Lehrbücher, die eine Notation mit expliziter Argumentvariable in der Obergrenze ∫x∫x\int^x für "unbestimmte Integrale" verwenden.

Question

Lehrbücher, die eine Notation mit expliziter Argumentvariable in der Obergrenze ∫x∫x\int^x für "unbestimmte Integrale" verwenden.

Alexej

Ich wage es, eine ähnliche Frage zu stellen wie eine geschlossene, aber präziser.

Gibt es etablierte Lehrbücher oder andere seriöse veröffentlichte Arbeiten, die verwenden $\int^x$ Notation statt $\int$ für die sogenannten "unbestimmten Integrale"?

(Ich glaube, ich habe es schon irgendwo gesehen, wahrscheinlich im Internet, aber ich kann es jetzt nicht finden.)

Ich suche also nach Texten, in denen das unbestimmte Integral von $\cos$ würde sowas schreiben wie:

\int^{X} \cos (T) D T = Sünde (X) - C

$\int^x\cos(t)dt =\sin(x) - C$ oder

\int^{X} \cos (X) D X = Sünde (X) + C .

$\int^x\cos(x)dx =\sin(x) + C.$

(Diese Notation sieht vernünftiger und konsistenter mit der für bestimmte Integrale aus als mit der üblichen mit bloßen $\int$ .)

Etwas Kontext.

IMO, das unbestimmte Integral von $f$ in einem bestimmten Intervall $I$ der Definition von $f$ sollte nicht als die Menge der Stammfunktionen von definiert werden $f$ An $I$ sondern als Menge aller Funktionen $F$ des Formulars

F (X) = \int_{A}^{X} F (T) D T + C, X \in ICH,

$F(x) =\int_a^x f(t)dt + C,\qquad x\in I,$ mit

a \in I

$a\in I$ Und

C

$C$ eine Konstante (oder als eine bestimmte unbestimmte besondere Funktion einer solchen Form). Mit anderen Worten, ich denke, dass unbestimmte Integrale in Bezug auf bestimmte Integrale und nicht in Bezug auf Stammfunktionen definiert werden sollten. (Immerhin stand das Integralzeichen historisch für eine Summe.)

In diesem Fall die Tatsache, dass das unbestimmte Integral eine stetige Funktion ist $f$ in einem Intervall $I$ fällt mit der Menge der Stammfunktionen von zusammen $f$ An $I$ ist der Inhalt des ersten und des zweiten Hauptsatzes der Infinitesimalrechnung:

Der erste Hauptsatz der Analysis besagt, dass jeder Vertreter des unbestimmten Integrals von $f$ An $I$ ist eine Stammfunktion von $f$ An $I$ , Und
Der zweite Grundsatz der Analysis besagt, dass jede Stammfunktion von $f$ An $I$ ist ein Repräsentant des unbestimmten Integrals von $f$ An $I$ (Es ist eine einfache Folge des ersten zusammen mit dem Mittelwertsatz ).

mrtaurho

Die Behauptung, das sehe „viel weniger absurd aus als das übliche mit dem bloßen $\int$ " ist äußerst subjektiv. Warum sind Sie außerdem mit der Antwort in Ihrem verlinkten Thread nicht zufrieden?

Alexej

@mrtaurho, wenn wir uns auf ein vernünftiges Maß zur Bewertung der Absurdität der mathematischen Notation einigen, bin ich möglicherweise bereit, mit Ihnen zu streiten.

Alexej

@mrtaurho, wenn Sie meinen "Ich habe das Gefühl, dass ich Ihre Notation an anderer Stelle verwendet habe (der nagende Gedanke in meinem Hinterkopf ist, dass russische Autoren sie verwendet haben, aber ich habe keine Beispiele zur Hand, um das zu überprüfen) ", dann nein, damit bin ich nicht zufrieden. Ich sehe keine anderen Hinweise in dem verlinkten Thread.

mrtaurho

Lassen Sie mich neu formulieren, was ich betonen wollte: Ist diese kontroverse (ja, ich würde sie kontrovers nennen, da Sie gegen eine wirklich gut etablierte Notation argumentieren) Randnotiz wirklich notwendig? Die mathematische Notation zu diskutieren ist, sagen wir mal, seltsam; jemand hat es erfunden und dann haben wir es entweder behalten oder im Laufe der Zeit geändert, aber schließlich gibt es einige - die nackten

\int

$\int$ darunter - etablierte Notationen. Bitte verstehen Sie mich nicht falsch, ich mag Ihre Frage nicht und möchte Ihre Prämisse nicht in Frage stellen. Nur deine Formulierung finde ich etwas übertrieben.

