Ist dydxdydx\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x} kein Verhältnis?

Historisch betrachtet, als Leibniz die Notation konzipierte, $\frac{dy}{dx}$ wurde angeblich ein Quotient sein: es ist der Quotient aus der „unendlich kleinen Änderung in war $y$erzeugt durch die Änderung von $x$" geteilt durch die "unendliche Änderung in $x$".

Die Formulierung der Infinitesimalrechnung in der üblichen Einstellung der reellen Zahlen führt jedoch zu vielen Problemen. Zum einen können infinitesimale Zahlen in der üblichen Einstellung reeller Zahlen nicht existieren! Da die reellen Zahlen eine wichtige Eigenschaft erfüllen, die als archimedische Eigenschaft bezeichnet wird: gegeben jede positive reelle Zahl $\epsilon\gt 0$, egal wie klein und gegeben jede positive reelle Zahl $M\gt 0$, egal wie groß, es gibt eine natürliche Zahl $n$mit $n\epsilon\gt M$. Aber ein "unendlich" $\xi$soll so klein sein, dass es, egal wie oft Sie es zu sich selbst hinzufügen, nie $1$, im Widerspruch zum archimedischen Eigentum . Andere Probleme: Leibniz definierte die Tangente an den Graphen von $y=f(x)$bei $x=a$indem du sagst "Nimm den Punkt $(a,f(a))$; dann addiere einen infinitesimalen Betrag zu $a$, $a+dx$, und nimm den Punkt $(a+dx,f(a+dx))$, und ziehen Sie die Linie durch diese beiden Punkte." Aber wenn es sich um zwei verschiedene Punkte im Diagramm handelt, ist es keine Tangente, und wenn es nur ein Punkt ist, können Sie die Linie nicht definieren, weil Sie nur einen Punkt haben. Das sind nur zwei der Probleme mit infinitesimalen Zahlen (siehe jedoch unten, wo " Allerdings... " steht.)

Calculus wurde also in den folgenden 200 Jahren im Wesentlichen von Grund auf neu geschrieben, um diese Probleme zu vermeiden, und Sie sehen die Ergebnisse dieser Neufassung (daher kamen zum Beispiel Grenzen). Aufgrund dieser Umschreibung ist die Ableitung kein Quotient mehr , sondern ein Grenzwert :

Die Notation von Leibniz ist jedoch sehr suggestiv und sehr nützlich; Auch wenn Ableitungen keine wirklichen Quotienten sind, verhalten sie sich in vielerlei Hinsicht wie Quotienten. Wir haben also die Kettenregel:

(Differentiale sind Teil derselben Ausgabe: ursprünglich $dy$und $dx$wirklich haben das gleiche bedeuten wie diese Symbole in tun $\frac{dy}{dx}$, aber das führt zu allerlei logischen Problemen, sodass sie nicht mehr dasselbe bedeuten, obwohl sie sich so verhalten, als ob sie es taten.)

Also, obwohl wir d y . schreiben$\frac{dy}{dx}$als ob es ein Bruch wäre, und viele Berechnungen sehen so aus, als würden wir damit wie ein Bruch arbeiten, es ist nicht wirklich ein Bruch (es spielt nur einen im Fernsehen ab).

Allerdings... Es gibt eine Möglichkeit, die logischen Schwierigkeiten mit infinitesimalen Zahlen zu umgehen; dies wird als Nichtstandardanalyse bezeichnet . Es ist ziemlich schwierig zu erklären, wie man es aufstellt, aber Sie können es sich so vorstellen, als würden Sie zwei Klassen reeller Zahlen erzeugen: die Ihnen bekannten, die Dinge wie die archimedische Eigenschaft, die höchste Eigenschaft usw Sie fügen eine weitere, separate Klasse reeller Zahlen hinzu, die Infinitesimals und eine Reihe anderer Dinge enthält. Wenn Sie das tun, dann Sie können , wenn Sie vorsichtig sind, definieren Derivate genau wie Leibniz, in Bezug auf infinitesimals und tatsächlichen Quotienten; wenn du das tust, dann sind alle Regeln der Infinitesimalrechnung, die $\frac{dy}{dx}$ als ob es sich um eine Fraktion waren gerechtfertigt , da in dieser Einstellung , es ist ein Bruchteil. Dennoch muss man vorsichtig sein, da man Infinitesimale und reguläre reelle Zahlen getrennt halten muss, damit sie nicht verwechselt werden, oder man kann auf ernsthafte Probleme stoßen.

