Einige Beweise in einer Vorlesung, an der ich teilgenommen habe, wurden durch diese Aussage motiviert, dass "einige Leute keine zweite Zählbarkeit annehmen, wenn sie eine topologische Mannigfaltigkeit definieren, aber für Lie-Gruppen erhalten wir diese Eigenschaft kostenlos". Sie bewiesen dann die Aussage "wenn eine Lie-Gruppe G höchstens abzählbar viele verbundene Komponenten hat, dann ist G an zweiter Stelle abzählbar" neben einigen anderen verwandten topologischen Ergebnissen. Ich sehe, dass wir, wenn wir in unserer Definition einer topologischen Mannigfaltigkeit eine zweite Abzählbarkeit annehmen, höchstens abzählbar viele zusammenhängende Komponenten haben müssen. Ich sehe also die if und only if-Anweisung, aber das ist nicht dasselbe wie zu sagen, dass jede Lie-Gruppe an zweiter Stelle zählbar ist.
Meine Frage ist also, wenn wir die zweite Zählbarkeit nicht in unsere Definition einer topologischen Mannigfaltigkeit einbeziehen, können wir dann zeigen, dass jede Lie-Gruppe höchstens abzählbar viele verbundene Komponenten hat? Wenn nicht, gibt es ein Beispiel für eine Lie-Gruppe, die diese Definition zulässt, die ausgeschlossen ist, wenn wir annehmen, dass topologische Mannigfaltigkeiten an zweiter Stelle abzählbar sind?
Nehmen , wo die erste hat seine übliche Struktur als differenzierbare Mannigfaltigkeit, während die zweite mit der diskreten Topologie ausgestattet ist. Sie ist nicht zweitabzählbar und hat unabzählbar viele zusammenhängende Komponenten (die Teilmengen der Form ).
In einer solchen Situation gibt es eine Lie-Gruppe für jede (kardinale) Anzahl von Komponenten und für jede Dimension. Nehmen Sie einfach eine beliebige Gruppe mit diskreter Topologie. Es ist eine Lie-Gruppe von Dimension und hat so viele Komponenten wie seine Kardinalität. Um eine höhere Dimension zu erhalten, nehmen Sie einfach das Produkt der vorherigen Lie-Gruppe mit Ihrer bevorzugten Lie-Gruppe mit positiver Dimension (z ).
Moishe Kohan