Alexej

@mrtaurho, tut mir leid, aber im Moment ziehe ich es vor, es zu behalten, vielleicht auf Kosten, dass ich nicht positiv oder negativ bewertet werde. Es gibt eine schlecht gewählte Notation, und bisher sieht diese für mich wie ein Beispiel dafür aus. Unbestimmte Integrale scheinen ein ziemlich schlüpfriges Thema zu sein, und vielleicht teilweise wegen der Notation. Sofern ich nichts übersehen habe, vermeiden die Bücher von Bourbaki und Walter Rudin sie vollständig, und im Buch von Michael Spivak führt er sie ein, macht sich aber nicht einmal die Mühe zu schreiben

+ C

$+C$ , und sie sehen ein bisschen aus wie abstrakte symbolische Manipulationen.

Alexej

@mrtaurho, spirituell bin ich ein Logiker, und ich kümmere mich sehr um gebundene Variablen, freie Variablen usw.

Alexej

@mrtaurho, ich habe den Wortlaut leicht geändert, weil mir klar wurde, dass die Notationen mit

\int^{x}

$\int^x$ oder

\int_{a}^{b}

$\int_a^b$ (für bestimmte Integrale) sind ebenfalls nicht frei von Problemen.

Antworten (1)

Lehrbücher, die eine Notation mit expliziter Argumentvariable in der Obergrenze ∫x∫x\int^x für "unbestimmte Integrale" verwenden.

Die Behauptung, das sehe „viel weniger absurd aus als das übliche mit dem bloßen $\int$ " ist äußerst subjektiv. Warum sind Sie außerdem mit der Antwort in Ihrem verlinkten Thread nicht zufrieden?
@mrtaurho, wenn wir uns auf ein vernünftiges Maß zur Bewertung der Absurdität der mathematischen Notation einigen, bin ich möglicherweise bereit, mit Ihnen zu streiten.
@mrtaurho, wenn Sie meinen "Ich habe das Gefühl, dass ich Ihre Notation an anderer Stelle verwendet habe (der nagende Gedanke in meinem Hinterkopf ist, dass russische Autoren sie verwendet haben, aber ich habe keine Beispiele zur Hand, um das zu überprüfen) ", dann nein, damit bin ich nicht zufrieden. Ich sehe keine anderen Hinweise in dem verlinkten Thread.
Lassen Sie mich neu formulieren, was ich betonen wollte: Ist diese kontroverse (ja, ich würde sie kontrovers nennen, da Sie gegen eine wirklich gut etablierte Notation argumentieren) Randnotiz wirklich notwendig? Die mathematische Notation zu diskutieren ist, sagen wir mal, seltsam; jemand hat es erfunden und dann haben wir es entweder behalten oder im Laufe der Zeit geändert, aber schließlich gibt es einige - die nackten $\int$ darunter - etablierte Notationen. Bitte verstehen Sie mich nicht falsch, ich mag Ihre Frage nicht und möchte Ihre Prämisse nicht in Frage stellen. Nur deine Formulierung finde ich etwas übertrieben.
@mrtaurho, tut mir leid, aber im Moment ziehe ich es vor, es zu behalten, vielleicht auf Kosten, dass ich nicht positiv oder negativ bewertet werde. Es gibt eine schlecht gewählte Notation, und bisher sieht diese für mich wie ein Beispiel dafür aus. Unbestimmte Integrale scheinen ein ziemlich schlüpfriges Thema zu sein, und vielleicht teilweise wegen der Notation. Sofern ich nichts übersehen habe, vermeiden die Bücher von Bourbaki und Walter Rudin sie vollständig, und im Buch von Michael Spivak führt er sie ein, macht sich aber nicht einmal die Mühe zu schreiben $+C$ , und sie sehen ein bisschen aus wie abstrakte symbolische Manipulationen.
@mrtaurho, spirituell bin ich ein Logiker, und ich kümmere mich sehr um gebundene Variablen, freie Variablen usw.
@mrtaurho, ich habe den Wortlaut leicht geändert, weil mir klar wurde, dass die Notationen mit $\int^x$ oder $\int_a^b$ (für bestimmte Integrale) sind ebenfalls nicht frei von Problemen.

bof · Answer 1

Diese Notation wird in dem klassischen Lehrbuch Elementary Differential Equations von William E. Boyce und Richard C. DiPrima verwendet, zumindest in der dritten Auflage (1976), die mir vorliegt. Zitat von S. 11 (Beginn von Kapitel 2):

