Die Bedeutung von dxdxdx in einem unbestimmten Integral

Question

Die Bedeutung von dxdxdx in einem unbestimmten Integral

Infinitesimalrechnung
Notation
Integration
Mathematik
Differential
unbestimmte Integrale

Andreexeme

In diesem Semester nehme ich zum ersten Mal Integralrechnung. Wir begannen mit dem Differential (dh $dy=f'(x)\,dx$ ) und gleich danach mit dem unbestimmten Integral. Seitdem versuche ich, das zu verstehen $dx$ wenn es Teil eines unbestimmten Integrals ist (z $\int f(x) \, \boldsymbol{dx}$ ). Ich weiß, dass es bereits eine Unmenge Antworten zu dieser Frage gibt, aber alle beziehen sich auf das bestimmte Integral, und diejenigen, die unbestimmte Integrale berühren, sagen nur Dinge wie „Es ist nur ein syntaktisches Mittel, um Ihnen die Variable zu sagen, in Bezug auf die zu differenzieren ist oder die Integrationsvariable “ (Ihf, 2012, web). Ich mag diese Antwort nicht, besonders weil mir beigebracht wurde, dass zwei Funktionen gegeben sind $f(x)$ , $g(x)$ und die Stammfunktion ihres Produkts $\int f(x)g(x)\,dx$ , wenn ich zuordnen sollte $f(x)$ Zu $u$ Und $g(x)\,dx$ Zu $dv$ um partiell zu integrieren, dann müsste ich integrieren $dv$ finden $v$ . Das macht nur Sinn, wenn $dx$ bedeutet etwas für sich und ist nicht nur eine Marotte der Notation, sonst kämen wir auf so etwas wie das Folgende:

\int G (X) D X D X

$\int g(x)\,dx\space dx$

Nachdem ich viel darüber nachgedacht habe, glaube ich, dass ich endlich einen Weg gefunden habe, das zu verstehen $dx$ als etwas, das nicht einfach ein Notationsgerät ist. Meine Überlegung ist wie folgt:

Gegeben eine Funktion $f(x)$ , lassen $y=f(x)$ . Dann $\frac{D j}{D X} = F^{'} (X)$ $\frac{dy}{dx}=f'(x)$
Dann wissen wir das aus dem Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung $\int \frac{D j}{D X} D X = j$ $\int\frac{dy}{dx}\,dx=y$
Lassen $dy=f'(x)\,dx$ . Dann die Gleichung $D j = \frac{D j}{D X} D X$ $dy=\frac{dy}{dx}\,dx$ hält und $\int \frac{D j}{D X} D X = \int D j = j$ $\int\frac{dy}{dx}\,dx=\int dy=y$
Integrieren Sie schließlich beide Seiten der Gleichung $dy=f'(x)\,dx$ damit $\int D j = \int F^{'} (X) D X ⟹ j = F (X)$ $\int dy=\int f'(x)\,dx\implies y=f(x)$

Daraus schließe ich, dass wir durch die Integration einer Funktion in Wirklichkeit das Differential dieser Funktion integrieren. Das macht für mich absolut Sinn, obwohl mir bewusst ist, dass scheinbar logische Dinge nicht unbedingt logisch sind. Deshalb würde ich mich freuen, wenn mir jemand sagen könnte, ob das obige mathematisch korrekt oder reiner Kauderwelsch ist.

PS, ich hatte noch nie einen mathematischen Beweis geschrieben und ich habe noch keine Beweiskurse besucht, also sind alle Vorschläge willkommen.

Referenz: lhf . (2012, 9. Mai). Was macht $dx$ bedeuten? . Mathematik-Stack-Austausch. https://math.stackexchange.com/q/143262

Ninad Munshi

Ich muss sagen, dass dies eine sehr logische und methodische Analyse für jemanden ist, der noch nie zuvor einen Beweis durchgeführt hat. So skizzieren Profis ihre Ideen, bevor sie versuchen, Löcher zu stechen oder Fälle davon zu beweisen.

RobertDerTutor

Das ist sehr gut. Immer wenn ich Verständnisschwierigkeiten habe

d -

$d-$ irgendwas, ich lege es hinüber

d t

$dt$ um daraus eine abgeleitete Funktion zu machen und zu setzen

d t

$dt$ Daneben. Es scheint für den Umgang mit Differentialen im Allgemeinen zu funktionieren. Reduzieren Sie möglichst alles auf denselben einfachen Fall.

