Gibt es einen „verlorenen Kalkül“?

Question

Gibt es einen „verlorenen Kalkül“?

201044

Gibt es irgendwelche 'verlorenen' Theoreme der Infinitesimalrechnung, die verwendet werden könnten, um sie zu 'vereinfachen'? Gibt es zum Beispiel Möglichkeiten, Ableitungen zu berechnen, ohne Grenzen zu verwenden, vielleicht durch einige vergessene Methoden in der Analysis?

Gerhard Edgar

"Es gibt keinen Königsweg zur Geometrie." [Euklid]

201044

Ich bin eher ein visueller Lerner, obwohl ich Mathe liebe, aber warum verwenden viele Mathebücher und solche, die als Lehrbücher verwendet werden, viele langweilige schwarz-weiß gedruckte Seiten. Ich habe einen etwas hyperaktiven Verstand, der es schwierig macht, mich zu konzentrieren, selbst wenn ich gerne lerne, auch eine einschläfernde Präsentation, die in vielen Mathematikbüchern zu finden ist (wo sie sich nicht wirklich um visuelle oder „informelle“ Präsentationen kümmern), macht es schwierig, sich zu konzentrieren . Es mag keinen „einfachen“ Weg geben, Mathematik zu lernen, aber es gibt Wege mit eher visuellen und künstlerischen Ansätzen.

Konifold

@201044 Arnold witzelte in einem populären Buch: „Bourbaki schreibt etwas spöttisch, dass Barrows Buch 90 Zahlen auf doppelt so vielen Seiten hatte. Bourbakis eigene Bücher haben keine Zahlen auf Tausenden von Seiten, und ich weiß nicht, was schlimmer ist.“ books.google.com/books/about/… Die Ironie besteht darin, dass die Gründungswerke der konventionellen Analysis von Fermat, Newton und Leibniz sehr visuell und geometrisch sind, die Analyse der Lehre geschah genau deshalb, weil das als „Königsweg“ galt Infinitesimalrechnung.

Neugierig

Historikern zufolge waren Archimedes und andere aus jener Zeit tausende von Jahren vor Newton und Leibniz erschreckend kurz davor, die Analysis zu entdecken. Einige haben sich gefragt, wie viel weiter wir heute wären, wenn die Alten damals die Analysis entdeckt hätten.

Neugierig

@201044 Eines der besten Lehrbücher, die ich je benutzt habe, war "Calculus with Analytic Geometry; Second Edition" von Howard Anton. Meiner Meinung nach sehr gut und sorgfältig geschrieben.

201044

Wenn Archimedes die Grundkonzepte der Analysis entdeckt hätte, wie hätte er sie dann lehren können? Mit vielen geometrischen Illustrationen und Demonstrationen aus der realen Welt, in denen Mechanik involviert ist? Hätte er die inhärenten Probleme der Erklärung des Grenzwertkonzepts oder der Infinitesimalzahlen vermieden? Descartes hatte eine Methode zur Berechnung der Ableitung einer Funktion oder der Steigung der Tangente an die Funktion ohne Verwendung von Grenzen.

Stella Bidermann

@ 201044 Archimedes hat implizit Grenzen verwendet. Wenn Sie wissen, wie er berechnet hat

π

$\pi$ , es war so, aber raffinierter und auf Volumen angewendet.

Torsten Schöneberg

@GeraldEdgar: Hast du eine Quelle für dieses Zitat?

Gerhard Edgar

@TorstenSchoeneberg: Euclid zugeschrieben en.wikiquote.org/wiki/Euclid#Attributed

Antworten (1)

Gibt es einen „verlorenen Kalkül“?

