Kontinuierliches Bild einer verbundenen Menge

Unsere Definition für Trennung ist unten.

$D\subseteq X$Wo$X$ist ein metrischer Raum ist eine nicht zusammenhängende Menge, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind.

1. Es gibt zwei offene Mengen$U_1,U_2$so dass$D\subseteq U_1\cup U_2$

2. $U_1\cap U_2=\emptyset$

3. $U_1\cap D\neq \emptyset$Und$D\cap U_2 \neq \emptyset$

Lassen$f:X\to Y$ist stetig wo$(X,d_1)$Und$(Y,d_2)$sind metrische Räume und$A\subseteq X$Ist verbunden. Zeige, dass$f(A)$Ist verbunden.

Ich habe versucht, über das Kontrapositiv zu zeigen. Lassen$f(A)$ist getrennt. Deshalb,

1. Es gibt zwei offene Mengen$U_1,U_2$so dass$f(A)\subseteq U_1\cup U_2$
2. $U_1\cap U_2=\emptyset$
3. $U_1\cap f(A)\neq \emptyset$Und$f(A)\cap U_2 \neq \emptyset$

Ich weiss$A\subseteq f^{-1}(U_1) \cup f^{-1}(U_2)$aber ich konnte es nicht zeigen$A\cap f^{-1}(U_1) \neq \emptyset$Und$A\cap f^{-1}(U_2) \neq \emptyset$nur für den Widerspruch mit Verbundenheit von$A$. Wie kann ich es zeigen?

Danke für jede Hilfe.