matrix}

$-2Mlog(r)+\frac{2M^{2}}{r}+\frac{3M^{3}+M^{2}(2M^{2}-1)}{3r^{3}}+\frac{M^{3}(2M^{2}+3)}{4r^{4}}+\frac{M^{4}(2M^{2}+7)}{5r^{5}}+O\left(\frac{1}{r}\right)^{6}\tag{5}$ Einstellung

M = 1

$M=1$ , der Einfachheit halber und bei der Durchführung eines 3D-parametrischen Diagramms erhalten wir Diagramme für die untere und obere Hälfte wie folgt:

Berechnungen hier und hier . Durch Ausführen von Operationen wie oben für die Schwarzschild-Metrik beschrieben, würden wir Gleichungen analog zu erhalten $(1),(2)$ ,& $(3)$ , aber der erhaltene endgültige integrierte Wert ist: $z(r)=\sqrt{8M(r-2M)}$ . Somit ist die Zeitscheibe der Schwarzschild-Metrik nichts anderes als die quartische Oberfläche, die durch die Gleichung definiert ist:

\begin{matrix} (6) & X^{2} + j^{2} = {(\frac{z^{2}}{8 M} + 2 M)}^{2} \end{matrix}

$x^{2}+y^{2}=\left(\frac{z^{2}}{8M}+2M\right)^{2}\tag{6}$

der in einen dreidimensionalen euklidischen Raum mit kartesischen Koordinaten eingebettet ist $(x,y,z)$ . Betrachten Sie dazu die folgenden Koordinatentransformationen: $x=rcosϕ,y=rsinϕ$ , Und $z=√(8M(r-2M))$ . Anwenden dieser Transformationen auf die dreidimensionale euklidische Metrik: $ds^2=dx^2+dy^2+dz^2$ , erhalten wir die Schwarzschild-Metrik zurück. Durch Ausführen eines 3D-parametrischen Diagramms erhalten wir:

Berechnungen hier und hier . Die Handlungen scheinen sehr ähnlich zu sein und wären wahrscheinlich genau die gleichen, wenn die Serie erweitert wird $(5)$ wurde nicht angenähert.

Somit reproduziert die Fujitani-Ikeda-Matsumoto-Einbettung die Schwarzschild-Geometrie, wenn letztere unter Verwendung der in der Frage beschriebenen Einbettungsfunktionen in eine sechsdimensionale Raumzeit eingebettet wird. Ich bin offen für wertvolle Bearbeitungen und Korrekturen.

Hallo Naveen, wie ich sehe, haben Sie Interesse und Erfahrung in der Einbettung von GR. Ich habe eine relevante Frage einige Male in verschiedenen Formen gestellt, nur um viel Verwirrung zu stiften. Endlich habe ich glaube ich die einfachste Version konsequent formulieren können, aber noch immer keine Reaktion aus der Community. Ich frage mich, ob Sie möglicherweise einen Blick darauf werfen und eine Antwort, einen Kommentar, einen Einblick oder eine Anleitung geben könnten. Ich würde es sehr begrüßen. Vielen Dank im Voraus! math.stackexchange.com/questions/3131651/…

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