Ich bin eher ein visueller Lerner, obwohl ich Mathe liebe, aber warum verwenden viele Mathebücher und solche, die als Lehrbücher verwendet werden, viele langweilige schwarz-weiß gedruckte Seiten. Ich habe einen etwas hyperaktiven Verstand, der es schwierig macht, mich zu konzentrieren, selbst wenn ich gerne lerne, auch eine einschläfernde Präsentation, die in vielen Mathematikbüchern zu finden ist (wo sie sich nicht wirklich um visuelle oder „informelle“ Präsentationen kümmern), macht es schwierig, sich zu konzentrieren . Es mag keinen „einfachen“ Weg geben, Mathematik zu lernen, aber es gibt Wege mit eher visuellen und künstlerischen Ansätzen.
@201044 Arnold witzelte in einem populären Buch: „Bourbaki schreibt etwas spöttisch, dass Barrows Buch 90 Zahlen auf doppelt so vielen Seiten hatte. Bourbakis eigene Bücher haben keine Zahlen auf Tausenden von Seiten, und ich weiß nicht, was schlimmer ist.“ books.google.com/books/about/… Die Ironie besteht darin, dass die Gründungswerke der konventionellen Analysis von Fermat, Newton und Leibniz sehr visuell und geometrisch sind, die Analyse der Lehre geschah genau deshalb, weil das als „Königsweg“ galt Infinitesimalrechnung.
Historikern zufolge waren Archimedes und andere aus jener Zeit tausende von Jahren vor Newton und Leibniz erschreckend kurz davor, die Analysis zu entdecken. Einige haben sich gefragt, wie viel weiter wir heute wären, wenn die Alten damals die Analysis entdeckt hätten.
@201044 Eines der besten Lehrbücher, die ich je benutzt habe, war "Calculus with Analytic Geometry; Second Edition" von Howard Anton. Meiner Meinung nach sehr gut und sorgfältig geschrieben.
Wenn Archimedes die Grundkonzepte der Analysis entdeckt hätte, wie hätte er sie dann lehren können? Mit vielen geometrischen Illustrationen und Demonstrationen aus der realen Welt, in denen Mechanik involviert ist? Hätte er die inhärenten Probleme der Erklärung des Grenzwertkonzepts oder der Infinitesimalzahlen vermieden? Descartes hatte eine Methode zur Berechnung der Ableitung einer Funktion oder der Steigung der Tangente an die Funktion ohne Verwendung von Grenzen.
@ 201044 Archimedes hat implizit Grenzen verwendet. Wenn Sie wissen, wie er berechnet hat $\pi$ , es war so, aber raffinierter und auf Volumen angewendet.
@TorstenSchoeneberg: Euclid zugeschrieben en.wikiquote.org/wiki/Euclid#Attributed

Konifold · Answer 1

Tatsächlich gab es im 17. Jahrhundert etwas, das jetzt als "verlorenes Kalkül" oder "algebraisches Kalkül" bezeichnet wurde und Konzepte wie Grenzen oder Infinitesimalzahlen vermied, die zu dieser Zeit problematisch waren. Es wurde von Descartes, Hudde und anderen entwickelt und in Suzukis preisgekröntem Aufsatz The Lost Calculus (1637-1670): Tangency and Optimization without Limits beschrieben . Es galt jedoch nur für algebraische Funktionen und "vereinfachte" die Analysis nur in dem Sinne, dass abstraktere Konzepte vermieden wurden, anstatt Berechnungen unbedingt einfacher zu machen. Daher wurde es zugunsten einer allgemeineren Rechnung von Newton und Leibniz auf der Grundlage von Infinitesimalzahlen aufgegeben und später unter Verwendung von Grenzwerten formalisiert.

Descartes führte die Idee erstmals 1637 in La Geometrie ein und vereinfachte sie später 1638 zu „der Methode der Tangenten“. Angenommen, wir wollen die Steigung der Tangente zu finden $y=x^2$ bei $x=1$ . Die allgemeine Gleichung einer durchgehenden Linie $(1,1)$ Ist $y-1=m(x-1)$ , Und $m$ ist die gesuchte Steigung. Da benachbarte Linien den Graphen an zwei Punkten schneiden und die Tangente ihn nur an einem berührt, ist das System algebraisch

j = X^{2}, j - 1 = M (X - 1)

$y=x^2,\ \ y-1=m(x-1)$ muss eine doppelte Wurzel bei haben

x = 1

$x=1$ . Eliminieren

y

$y$ und Factoring bekommen wir

X^{2} - 1 - M (X - 1) = (X - 1) (X + 1 - M) = 0,

$x^2-1-m(x-1)=(x-1)(x+1-m)=0,$ so für

x = 1

$x=1$ um eine doppelte Wurzel zu sein, müssen wir haben

1 - m = - 1

$1-m=-1$ oder

m = 2

$m=2$ , was die gesuchte Steigung der Tangente ist.

