Wie misst man den richtigen Abstand?

Question

Wie misst man den richtigen Abstand?

Amilton Moreira

Der richtige Abstand von $R$ Zu $R+\Delta R$ in der Schwarzschild-Metrik ist gegeben durch

l = \int_{R}^{R + Δ R} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{R_{S}}{R}}} D R .

$\displaystyle l = \int_R^{R+\Delta R} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{r_s}{r}}} \; dr.$

Wenn statischer Beobachter dessen radiale Koordinate ist $R$ Licht in radialer Richtung senden (z. B. mit Glasfaserkabel), dann wäre das koordinierte Zeitintervall

Δ T = \int_{R}^{R + Δ R} \frac{1}{1 - \frac{R_{S}}{R}} D R .

$\displaystyle \Delta t = \int_R^{R+\Delta R} \frac{1}{{1-\frac{r_s}{r}}} \; dr.$

Das richtige Zeitintervall, das dieser Beobachter messen würde, sollte sein

Δ τ = \sqrt{1 - \frac{R_{S}}{R}} Δ T = \sqrt{1 - \frac{R_{S}}{R}} \int_{R}^{R + Δ R} \frac{1}{1 - \frac{R_{S}}{R}} D R .

$\displaystyle \Delta \tau =\sqrt{1-\frac{r_s}{R}}\Delta t= \sqrt{1-\frac{r_s}{R}}\int_R^{R+\Delta R} \frac{1}{{1-\frac{r_s}{r}}} \; dr.$

So sollte die räumliche Distanz sein, die dieser Beobachter messen würde

D = C Δ τ = C \sqrt{1 - \frac{R_{S}}{R}} \int_{R}^{R + Δ R} \frac{1}{1 - \frac{R_{S}}{R}} D R .

$\displaystyle d=c\Delta \tau = c\sqrt{1-\frac{r_s}{R}}\int_R^{R+\Delta R} \frac{1}{{1-\frac{r_s}{r}}} \; dr.$

Hexe unterscheidet sich von der richtigen Entfernung $l$ .

Wie messen wir also eigentlich die richtige Entfernung?

Antworten (1)

Wie misst man den richtigen Abstand?

Michel Grosso · Answer 1

In Schwarzschild-Koordinaten $(t, r, \theta, \phi)$ der richtige radiale Abstand wird entlang definiert $r$ mit $t, \theta, \phi$ Konstante. Die erste Gleichung ist richtig. Die zweite Gleichung für das Koordinatenzeitintervall ist ebenfalls korrekt.

Die dritte Gleichung, die das richtige Zeitintervall gegenüber dem Koordinatenzeitintervall ausdrückt, ist es jedoch nicht. Der Grund dafür ist, dass das richtige Zeitintervall gegenüber dem Koordinatenzeitintervall die anderen Koordinaten erfordert $r, \theta, \phi$ konstant sein. Stattdessen im Integral $r$ variiert von $R$ Zu $R + \Delta R$ .

Wenn Sie davon ausgehen $\Delta R$ unendlich klein sein, dh $dr$ , erhalten Sie den richtigen Ausdruck für das richtige Zeitintervall, den Sie integrieren können, und erhalten wieder die erste Gleichung für die richtige Entfernung.

Hinweis: In den Formeln gehen Sie also von natürlichen Einheiten aus $c = G =1$ . Um konsequent zu sein, sollten Sie haben $c = 1$ auch in der letzten Aussage.

Im dritten Ausdruck bezieht sich das Integral auf die Radialkoordinate des Photons, nicht auf die des Beobachters, die konstant ist
Die Eigenzeit beim stationären Beobachter ist nicht die Eigenzeit anderer stationärer Beobachter entlang des Photonenpfades. Deshalb sollten Sie differenziert an die Beschreibung herangehen.

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Amilton Moreira

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Michel Grosso

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