Konstruieren eines expliziten zusammenhängenden Pfades für Koeffizienten monischer Polynome mit Wurzeln, die in der offenen linken Halbebene liegen?

Wenn$e_0, e_1, ... ,e_n$bezeichnen die elementaren symmetrischen Polynome in$n$Variablen erhalten wir eine kontinuierliche Karte

Sie dürfen interpretieren$\sigma(\zeta)$als die Koeffizienten eines monischen Polynoms$p_\zeta(z)$Grad$n$mit den Komponenten als Wurzeln$z_i$von$\zeta =(z_1,\ldots,z_n)$, wo eine Wurzel der Vielheit$k$kommt vor$k$-mal in dieser Reihenfolge. In der Tat,$p_\zeta(z) = \pi(\sigma(\zeta)) = \prod_{i=1}^n(z-z_i)$Wo$\pi$wurde in der Frage eingeführt.

Wir haben$E = \sigma(\Delta^n)$. Das bedeutet, dass der Satz$E$könnte alternativ ohne Bezugnahme auf monische Polynome und ihre Nullstellen definiert werden. Lassen$s : \Delta^n \to E$bezeichnen die Einschränkung.

Jetzt kommt es darauf an, was Sie unter "einen Pfad explizit konstruieren" verstehen$a$Zu$b$". Sie finden$a', b' \in \Delta^n$so dass$s(a') = a, s(b') = b$. Definieren$u : [0,1] \to \Delta^n, u(t) = (1-t)a' + tb'$. Dies ist ein verbindender Weg$a'$Und$b'$, Deshalb$s \circ u$ist ein verbindender Weg$a$Und$b$. Es ist jedoch nicht offensichtlich, wie man es findet$a',b'$. Es gibt keine allgemeine Ausdrucksweise$a',b'$als Funktion von$a,b$und in diesem Sinne$a',b'$kann nicht explizit gemacht werden (wenn Sie könnten, hätten Sie eine Lösungsformel für Polynome beliebigen Grades$n$die eigentlich nur für existiert$n \le 4$).

Betrachten wir abschließend die Karte$\sigma$. Für jede$\eta \in \mathbb{C}^n$das umgekehrte Bild$\sigma^{-1}(\eta)$besteht aus allem$\zeta = (z_1,....z_n)$so dass die$\{ z_1,....z_n \}$ist die Menge aller Wurzeln von$\pi(\eta)$. Somit$\sigma$ist surjektiv. Außerdem die symmetrische Gruppe$S_n$von$n$Elemente arbeitet durch Permutation von Koordinaten auf$\mathbb{C}^n$; die Fasern$\sigma^{-1}(\eta)$stimmen mit den Umlaufbahnen dieser Operation überein. Deshalb$\sigma$induziert eine Bijektion$\sigma': \mathbb{C}^n/S_n \to \mathbb{C}^n$.

Das zeigen wir$\sigma$ist eine geschlossene Karte. Es ist bekannt, dass$\max\{1, \lvert a_{n-1} \rvert, ... , \lvert a_0 \rvert \} = \lVert(1,a_{n-1},\ldots,a_0) \rVert_\infty$ist eine obere Schranke für die Absolutwerte der Wurzeln von$z^n + a_{n-1}z^{n+-1} + ... + a_1z + a_0$( Cauchy ist gebunden ). Dies impliziert das$\sigma^{-1}(B)$ist beschränkt, wenn$B \subset \mathbb C^n$ist begrenzt. Nun lass$A \subset \mathbb{C}^n$geschlossen sein und$(\eta_m)$sei eine Folge in$\sigma(A)$konvergiert zu einigen$\eta \in \mathbb{C}^n$. Dann$Y = \{ \eta_m \mid m \in \mathbb{N} \}$ist also beschränkt$Z = \sigma^{-1}(Y)$ist begrenzt. Wählen$\zeta_m \in A$so dass$\sigma(\zeta_m) = \eta_n$. Seit$\zeta_m \in Z$, wir sehen das$(\zeta_m)$ist eine beschränkte Folge und hat eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert$\zeta$. Seit$A$ist geschlossen,$\zeta \in A$. Durch Kontinuität von$\sigma$wir fassen zusammen$\eta \in \sigma(A)$.

Dies impliziert das$\sigma$ist eine Identifikationskarte. Deshalb, wenn wir geben$\mathbb{C}^n/S_n$die durch die kanonische Quotientenfunktion induzierte Quotiententopologie$\mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n/S_n$, wir sehen das$\sigma'$ist ein Homöomorphismus.