Wie wurde die Krümmung ursprünglich definiert und berechnet?

Apollonius (ca. 262–190 v. Chr.) "berechnete" implizit die Krümmung von Kegelschnitten, als er in Buch V von Conica das Problem löste, Normalen zu ihnen zu zeichnen, aber er betrachtete sie nicht als Eigenschaft einer Kurve und seine "Berechnungen " sind Segmentkonstruktionen. Die erste Person, die die Krümmung "sah", war Oresme (ca. 1320-1382), Descartes' Vorläufer bei der Einführung von Koordinaten. Er beschrieb es als lokales Maß für die Krümmung der Kurve und taufte es auf das lateinische „curvitas“. Später schlug er vor, dass es für Kreise durch den Kehrwert des Radius, unserer modernen Konvention, quantifiziert werden kann. Kepler schlug vage vor, die Krümmung für allgemeine Kurven zu definieren, indem er den "nächsten" Kreis an einem Punkt betrachtete, der von Leibniz in den 1680er Jahren als Schmiegkreis ("Küssen") bezeichnet wurde. Aber es war Huygens,

Der Kalkül musste noch erfunden werden, also stützte sich Huygens auf Descartes' Ideen über die Vielzahl von Schnittpunkten und Fermats Ideen von unendlich klein. Descartes in Geometry (1637) gibt eine Methode zum Zeichnen von Tangenten und Normalen an eine Kurve an, indem Kreise mit Mittelpunkten auf der Achse gefunden werden, deren zwei Schnittpunkte mit der Kurve "verschmelzen", und so ergibt der Schnitt eine doppelte Wurzel. Dies war eine Grundlage des algebraischen Kalküls von Descartes, die Newton und Leibniz vorausgingen. Huygens erkannte 1653-4, dass man für jeden Punkt auf einer Kurve zwei "zusammenwachsende" Normalen betrachten kann, und gab einen halbgeometrischen Weg, um ihren Schnittpunkt zu berechnen. Das war natürlich der Krümmungsmittelpunkt, und sein Abstand zur Kurve war der Krümmungsradius, obwohl Huygens diese Begriffe nicht verwendete. Van Schooten fügte die Methode in die Anhänge der zweiten Ausgabe von Descartes' Geometry (1659) ein, von der Newton sie gelernt hatte. Später nannte Huygens in einer bemerkenswerten Tour de Force des Horologium Oscillatorum (1673) den Ort der Krümmungszentren einer Kurve ihre Evolute und zeigte, wie man ein perfektes Pendel konstruiert, dessen Periode nicht von seiner Amplitude abhängt. Die Konstruktion basierte darauf, dass die Evolute zu einer Zykloide kongruent dazu ist.

Es war Newton, der 1664 die Ideen von Huygens zu einer allgemeinen Methode zur Berechnung der Krümmung entwickelte (die er ursprünglich als "Krümmung" bezeichnete). Kurve und verwendete die Methode von Descartes mit Huddes Verbesserungen von 1659, um ihr Zentrum zu finden, indem nach einer dreifachen Wurzel gesucht wurde. Newton erkannte auch, dass man an Wendepunkten, wo der Krümmungsradius „explodiert“, der Krümmung den Wert Null zuweisen sollte. Später in der Methode der Flüsse und unendlichen Reihen; mit seinen Anwendungen auf die Geometrie von Kurvenlinien (1671)Er verwandelte den algebraischen Ansatz zur Krümmung in einen besser erkennbaren Ansatz der Infinitesimalrechnung. Aber es ist interessant, dass Newton sich des „verlorenen“ algebraischen Kalküls bewusst war und leicht damit umging, als er seinen eigenen entwickelte. Einige moderne Lehrbücher, z. B. Struiks Vorlesungen über die klassische Differentialgeometrie, verwenden immer noch die Sprache der Vereinigung von Punkten und Normalen, wenn sie Krümmung definieren.

Lodder's Curvature in Calculus Curriculum gibt eine Schritt-für-Schritt-Anleitung durch Huygens' Berechnung der Krümmung und Evolute der Zykloide, er beschreibt auch Eulers Berechnung der Hauptkrümmungen einer Oberfläche von 1760. Einen Überblick über die frühe Geschichte (mit einigen Ungenauigkeiten) gibt Curvature of Surfaces in 3-Space , die Quelle ist Margalits History of Curvature . Nauenbergs Huygens and Newton on Curvature and its Applications to Dynamics gibt einen detaillierten Bericht auf der Grundlage von Originalquellen und beschreibt kurz Newtons alternative Methode zur Berechnung der Krümmung a la Descartes.

Aus Curvature of Surfaces in 3-Space von Michael Garman & Jessica Bonnie, veröffentlicht in Verge 6:

Der Begriff der Krümmung begann mit der Entdeckung und Verfeinerung der Prinzipien der Geometrie durch die alten Griechen um 800-600 v. Die Krümmung wurde ursprünglich als eine Eigenschaft der beiden klassischen griechischen Kurven, der Linie und des Kreises, definiert.

Es wurde festgestellt, dass sich Linien nicht krümmen und dass sich jeder Punkt auf einem Kreis um den gleichen Betrag krümmt. Das eigentliche Studium der Krümmung begann, als Aristoteles diese beiden Punkte weiter ausführte und erklärte, dass es drei Arten von Orten gibt: gerade, kreisförmig und gemischt. Von dieser Prämisse aus begann das eigentliche Studium der Krümmung.

Appollonius von Perga entwickelte Methoden zur Berechnung des Krümmungsradius im 3. v. Chr. Diese Methoden ähnelten Newton und Huygens (entdeckt vor etwa 2.000 Jahren später) ...

Der nächste bedeutsame Fortschritt im Studium der Krümmung kam von Nicole Orseme im 14. Jh. Oresme war der erste, der auf eine tatsächliche Definition der Krümmung hinwies. Er nahm auch an, dass es ein bestimmtes Maß an Drehung gab, das er „Curvitas“ nannte. Durch die gleichzeitige Beobachtung mehrerer Kurven schlug Oresme schließlich vor, dass die Krümmung eines Kreises proportional zum multiplikativen Kehrwert seines Radius sei. Dies würde schließlich die treibende Kraft hinter der Suche nach der Krümmung einer allgemeinen Kurve liefern ...

Johannes Kepler leistete den nächsten Beitrag zum Begriff der Krümmung. Während er an dem Problem von al Hazin arbeitete (das Bild eines brillanten Punktes finden, wenn er von einem Kreis reflektiert wird), kam Kepler auf die Idee, einen Kreis zu verwenden, um die allgemeine Krümmung an einem Reflexionspunkt zu messen. Dieser Annäherungskreis würde an einem Punkt als Kurve bekannt werden, ein "Krümmungskreis".

Danach verdinglichten Huygens, Newton & Liebniz Keplers Entdeckung durch Infinitesimalrechnung in die moderne Vorstellung einer Krümmung einer Kurve. Eine ähnliche Definition kann für die Krümmung einer Oberfläche gegeben werden. Aber in höheren Dimensionen ist ein skalares Maß der Krümmung nicht ausreichend und es werden Tensoren benötigt. Dies war Riemanns Leistung, nachdem Gauß seine namensgebende Krümmung entdeckt hatte. Es ist erwähnenswert, dass die Analysis in Newtons Händen tatsächlich, wie Garman & Bonnie anmerken, mit seinem Studium der Krümmung begann und nicht mit dem der Bewegung, wie allgemein angenommen wird.