Der einfachste Typ einer Differentialgleichung erster Ordnung tritt auf, wenn $f$ hängt
nur davon ab $x$ . In diesem Fall
$\begin{matrix} (2) & j^{'} = F (X) \end{matrix}$ $y'=f(x)\tag2$ und wir suchen eine Funktion $y=\phi(x)$ dessen Ableitung die gegebene Funktion ist $f$ . Aus
der Elementarrechnung wissen wir das $\phi$ ist eine Stammfunktion von $f$ , und wir schreiben $\begin{matrix} (3) & j = ϕ (X) = \int^{X} F (T) D T + C, \end{matrix}$ $y=\phi(x)=\int^xf(t)dt+c,\tag3$ Wo $c$ ist eine beliebige Konstante. Zum Beispiel, wenn $j^{'} = Sünde 2 X,$ $y'=\sin2x,$ Dann $j = ϕ (X) = - \frac{1}{2} \cos 2 X + C .$ $y=\phi(x)=-\frac12\cos2x+c.$ In Gl. $(3)$ und an anderer Stelle in diesem Buch verwenden wir die Notation $\int^xf(t)dt$ um
eine Stammfunktion der Funktion zu bezeichnen $f$ ; das ist, $F(x)=\int^xf(t)dt$ bezeichnet einen
bestimmten Vertreter der Klasse von Funktionen, deren Ableitungen gleich sind $f$ .
Alle Mitglieder dieser Klasse sind im Ausdruck enthalten $F(x)+c$ , Wo $c$ ist eine
beliebige Konstante.

PS Beim zweiten Nachdenken bin ich mir nicht sicher, ob Boyce & DiPrima die Notation verwenden $\int^xf(t)dt$ ganz genauso wie du. Für sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

j^{'} = F (X)

$y'=f(x)$ Ist

j = \int^{X} F (T) D T + C

$y=\int^xf(t)dt+c$ seit

y = \int^{x} f (t) d t

$y=\int^xf(t)dt$ ist eine (nicht spezifizierte) bestimmte Lösung; aber für dich denke ich

j = \int^{X} F (T) D T

$y=\int^xf(t)dt$ ist schon die allgemeine Lösung.

Danke, die subtil andere Bedeutung ist eine sekundäre Frage. Tatsächlich kann ich mich nicht ganz entscheiden, was das unbestimmte Integral (in welcher Notation auch immer) bedeuten soll: eine Klasse von Funktionen oder eine unbekannte Funktion. Ich bin günstiger als eine unbekannte Funktion ähnlich zu behandeln $O(...)/o(...)$ (großes „O“ und kleines „o“).
Noch eine Bemerkung: Sie scheinen das unbestimmte Integral durch Stammfunktionen zu definieren, und tatsächlich wird es normalerweise so gemacht. Ich hätte es vorgezogen, wenn es in Form von bestimmten Integralen definiert wäre.
Der Satz "Aus der Elementarrechnung wissen wir, dass ϕ eine Stammfunktion von f ist" ist jedoch seltsam. Dies ist per Definition eine Stammfunktion, es genügt zu wissen, was „Stammfunktion“ bedeutet.

Lehrbücher, die eine Notation mit expliziter Argumentvariable in der Obergrenze ∫x∫x\int^x für "unbestimmte Integrale" verwenden.

Alexej

mrtaurho

Alexej

Alexej

mrtaurho

Alexej

Alexej

Alexej

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bof

Alexej

Alexej

Alexej

Die Bedeutung von dxdxdx in einem unbestimmten Integral

Was ist der offensichtliche Widerspruch in diesem Integral?

Quelle der Behauptung, Leibniz habe 1691 die Trennung von Variablen für ODEs entdeckt?

Problem mit unbestimmtem Integral ∫cos4xsin3xdx∫cos4⁡xsin3⁡xdx\int\frac {\cos^4x}{\sin^3x} dx

Berechne ∫sin(x−α)sin(x+α)−−−−−−√dx∫sin⁡(x−α)sin⁡(x+α)dx\int \sqrt{ \frac {\sin(x -\alpha)} {\sin(x+\alpha)} }\,\operatorname d\!x?

Integriere ∫dxsin3xsin(x+α)√∫dxsin3⁡xsin⁡(x+α)\int \frac{dx}{\sqrt{\sin^3x\sin(x+\alpha)}}

Berechne ∫11−sin4x√dx∫11−sin4⁡xdx\int \frac{1}{\sqrt{1-\sin^4{x}}}dx

Wer hat die Leibniz-Notation d2ydx2d2ydx2\frac{d^2y}{dx^2} für die zweite Ableitung erfunden?

Geschlossene Form des bestimmten Integrals von 2006 MIT Integration Bee [geschlossen]

Bedeutung des Minuszeichens oben oder unten am Integral