Haben einfach zusammenhängende offene Mengen in R2R2\Bbb R^2 immer stetige Grenzen?

Question

Haben einfach zusammenhängende offene Mengen in R2R2\Bbb R^2 immer stetige Grenzen?

Mathematik
ebene Kurven
Verbundenheit
Realanalyse
Allgemeine Topologie

Keshav Srinivasan

Eine Jordan-Kurve ist eine kontinuierliche geschlossene Kurve in $\Bbb R^2$ was einfach ist, dh keine Selbstüberschneidungen hat. Das Jordan-Kurven-Theorem besagt, dass das Komplement jeder Jordan-Kurve zwei verbundene Komponenten hat, eine innere und eine äußere.

Lassen Sie uns eine unbegrenzte Kurve als kontinuierliche Karte definieren $f: \Bbb R\to\Bbb R^2$ so dass die Grenze von $|f(t)|$ als $t$ geht nach plus oder minus unendlich ist unendlich. Dann, wie in den Kommentaren zu meiner Frage hier besprochen, hat das Komplement einer unbegrenzten einfachen Kurve zwei verbundene Komponenten: Gilt der Jordan-Kurvensatz für nicht geschlossene Kurven?

Meine Frage ist, ist jede einfach verbundene offene Menge in $\Bbb R^2$ eine verbundene Komponente des Komplements einer Jordan-Kurve oder einer unbeschränkten einfachen Kurve? Anders gesagt, ist die Grenze einer einfach verbundenen offenen Menge immer eine kontinuierliche Kurve, oder gibt es Mengen mit seltsameren Grenzen als dieser?

Wenn sie immer kontinuierliche Grenzen haben, kann dies auf höhere Dimensionen verallgemeinert werden?

Jede Hilfe wäre sehr willkommen.

Vielen Dank im Voraus.

Daniel Fischer

Das Komplement des Mandelbrot-Sets (in der Sphäre

\hat{C}

$\widehat{\mathbb{C}}$ ) ist einfach verbunden. Seine Grenze ist ziemlich wild.

Keshav Srinivasan

@DanielFischer Ich spreche von Sets in R ^ 2, nicht von der Riemann-Sphäre.

Daniel Fischer

Nun, betrachten Sie die Umkehrung

z \mapsto \frac{1}{z}

$z \mapsto \frac1z$ . Das bildet das Komplement auf eine Teilmenge von ab

C

$\mathbb{C}$ , mit dem kanonisch identifiziert werden kann

R^{2}

$\mathbb{R}^2$ .

Andrés E. Caicedo

Donald Sarason aus Berkeley hat ein Bild von einer Zeichnung, die er in seinem Kurs für komplexe Analyse verwendet, von einer einfach zusammenhängenden offenen Menge, die aussieht wie ein Drache mit unendlich vielen Beinen, das Auge ist eine Spirale. Es ist so weit entfernt von einer "durchgehenden Grenze", wie Sie sich vorstellen können. (Ich habe eine Kopie des Bildes, habe aber derzeit keinen Zugang zu einem Scanner. Ich werde versuchen, mich in ein paar Tagen daran zu erinnern und eine Kopie zu posten.)

Antworten (2)

Haben einfach zusammenhängende offene Mengen in R2R2\Bbb R^2 immer stetige Grenzen?

Das Komplement des Mandelbrot-Sets (in der Sphäre $\widehat{\mathbb{C}}$ ) ist einfach verbunden. Seine Grenze ist ziemlich wild.
@DanielFischer Ich spreche von Sets in R ^ 2, nicht von der Riemann-Sphäre.
Nun, betrachten Sie die Umkehrung $z \mapsto \frac1z$ . Das bildet das Komplement auf eine Teilmenge von ab $\mathbb{C}$ , mit dem kanonisch identifiziert werden kann $\mathbb{R}^2$ .
Donald Sarason aus Berkeley hat ein Bild von einer Zeichnung, die er in seinem Kurs für komplexe Analyse verwendet, von einer einfach zusammenhängenden offenen Menge, die aussieht wie ein Drache mit unendlich vielen Beinen, das Auge ist eine Spirale. Es ist so weit entfernt von einer "durchgehenden Grenze", wie Sie sich vorstellen können. (Ich habe eine Kopie des Bildes, habe aber derzeit keinen Zugang zu einem Scanner. Ich werde versuchen, mich in ein paar Tagen daran zu erinnern und eine Kopie zu posten.)

Devin Murray · Answer 1

Selbst wenn man das triviale Gegenbeispiel ignoriert $\mathbb{R}^2$ , können wir eine Reihe von Gegenbeispielen generieren.

Nehmen $\mathbb{R}^2$ und das ganze löschen $x$ Achse abgesehen von einem kleinen Intervall um den Ursprung. Dies wird einfach mit einer getrennten Grenze verbunden.

Indem wir fordern, dass unsere Menge beschränkt ist, schneiden wir unser vorheriges Gegenbeispiel mit der offenen Kugel der Einheit, die am Ursprung zentriert ist. Dies wird wieder offen, einfach verbunden sein und die unglückliche Tatsache haben, dass seine Grenze keine Jordankurve ist.

Es ist möglich, dass, wenn Sie verlangen, dass Ihre offene Menge eine begrenzte reguläre offene Menge ist, dh das $A = Int(Cl(A))$ dass du eine zustimmende Antwort bekommst.

Nicht einmal dann, es sei denn, Sie lassen zu, dass die Grenze teilweise einfach ist: nehmen $B_2((0,0))\setminus B_1((1,0))$ .

Nate Eldredge · Answer 2

Betrachten Sie die offene Box $B = (-1,1) \times (-2,2)$ . Lassen $C$ sei die Sinuskurve des geschlossenen Topologen , bestehend aus den Punkten $(x, \sin(1/x))$ für $0 < x \le 1$ , und das Segment $\{0\} \times [-1,1]$ . $C$ ist kompakt, also $U := B \setminus C$ ist offen und auch beschränkt. $U$ ist auch einfach verbunden, und seine Grenze $\partial U$ besteht aus dem Rechteck $\partial B$ zusammen mit $C$ . Aber $C$ ist nicht pfadverbunden und ist es auch nicht $\partial U = \partial B \cup C$ , So $\partial U$ ist nicht das kontinuierliche Bild des wegverbundenen Raums $[0,1]$ . Es ist also nicht einmal eine durchgehende Kurve, geschweige denn eine Jordankurve.

Siehe diese verwandte Antwort .

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