Um der Liste der Antworten etwas Abwechslung zu verleihen, werde ich hier gegen den Strom gehen und sagen, dass Sie d y / d x auf eine wenn auch alberne Weise interpretieren können$dy/dx$ als Verhältnis reeller Zahlen.

Für jede (differenzierbare) Funktion $f$, können wir eine Funktion $df(x; dx)$von zwei reellen Variablen $x$und $dx$über

All dies sollte jedoch mit einigen Anmerkungen verbunden sein.

Es ist klar, dass die obigen Notationen keine Definition der Ableitung von $f$. Tatsächlich mussten wir wissen, was die Ableitung $f'$gemeint vor der Definition der Funktion $df$. In gewisser Weise ist es also nur eine kluge Wahl der Notation.

Aber wenn es nur ein Trick der Notation ist, warum erwähne ich es dann überhaupt? Der Grund dafür ist, dass in höheren Dimensionen die Funktion $df(x;dx)$ wird tatsächlich zum Schwerpunkt des Studiums, zum Teil weil es Informationen über alle partiellen Ableitungen enthält.

Genauer gesagt, für multivariable Funktionen $f\colon R^n \to R$, können wir eine Funktion $df(x;dx)$von zwei n-dimensionalen Variablen $x, dx \in R^n$über

Beachten Sie, dass diese Karte $df$ist in der Variablen d x . linear$dx$. Das heißt, wir können schreiben:

Mit anderen Worten, die Funktion $df(x;dx)$kann man sich als lineare Funktion von $dx$, deren Matrix variable Koeffizienten hat (abhängig von $x$).

Also für die $1$-dimensionaler Fall, was wirklich vor sich geht, ist ein Trick der Dimension . Das heißt, wir haben die Variable $1\times1$Matrix ( $f'(x)$) auf den Vektor d x ∈ R 1 . wirkend$dx \in R^1$-- und es passiert einfach so, dass Vektoren in $R^1$ kann mit Skalaren identifiziert und so geteilt werden.

Schließlich sollte ich erwähnen, dass, solange wir an d x . denken$dx$als reelle Zahl multiplizieren und dividieren Mathematiker mit $dx$die ganze Zeit - es ist nur so, dass sie normalerweise eine andere Notation verwenden. Der Buchstabe " $h$" wird in diesem Zusammenhang oft verwendet, daher schreiben wir normalerweise

EDIT: Nur um noch technischer zu sein und auf die Gefahr hin, dass es für einige verwirrend ist, sollten wir uns wirklich nicht einmal mit $dx$als Element von $R^n$, sondern als Element des Tangentialraums $T_xR^n$. Auch hier haben wir zufällig eine kanonische Identifikation zwischen $T_xR^n$und $R^n$was alles oben in Ordnung macht, aber ich mag die Unterscheidung zwischen tangentialem Raum und euklidischem Raum, weil sie die verschiedenen Rollen hervorhebt, die $x \in R^n$und $dx \in T_xR^n$.

Mein liebstes "Gegenbeispiel" zur Ableitung, die wie ein Verhältnis wirkt: die implizite Differenzierungsformel für zwei Variablen. Wir haben

Die Formel ist fast das, was Sie erwarten würden, abgesehen von diesem lästigen Minuszeichen.

Siehe http://en.wikipedia.org/wiki/Implicit_differentiation#Formula_for_two_variables für die strenge Definition dieser Formel.

Denken Sie am besten an $\frac{d}{dx}$als Operator, der die Ableitung nach $x$, von welchem ​​Ausdruck auch immer folgt.

In der Leibniz-Mathematik gilt, wenn $y=x^2$dann $\frac{dy}{dx}$wäre "gleich" $2x$, aber die Bedeutung von "Gleichheit" war für Leibniz nicht dieselbe wie für uns. Er betonte wiederholt (zum Beispiel in seiner Antwort an Nieuwentijt von 1695), dass er mit einem verallgemeinerten Gleichheitsbegriff "bis zu" einem vernachlässigbaren Begriff arbeite. Außerdem verwendete Leibniz mehrere verschiedene Notationen für "Gleichheit". Einer von ihnen war das Symbol "$\,{}_{\ulcorner\!\urcorner}\,$". Um den Punkt zu betonen, könnte man schreiben

Genauer gesagt, $\frac{dy}{dx}$ist ein wahres Verhältnis im folgenden Sinne. Wir wählen ein infinitesimales $\Delta x$, und betrachten das entsprechende $y$-Inkrement $\Delta y = f(x+\Delta x)-f(x)$. Das Verhältnis $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ist dann unendlich nah an der Ableitung $f'(x)$. Wir setzen dann $dx=\Delta x$und $dy=f'(x)dx$so dass $f'(x)=\frac{dy}{dx}$per Definition. Einer der Vorteile dieses Ansatzes besteht darin, dass man einen eleganten Beweis für die Kettenregel d y . erhält$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$durch Anwendung der Standardteilfunktion auf die Gleichheit $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta y}{\Delta u}\frac{\Delta u}{\Delta x}$.

