Ist diese Abbildung ein Homöomorphismus auf ihr Bild?

Die Karte$\phi$ist kein Homöomorphismus auf sein Bild$S\subset{\mathbb R}^3$. Die Oberfläche$S$ist ein unendlicher vertikaler Zylinder, der die schneidet$(x,y)$-Ebene in einer Kurve, die Teil eines Foliums von Descartes ist, siehe folgende Abbildung:

Diese Kurve hat keinen Selbstschnittpunkt, aber fast. Die inverse Karte$\phi^{-1}$ist wohldefiniert, aber an den Punkten nicht kontinuierlich$\phi(0,y)=(0,0,y)$. Jede Nachbarschaft von$(0,0,0)$enthält Punkte von$S$die abgebildet sind$\phi^{-1}$auf Punkte hinein$(-1,\infty)\times{\mathbb R}$des Formulars$(M,0)$mit$M\gg1$, also weit entfernt von liegen$\phi^{-1}(0,0,0)=(0,0)$.

Bei dieser Frage sollten Sie Ihre Herangehensweise ändern. Sie müssen das Bild nicht berechnen$\phi$zu zeigen, dass$\phi$ist ein Homömorphismus auf sein Bild. Ein Homöomorphismus ist eine stetige bijektive Abbildung, sodass auch die inverse Abbildung stetig ist. Mit anderen Worten, Sie müssen Folgendes zeigen:

1. $\phi$ist injektiv. Dies zeigt die Existenz einer inversen Abbildung.

2. Der Rang des Differentials von$\phi$ist 2. Wie Sie bereits darauf hingewiesen haben, würde dies das zeigen$\phi$ist ein lokaler Homöomorphismus. Dies würde bedeuten, dass die inverse Abbildung lokal stetig ist, und da Stetigkeit eine lokale Eigenschaft ist, ist sie global stetig.

Bitte beachten Sie: Wenn die erste Eigenschaft fehlschlägt,$\phi$ist kein Homöomorphismus. Wenn die zweite Eigenschaft versagt, könnte es immer noch Homöomorphismus sein. Wenn es in einem Punkt versagt$p$, müssen Sie diesen Punkt prüfen$p$. Nur bei$p$Die Kontinuität der inversen Abbildung kann zusammenbrechen.