Verbundenes Urbild der Quotientenkarte

Hier ist ein Gegenbeispiel.

Lassen$X=\{a,b,c,d\}$wobei die Topologie die Basis hat$\{a,b\},\{b\},\{b,c,d\},\{d\}$, und lass$Y=\{A,C,D\}$mit der von erzeugten Topologie$\{C,D\},\{D\}$. Dann

$$q:X\to Y, \quad a\mapsto A,\; b,c\mapsto C,\; d\mapsto D$$ ist eine Quotientenkarte mit verbundenen Fasern. Jedoch, $U=\{A,D\}$ist eine zusammenhängende Menge in $Y$mit getrenntem Urbild $\{a,d\}$

Ich musste gerade darüber nachdenken, also lassen Sie mich der Vollständigkeit halber ein wenig auf Arrows Antwort eingehen.

Lassen$f\colon X\to Y$sei eine stetige, abgeschlossene und surjektive Funktion mit nicht leeren verbundenen Fasern. Lassen$Z\subseteq Y$eine nichtleere abgeschlossene und zusammenhängende Teilmenge sein. Dann$f^{-1}(Z)$Ist verbunden.

Wir können dies mit der folgenden Charakterisierung überprüfen:

Ein topologischer Raum ist genau dann zusammenhängend, wenn jede nichtleere geschlossene und offene Teilmenge der ganze Raum ist.

Also lass$\varnothing \neq A\subseteq f^{-1}(Z)$sei eine abgeschlossene und eine offene Teilmenge. Das zu zeigen ist das Ziel$A=f^{-1}(Z)$.

1. $f(A)$ist eine nicht leere Teilmenge von$Z$.

2. $f(A)$ist eine abgeschlossene Teilmenge von$Z$. In der Tat seit$Z$ist geschlossen u$f$ist kontinuierlich,$f^{-1}(Z)$ist ebenfalls geschlossen. Somit$A$ist eingesperrt$X$. Seit$f$ist geschlossen,$f(A)$ist eingesperrt$Y$, also auch in$Z$.

3. $f(f^{-1}(Z)\setminus A)=Z\setminus f(A)$. Seit$f$surjektiv ist, haben wir$Z\setminus f(A)\subseteq f(f^{-1}(Z)\setminus A)$. Lassen Sie jetzt$z=f(x)$für$x\in f^{-1}(Z)\setminus A$. Dann$x\in f^{-1}(z)\setminus A\cap f^{-1}(z)$, So$A\cap f^{-1}(z)\subsetneq f^{-1}(z)$ist ein richtiger geschlossener und offener Unterraum der Faser. Da die Faser angeschlossen ist, folgt daraus$A\cap f^{-1}(z)=\varnothing$, was bedeutet, dass$z\in Z\setminus f(A)$.

4. $f(A)$ist eine offene Teilmenge von$Z$. Seit$f^{-1}(Z)$ist eingesperrt$X$Und$A$ist geöffnet$X$,$f^{-1}(Z)\setminus A$ist eingesperrt$X$. Seit$f$ist geschlossen,$Z\setminus f(A)$ist eingesperrt$Y$vom vorigen Punkt, also auch in$Z$.

5. $f(A)=Z$. Dies folgt aus$Z$verbunden sind und die Punkte 1, 2 und 4 oben.

6. $f^{-1}(f(A))=A$. Wir haben immer$A\subseteq f^{-1}(f(A))$, also lassen Sie uns die andere Inklusion überprüfen. Lassen$x\in f^{-1}(f(A))$, so dass es eine gibt$a\in A$mit$f(x)=f(a)$. Dies impliziert das$\varnothing \neq A\cap f^{-1}(f(x))\subseteq f^{-1}(f(x))$ist eine nicht leere geschlossene und offene Teilmenge. Da die Faser verbunden ist, bedeutet dies, dass$A\cap f^{-1}(f(x))=f^{-1}(f(x))$, somit$f^{-1}(f(x))\subseteq A$Und$x\in A$sowie.

7. $A=f^{-1}(Z)$, was wir zeigen wollten. Dies ergibt sich aus den vorstehenden Punkten 5 und 6.

Randnotiz:

Falls jemand, der dies liest, an algebraischer Geometrie interessiert ist, können wir dies mit Hartshornes Version von Zariskis Hauptsatz [Korollar III.11.4 in seinem Buch Algebraic Geometry ] kombinieren, um die folgende Aussage zu erhalten:

Lassen$f\colon X\to Y$ein echter birationaler Morphismus von (irduziblen) algebraischen Varietäten sein. Annehmen, dass$Y$ist normal. Dann das Urbild jeder zusammenhängenden abgeschlossenen Teilmenge von$Y$wieder verbunden ist.

Nur eine Bemerkung: Die Behauptung ist wahr, wenn$U\subset Y$offen oder geschlossen angenommen wird.

Es werden keine Verbundenheitsannahmen benötigt$X$.

Hinzugefügt. Pedros Antwort mit zusätzlichen Details ließ mich erkennen, dass meine Antwort ziemlich nutzlos sein könnte, also dachte ich daran, meinen Standpunkt als eine Reihe von Übungen hinzuzufügen.

Satz 1. Let$X_0\subset X$geschlossen sein und$C\subset X$in Verbindung gebracht. Dann$C\cap X_0\neq\emptyset\implies C\subset X_0$.

Definition 1. Eine kontinuierliche Abbildung ist monoton , wenn ihre nicht leeren Fasern verbunden sind.

Satz 2. Angenommen$f:X\to Y$ist monoton. Wenn$X_0\subset X$ist dann geschlossen$X_0=f^{-1}fX_0$.

Definition 2. Eine kontinuierliche Karte$f:X\to Y$ist eine Quotientenabbildung, wenn$V\subset Y$ist offen iff$f^{-1}V\subset X$ist offen. (Wir brauchen keine Surjektivität.)

Satz 3. Angenommen$f:X\to Y$ist eine Quotientenabbildung. Wenn$f$ist monoton und$Y$ist dann verbunden$f$ist surjektiv und$X$Ist verbunden.

Satz 4. Angenommen$f:X\to Y$ist eine Quotientenabbildung. Wenn$B\subset Y$ist dann geöffnet oder geschlossen$f:f^{-1}B\to B$ist eine Quotientenabbildung.

Alles zusammen ergibt die Behauptung im ersten Satz der Antwort. Hier ist eine hübsche Folgerung aus dem dritten Satz.

Korollar 1. Ein endliches Produkt zusammenhängender Räume ist zusammenhängend.

Nachweisen. Lassen$X,Y$verbunden sein und die Projektionskarte betrachten$X\times Y\to Y$. Es ist eine Quotientenkarte und die Fasern sind verbunden, weil sie homöomorph sind$X$. Seit$Y$verbunden ist, können wir den Satz anwenden, um abzuleiten$X\times Y$Ist verbunden.