Im reellen Ansatz der Infinitesimalrechnung gibt es keine Infinitesimalen und daher ist es unmöglich, d y . zu interpretieren$\frac{dy}{dx}$als wahres Verhältnis. Entsprechende Ansprüche müssen daher modulo anti-infinitesimal Fundamental Commitments relativiert werden.

Anmerkung 1. Mir ist vor kurzem aufgefallen, dass Leibniz $\,{}_{\ulcorner\!\urcorner}\,$Notation kommt mehrmals in Margaret Barons Buch Die Ursprünge der Infinitesimalrechnung vor , beginnend auf Seite 282. Es lohnt sich, einen Blick darauf zu werfen.

Anmerkung 2. Es sollte klar sein , daß Leibniz tat Ansicht $\frac{dy}{dx}$als Verhältnis. (Einige der anderen Antworten scheinen in Bezug auf diesen Punkt mehrdeutig formuliert zu sein.)

Typischerweise ist die $\frac{dy}{dx}$Notation wird verwendet, um die Ableitung zu bezeichnen, die als die Grenze definiert ist, die wir alle kennen und lieben (siehe Antwort von Arturo Magidin). Wenn man jedoch mit Differentialen arbeitet, kann man $\frac{dy}{dx}$ als echtes Verhältnis von zwei festen Größen.

Zeichnen Sie einen Graphen einer glatten Funktion $f$und seine Tangente bei $x=a$. Ausgehend vom Punkt $(a, f(a))$, verschiebe $dx$Einheiten direkt entlang der Tangente (nicht entlang des Graphen von $f$). Lassen $dy$sei die entsprechende Änderung in $y$.

Also haben wir d x . verschoben$dx$Einheiten richtig, $dy$Einheiten nach oben und blieb auf der Tangente. Daher ist die Steigung der Tangente genau $\frac{dy}{dx}$. Die Steigung der Tangente bei $x=a$ist auch gegeben durch $f'(a)$, daher die Gleichung

hält, wenn $dy$und $dx$werden als feste, endliche Änderungen der beiden Variablen x . interpretiert$x$und $y$. In diesem Zusammenhang nehmen wir keinen Grenzwert auf der linken Seite dieser Gleichung, und $\frac{dy}{dx}$ist ein echtes Verhältnis von zwei festen Größen. Deshalb können wir dann schreiben $dy = f'(a) dx$.

Von Natürlich ist es ein Verhältnis.

$dy$und $dx$sind Differenziale. Sie wirken also auf Tangentenvektoren, nicht auf Punkte. Das heißt, sie sind Funktionen auf der Tangentialmannigfaltigkeit, die auf jeder Faser linear sind. Auf der Tangentialmannigfaltigkeit ist das Verhältnis der beiden Differentiale $\frac{dy}{dx}$ist nur ein Verhältnis von zwei Funktionen und ist auf jeder Faser konstant (außer dass sie im Nullabschnitt schlecht definiert ist). Daher sinkt sie auf eine wohldefinierte Funktion auf der Basismannigfaltigkeit ab. Wir bezeichnen diese Funktion als Ableitung.

Wie in der ursprünglichen Frage erwähnt, versuchen heutzutage viele Bücher über Infinitesimalrechnung sogar, Differentiale lose zu definieren und weisen zumindest informell darauf hin, dass für Differentiale $dy = f'(x) dx$(Beachten Sie, dass beide Seiten dieser Gleichung auf Vektoren wirken, nicht auf Punkte). Beide $dy$und $dx$sind perfekt definierte Funktionen auf Vektoren und ihr Verhältnis ist daher eine vollkommen bedeutungsvolle Funktion auf Vektoren. Da es auf Fasern konstant ist (abzüglich des Nullabschnitts), sinkt dieses wohldefinierte Verhältnis zu einer Funktion auf dem ursprünglichen Raum ab.

Schlimmstenfalls könnte man einwenden, dass das Verhältnis $\frac{dy}{dx}$ ist im Nullabschnitt nicht definiert.