Arthur

Ich bin der Überzeugung, dass unbestimmte Integrale als Ganzes nur eine Eigenart der Notation sind, die "antidifferenziert" bedeutet. Es soll nur wie ein bestimmtes Integral aussehen, weil der fundamentale Satz der Analysis uns sagt, dass die beiden Operationen eng miteinander verbunden sind. Das heißt natürlich nicht, dass Bedeutung nicht aufgezwungen werden kann

d x

$dx$ in einem unbestimmten Integral. Nur, dass das nichts ist, worüber ich mir persönlich Sorgen mache.

Kraut Steinberg

Sie können ein unbestimmtes Integral immer als bestimmtes Integral mit unbestimmter unterer Grenze betrachten.

F (x) = \int^{x} f (y) d y

$F(x)=\int^x f(y)dy$ ist das unbestimmte Integral von

f (x)

$f(x)$ .

JG

Wenn

u = f (x), d v = g (x) d x

$u=f(x),\,\mathrm{d}v=g(x)\mathrm{d}x$ Dann

v = \int d v = \int g (x) d x

$v=\int\mathrm{d}v=\int g(x)\mathrm{d}x$ , während

\int v d x = \int (\int g (x) d x) d x

$\int v\mathrm{d}x=\int(\int g(x)\mathrm{d}x)\mathrm{d}x$ . Die Zahl der

d

$\mathrm{d}$ s ist immer gleich der Anzahl von

\int

$\int$ S.

Winter

Verwandte Frage: Ist

\frac{d y}{d x}

$\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}$ kein Verhältnis? Dies hängt mit dieser Frage zusammen, weil Sie dies hier verwenden und die Dinge, die Sie tun, zeigen, dass diese Notation für das Integral sehr nützlich ist, da Sie diese Art von "skizzenhaften" Manipulationen vornehmen können, die wir alle tun, wenn wir Ableitungen als Brüche im Integral behandeln Substitutionen und ähnliches durchführen und das richtige Ergebnis erhalten.

Antworten (2)

Die Bedeutung von dxdxdx in einem unbestimmten Integral

Ich muss sagen, dass dies eine sehr logische und methodische Analyse für jemanden ist, der noch nie zuvor einen Beweis durchgeführt hat. So skizzieren Profis ihre Ideen, bevor sie versuchen, Löcher zu stechen oder Fälle davon zu beweisen.
Das ist sehr gut. Immer wenn ich Verständnisschwierigkeiten habe $d-$ irgendwas, ich lege es hinüber $dt$ um daraus eine abgeleitete Funktion zu machen und zu setzen $dt$ Daneben. Es scheint für den Umgang mit Differentialen im Allgemeinen zu funktionieren. Reduzieren Sie möglichst alles auf denselben einfachen Fall.
Ich bin der Überzeugung, dass unbestimmte Integrale als Ganzes nur eine Eigenart der Notation sind, die "antidifferenziert" bedeutet. Es soll nur wie ein bestimmtes Integral aussehen, weil der fundamentale Satz der Analysis uns sagt, dass die beiden Operationen eng miteinander verbunden sind. Das heißt natürlich nicht, dass Bedeutung nicht aufgezwungen werden kann $dx$ in einem unbestimmten Integral. Nur, dass das nichts ist, worüber ich mir persönlich Sorgen mache.
Sie können ein unbestimmtes Integral immer als bestimmtes Integral mit unbestimmter unterer Grenze betrachten. $F(x)=\int^x f(y)dy$ ist das unbestimmte Integral von $f(x)$ .
Wenn $u=f(x),\,\mathrm{d}v=g(x)\mathrm{d}x$ Dann $v=\int\mathrm{d}v=\int g(x)\mathrm{d}x$ , während $\int v\mathrm{d}x=\int(\int g(x)\mathrm{d}x)\mathrm{d}x$ . Die Zahl der $\mathrm{d}$ s ist immer gleich der Anzahl von $\int$ S.
Verwandte Frage: Ist $\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}$ kein Verhältnis? Dies hängt mit dieser Frage zusammen, weil Sie dies hier verwenden und die Dinge, die Sie tun, zeigen, dass diese Notation für das Integral sehr nützlich ist, da Sie diese Art von "skizzenhaften" Manipulationen vornehmen können, die wir alle tun, wenn wir Ableitungen als Brüche im Integral behandeln Substitutionen und ähnliches durchführen und das richtige Ergebnis erhalten.

epi163sqrt · Answer 1

Eine Erklärung findet sich in Abschnitt 2.9 Fundamental Theorems of the Calculus in Introduction to Calculus and Analysis I von R. Courant und F. John.

