Ein Zweifel an Lie-Untergruppen von Lie-Gruppen

Das folgende Theorem kann in Lees „Introduction to Smooth Manifold“ gefunden werden.

Vermuten G ist eine Lie-Gruppe mit Lie-Algebra G . Wenn H ist eine Lie-Unteralgebra von G dann gibt es eine eindeutig verbundene Lie-Untergruppe H von G mit Lie-Algebra H .

Sind die folgenden Aussagen wahr? Angesichts der Hypothese des obigen Theorems gibt es eine Untergruppe H von G so dass H kann eine Topologie und eine glatte Struktur gegeben werden, so dass die natürliche Inklusionskarte ich : H → G ist ein Lie-Gruppenhomomorphismus und D ich ( e ) T e H = H .

Meine Frage ist in welcher Topologie H Ist verbunden? Bedeutet Eindeutigkeit, dass es eine andere Untergruppe gibt H ' mit einer Topologie und glatten Struktur, verbunden in einer eigenen Topologie und D ich ( e ) T e H = H Dann H = H ' und die Identitätskarte aus H Zu H ' ist ein Lie-Gruppen-Isomorphismus?

Kann es einige natürliche Gegenbeispiele geben, die gegen die Annahmen verstoßen?

Definition: Let M eine glatte Mannigfaltigkeit sein. Dann S ⊆ M heißt eine Untermannigfaltigkeit, wenn S hat seine eigene Topologie und glatte Struktur in Bezug auf die Inklusionskarte ist ein glattes Eintauchen. Definition: Let G eine Lügengruppe sein. Eine Untergruppe H ⊆ G heißt Lie-Untergruppe, wenn H ist eine Untermannigfaltigkeit und eine Lie-Gruppe in Bezug auf die glatte Struktur, eine Untermannigfaltigkeit zu sein.

Sicherlich bedeutet es in der Subraumtopologie, wenn man das bedenkt H ⊆ G Vermögenswerte. Dies ist gleichbedeutend mit der Inklusion ich : H → G du bedenkst, solange du das benötigst ich ist glatt.
@Joppy, bitte sehen Sie sich das "topologische" Beispiel in meiner Antwort an.

Antworten (1)

Ich habe im Moment kein Exemplar des Buches für mich zugänglich. Ich denke, es ist eine gute Frage. Lassen Sie mich zunächst ein standardmäßiges "pathologisches" Beispiel erläutern.

Lassen v = R 2 Und Z 2 ⊂ R 2 sei das ganzzahlige Gitter im Inneren v . Dann T 2 := v / Z 2 ≃ U ( 1 ) × U ( 1 ) ist eine (abelsche) zweidimensionale Lie-Gruppe, bei der das "Produkt" der Lie-Gruppe durch Addition von Vektoren induziert wird v .

Bei 0 ∈ v , betrachten Sie eine Tangente l ⊂ T 0 ( R 2 ) = R 2 . Wenn die Steigung von l ist dann rational l Mod Z 2 definiert eine Lie-Untergruppe von T 2 mit der Unterraumtopologie (es ist eine geschlossene Untermannigfaltigkeit von T 2 ). Aber wenn die Steigung von l ist dann irrational l Mod Z 2 definiert eine Lie-Untergruppe von T 2 was keine geschlossene Untermannigfaltigkeit ist.

Aufgrund pathologischer Beispiele wie diesem definieren viele Autoren den Begriff einer Lie-Untergruppe, ohne zu verlangen, dass eine Lie-Untergruppe die induzierte Topologie aufweist.

Ich kenne die genauen Definitionen, die Lee in seinem Buch verwendet, nicht, daher kann ich nicht weiter diskutieren, bevor ich die genauen Definitionen kenne, die er für eine „Lügenuntergruppe“ und für eine „Untermannigfaltigkeit“ verwendet.

Wenn das OP weiter diskutieren möchte, fügen Sie diese Definitionen bitte Ihrem Beitrag hinzu, und dann kann ich möglicherweise ausführlicher diskutieren.

> Definitionen hinzugefügt. Ich bin besonders daran interessiert, etwas über den verbundenen Teil zu erfahren. Wenn sie sagen, dass diese verbundene Untergruppe ... bedeutet das in der induzierten Topologie oder in der anderen?
Es ist nicht in der induzierten Topologie. Es ist in der anderen Topologie. Die induzierte Topologie ist beispielsweise schlecht für Linien mit irrationalen Steigungen in dem von mir bereitgestellten Beispiel zu verwenden. Zum Beispiel ist eine Linie mit irrationaler Steigung dicht in der 2 -Torus.
Ich meine, es kann vorkommen, dass es auch in der induzierten Topologie verbunden ist, aber die Topologie, die sie meinen, wenn sie von Lie-Untergruppen sprechen, ist im Allgemeinen nicht die induzierte Topologie. Es stimmt jedoch mit der induzierten Topologie für geschlossene Lie-Untergruppen überein.
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