Die Schreibweise $dy/dx$- in der Elementarrechnung - ist einfach das: Notation zur Bezeichnung der Ableitung von, in diesem Fall, $y$bezüglich $x$. (In diesem Fall $f'(x)$ist eine andere Notation , um im Wesentlichen dasselbe auszudrücken, dh $df(x)/dx$wo $f(x)$bezeichnet die Funktion $f$bezogen auf die abhängige Variable $x$. Nach dem, was Sie oben geschrieben haben, ist $f(x)$ist die Funktion, die Werte im Zielraum y . annimmt$y$).

Weiterhin ist per Definition $dy/dx$ an einem bestimmten Punkt $x_0$innerhalb der Domäne $x$ist die reelle Zahl $L$, falls vorhanden. Andernfalls, wenn keine solche Zahl existiert, dann ist die Funktion $f(x)$keine Ableitung an der fraglichen Stelle hat (dh in unserem Fall $x_0$).

Für weitere Informationen können Sie den Wikipedia-Artikel lesen: http://en.wikipedia.org/wiki/Derivative

Es ist kein Verhältnis, genauso wie $dx$ ist kein Produkt.

$\boldsymbol{\dfrac{dy}{dx}}$ist definitiv kein Verhältnis - es ist die Grenze (falls vorhanden) eines Verhältnisses. Dies ist Leibniz' Notation der Ableitung (um 1670), die sich gegenüber Newton $\dot{y}(x)$.

Dennoch behandeln die meisten Ingenieure und sogar viele angewandte Mathematiker es als Verhältnis. Ein sehr häufiger solcher Fall ist die Lösung trennbarer ODEs, dh Gleichungen der Form

Anscheinend ist dies keine Mathematik, sondern eine symbolische Berechnung.

Warum dürfen wir die linke Seite bezüglich x . integrieren $x$und die rechte Seite bezüglich $y$? Was bedeutet das?

Dieses Vorgehen führt oft zur richtigen Lösung, aber nicht immer. Anwenden dieser Methode zum Beispiel auf den IVP

Noch schlimmer, betrachten wir den Fall des IVP

Meiner Meinung nach sollte Infinitesimalrechnung streng gelehrt werden, mit $\delta$'s und $\varepsilon$'S. Sind diese erst einmal gut verstanden, kann man solche symbolischen Kalküle anwenden, sofern man davon überzeugt ist, unter welchen Einschränkungen dies tatsächlich erlaubt ist.

In den meisten Formulierungen ist $\frac{dx}{dy}$kann nicht als Verhältnis interpretiert werden, da $dx$und $dy$existieren in ihnen nicht wirklich. Eine Ausnahme hiervon wird in diesem Buch gezeigt . Wie es funktioniert, wie Arturo sagte, ist, dass wir infinitesimale Zahlen zulassen (unter Verwendung des hyperrealen Zahlensystems). Es ist gut formuliert, und ich bevorzuge es, Vorstellungen einzuschränken, da es so erfunden wurde. Nur konnten sie es damals nicht richtig formulieren. Ich gebe ein leicht vereinfachtes Beispiel. Nehmen wir an, Sie differenzieren $y=x^2$. Sei nun $dx$eine sonstige Infinitesimalzahl sein (es ist das Gleiche, egal welche Sie wählen, wenn Ihre Funktion an diesem Punkt differenzierbar ist.)

(Hinweis: Eigentlich $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ist das, was wir am Anfang gefunden haben, und $dy$ist so definiert, dass $\frac{dy}{dx}$ist $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ auf die nächste reelle Zahl gerundet.)

$\frac{dy}{dx}$ ist kein Verhältnis - es ist ein Symbol, das verwendet wird, um eine Grenze darzustellen.

Mir ist klar, dass dies ein alter Beitrag ist, aber ich denke, es lohnt sich, darauf hinzuweisen, dass in der sogenannten Quantenrechnung $\frac{dy}{dx}$ $is$ein Verhältnis. Das Thema $starts$ sofort ab, indem man sagt, dies ist ein Verhältnis, indem man Differentiale definiert und dann Ableitungen als Verhältnis von Differentialen bezeichnet:

Das $q-$Differential ist definiert als

und das $h-$Differential als

Daraus folgt $d_q x = (q-1)x$und $d_h x = h$.

Von hier aus definieren wir $q-$Ableitung und $h-$Ableitung bzw.:

Beachte das

Um zu fragen "Ist $\frac{dy}{dx}$oder ein Verhältnis, nicht wahr? „ist wie zu fragen : “ Ist $\sqrt 2$eine Zahl oder nicht?" Die Antwort hängt davon ab, was Sie mit "Zahl" meinen. $\sqrt 2$ist keine Integer- oder rationale Zahl. Wenn Sie das also mit "Zahl" meinen, lautet die Antwort "Nein, $\sqrt 2$ ist keine Zahl."