Es ist durchaus üblich, eine nicht ganz eindeutige Schreibweise ohne Kommentar zu verwenden: wir schreiben
$\begin{aligned} F (X) = \int F (X) D X \end{aligned}$ $\begin{align*} \color{blue}{F(x) = \int f(x)\,dx} \end{align*}$ wenn wir damit die Funktion meinen $F(x)$ ist von der Form $\begin{aligned} F (X) = C + \int_{A}^{X} F (u) D u \end{aligned}$ $\begin{align*} F(x) = c + \int_a^xf(u)\,du \end{align*}$ für geeignete Konstanten $c$ Und $a$ , das heißt, wir lassen die Obergrenze weg $x$ , die untere Grenze $a$ und die additive Konstante $c$ und benutze den Buchstabenfür die Integrationsvariable.

Genau genommen besteht natürlich ein kleiner Widerspruch darin, für die Integrationsvariable und die Obergrenze denselben Buchstaben zu verwenden $x$ das ist die unabhängige Variable in $F(x)$ . Bei der Verwendung der Notation $\int f(x)\,dx$ wir dürfen nie die damit verbundene Unbestimmtheit aus den Augen verlieren, nämlich die Tatsache, dass das Symbol immer eine der primitiven Funktionen von bezeichnet $f$ nur. Die Formel $F(x) = \int f(x)\,dx$ ist nur eine symbolische Art, die Beziehung zu schreiben
$\begin{aligned} \frac{D}{D X} F (X) = F (X) . \end{aligned}$ $\begin{align*} \color{blue}{\frac{d}{dx}F(x)=f(x)}. \end{align*}$

GEdgar · Answer 2

Bemerkung
In der Mathematik kann es sein, dass " $\int$ " Und " $dx$ " gelten als Klammern, einschließlich des Integranden:

\int F (X) D X

$\int f(x)\;dx$ In der Physik kann es sein, dass "

\int d x

$\int dx$ " wird als Operator verwendet, steht also vor dem Integranden:

\int D X F (X)

$\int dx \;f(x)$

Die Bedeutung von dxdxdx in einem unbestimmten Integral

Andreexeme

Ninad Munshi

RobertDerTutor

Arthur

Kraut Steinberg

JG

Winter

Antworten (2)

epi163sqrt

GEdgar

Christoph

Was ist der offensichtliche Widerspruch in diesem Integral?

Berechne ∫sin(x−α)sin(x+α)−−−−−−√dx∫sin⁡(x−α)sin⁡(x+α)dx\int \sqrt{ \frac {\sin(x -\alpha)} {\sin(x+\alpha)} }\,\operatorname d\!x?

Integriere ∫dxsin3xsin(x+α)√∫dxsin3⁡xsin⁡(x+α)\int \frac{dx}{\sqrt{\sin^3x\sin(x+\alpha)}}

Berechne ∫11−sin4x√dx∫11−sin4⁡xdx\int \frac{1}{\sqrt{1-\sin^4{x}}}dx

Geschlossene Form des bestimmten Integrals von 2006 MIT Integration Bee [geschlossen]

Auswertung des unbestimmten Integrals ∫log(x+x2−1−−−−−√)dx∫log(x+x2−1)dx\int\log\!\left(x+\sqrt{x^2-1}\ rechts)\!dx

Gibt es Einschränkungen, die ich für die Integration durch trigonometrische Substitution vergessen habe, oder mache ich einen anderen Fehler?

Vereinen Sie verschiedene Formen von ∫1A+cosxdx∫1A+cos⁡xdx\int \frac{1}{A + \cos x} \,\text{d}x

Wie kann ich ∫e2x−1e3x+ex√dx∫e2x−1e3x+exdx\int\frac{e^{2x}-1}{\sqrt{e^{3x}+e^x} } \mathop{dx integrieren }?

Integral: ∫dx(x2−4x+13)2∫dx(x2−4x+13)2\int \dfrac{dx}{(x^2-4x+13)^2}?