Dieser Ansatz funktioniert für jedes Polynom $y=p(x)$ , und allgemeiner für implizit gegebene rationale und sogar algebraische Funktionen. Zum Beispiel, um die Steigung der Tangente bei zu finden $x=a$ wir schreiben $y-p(a)=m(x-a)$ und suchen Sie nach dem Wert von $m$ das macht $a$ eine doppelte Wurzel von $p(x)-p(a)=m(x-a)$ . Dies erfordert nur eine lange Teilung von $p(x)-p(a)$ von $x-a$ , keine Grenzen oder Infinitesimale, und wenn der Quotient ist $q(x)$ Dann $m=q(a)$ . Um das Verfahren rechnerisch durchführbar zu machen, wird ein Algorithmus benötigt, der effizienter als die lange Division ist, um Doppelwurzeln zu erkennen. Eine solche Methode wurde von Jan Hudde, einem talentierten niederländischen Mathematiker, der die Mathematik zugunsten der Politik aufgeben musste, um die Niederlande vor der spanischen Invasion zu retten, in zwei Briefen bereitgestellt, die in der Ausgabe von Descartes 'La Geometrie von 1659 enthalten waren. Es handelt sich um eine clevere modulare Reduktion von Polynomen, die Methoden der modernen algebraischen Geometrie vorwegnimmt.

Dies wäre es absolut wert, in einer Analysis-Klasse unterrichtet zu werden.
Könnte der verlorene Kalkül angepasst werden, um auf jede Art von Funktion angewendet zu werden? Könnte es gemacht werden, um Funktionen abzudecken, die in der Lebesgue-Integration verwendet werden?
@ 201044 Ich glaube nicht. Der Begriff der Multiplizität kann höchstens auf analytische Funktionen ausgedehnt werden, und selbst dort wird er rechnerisch unhandlich.
Das ist ziemlich brillant, und ich fühle mich erleuchtet, weil ich davon erfahre.
Ich finde, das ist eine schöne andere Art, die Formel zu finden, aber am Ende ist das, was Sie berechnen $\displaystyle \lim_{x\to a} \frac{p(x)-p(a)}{x-a}$ , tun Sie es einfach "von Hand", indem Sie eine lange Division der Polynome durchführen und dann ersetzen $x=a$ , was immerhin die Standardmethode ist, um eine solche Grenze zu berechnen, die früh in einem Mathematikkurs gelehrt wird; Der springende Punkt bei den Ableitungsregeln ist es, diese umständliche Berechnung zu vermeiden. Es ist cool, dass die Leute schnelle Algorithmen für die Polynomdivision entwickelt haben, aber für "echte" Anwendungen ist es offensichtlich schneller, diese Grenzen mit der Potenzregel zu berechnen.

Gibt es einen „verlorenen Kalkül“?

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Konifold

Neugierig

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Stella Bidermann

Torsten Schöneberg

Gerhard Edgar

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Konifold

hjhjhj57

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Konifold

Stella Bidermann

Torsten Schöneberg

Warum berücksichtigen die Grenzen dieses Integrals nicht beide Gleichheiten?

Warum funktioniert die Shortcut-Methode zur Überprüfung der Differenzierbarkeit hier nicht?

Wie beweise ich, dass etA=limn→∞((I−tAn)−1)netA=limn→∞((I−tAn)−1)ne^{tA}=\lim_{n\rightarrow\infty} (( I-\frac{tA}{n})^{-1})^n?

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∑∞n=0ak∑n=0∞ak\sum_{n=0}^\infty a_k konvergiert absolut und ∑∞n=0bk∑n=0∞bk\sum_{n=0}^\infty b_k konvergiert Tut dies implizieren, dass ∑∞n=0bksin(ak)∑n=0∞bksin⁡(ak)\sum_{n=0}^\infty b_k\sin(a_k) konvergiert?