Angenommen, dass V, WV, WV, W in XXX abgeschlossen sind und dass V∩W,V∪WV∩W,V∪WV\cap W, V\cup W zusammenhängend sind. Zeigen Sie, dass VVV und WWW verbunden sind.

Nehme an, dass$V, W$sind eingesperrt$X$und das$V\cap W, V\cup W$sind verbunden. Zeige, dass$V$Und$W$sind verbunden.

Mein Versuch:

Nehme an, dass$V=U_1\cup U_2$Wo$U_i$sind offen$V$, nicht leer und$U_1\cap U_2=\emptyset$. Dies induziert eine Trennung z$V\cap W$:

• $U_i\cap W$ist geöffnet$V\cap W$

• $(U_1\cap W)\cup (U_2\cap W)=\emptyset$Wie sonst$U_1\cap U_2 \ne \emptyset$.

• Nun muss ich zeigen, dass beide Mengen nicht leer sind. Wir wissen das$V\cup W$verbunden und eingeschlossen ist$X$. Also für alle$x\in V\cup W=U_1\cup U_2\cup W$und alle Stadtteile$Z$(In$X$!) von$x$wir haben das$Z\cap (V\cup W) \ne \emptyset$. Wir können wählen$x\in U_1 \subseteq V\cup W$. Aber dann müsste ich eine Nachbarschaft finden$x$In$X$. Ich kann keinen finden ... Wie kann ich diesen Aufzählungspunkt vervollständigen?

Danke.