Die reellen Zahlen sind jedoch eine Erweiterung der rationalen Zahlen, die irrationale Zahlen wie $\sqrt 2$, und so ist in dieser Zahlenmenge $\sqrt 2$ ist eine Zahl.

Ebenso kann ein Differential wie $dx$ist keine reelle Zahl, aber es ist möglich, die reellen Zahlen um infinitesimale Zahlen zu erweitern, und wenn Sie dies tun, dann $\frac{dy}{dx}$ ist wirklich ein Verhältnis.

Wenn ein Professor Ihnen sagt, dass $dx$an sich bedeutungslos ist oder dass $\frac{dy}{dx}$ist kein Verhältnis, sie sind korrekt in Bezug auf "normale" Zahlensysteme wie das reelle oder komplexe System, die die Zahlensysteme sind, die typischerweise in Naturwissenschaften, Ingenieurwesen und sogar Mathematik verwendet werden. Infinitesimals können auf eine strenge Grundlage gestellt werden, aber manchmal auf Kosten der Aufgabe einiger wichtiger Eigenschaften der Zahlen, auf die wir uns für die tägliche Wissenschaft verlassen.

Siehe https://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal#Number_systems_that_include_infinitesimals für eine Diskussion von Zahlensystemen, die infinitesimale Zahlen enthalten.

Alles, was in der Mathematik gesagt werden kann, kann auf mindestens 3 verschiedene Arten gesagt werden ... alle Dinge über Ableitungen / Ableitungen hängen von der Bedeutung ab, die dem Wort beigemessen wird: TANGENT. Es besteht Einigkeit darüber, dass die Ableitung die "Gradientenfunktion" für Tangenten (an einem Punkt) ist; und räumlich (geometrisch) ist die Steigung einer Tangente das "Verhältnis" ("Bruchstück" wäre besser) des y-Abstands zum x-Abstand. Ähnliche Unklarheiten treten auf, wenn "räumlich und algebraisch" in der Notation verwechselt werden. Manche Leute nehmen das Wort "Vektor" als eine Spur!

Angenommen, Sie sind mit d y / d x zufrieden$dy/dx$, wenn es $\ldots dy$und $\ldots dx$es bedeutet, dass das, was d y vorausgeht, folgt$dy$in Bezug auf $y$ist gleich dem, was d x . vorausgeht$dx$in Bezug auf $x$.

„im Sinne von“ = „in Bezug auf“.

Das heißt, wenn " $a \frac{dy}{dx} = b$", dann folgt daraus " $a$in Bezug auf $y$= $b$in Bezug auf $x$". Wenn die Gleichung alle Terme mit $y$links und alle mit $x$ rechts, dann haben Sie eine gute Stelle, um fortzufahren.

Der Satz "es folgt daraus" bedeutet, dass Sie d x . nicht wirklich bewegt haben$dx$wie in der Algebra. Es hat jetzt eine andere Bedeutung, die auch wahr ist.

Hier gibt es viele Antworten, aber die einfachste scheint zu fehlen. Hier ist es also:

Ja, es ist ein Verhältnis, genau aus dem Grund, den Sie in Ihrer Frage genannt haben.

Ich werde mich hier @Jesse Madnick anschließen und versuchen, d y zu interpretieren$\frac{dy}{dx}$als Verhältnis. Die Idee ist: interpretieren wir $dx$und $dy$als Funktionen auf $T\mathbb R^2$, als wären sie Differentialformen. Für jeden Tangentenvektor $v$, setze $dx(v):=v(x)$. Wenn wir T R 2 . identifizieren$T\mathbb R^2$mit $\mathbb R^4$, erhalten wir das $(x,y,dx,dy)$ist nur das kanonische Koordinatensystem für $\mathbb R^4$. Wenn wir die Punkte ausschließen, bei denen $dx=0$, dann $\frac{dy}{dx} = 2x$ist eine vollkommen gesunde Gleichung, ihre Lösungen bilden eine Teilmenge von $\mathbb R^4$.

Mal sehen, ob es Sinn macht. Wenn wir x . fixieren$x$und $y$, die Lösungen bilden eine Gerade durch den Ursprung des Tangentialraums bei $(x,y)$, seine Steigung beträgt $2x$. Die Menge aller Lösungen ist also eine Verteilung, und die ganzzahligen Mannigfaltigkeiten sind zufällig die Parabeln $y=x^2+c$. Genau die Lösungen der Differentialgleichung, die wir schreiben würden als $\frac{dy}{dx} = 2x$. Natürlich können wir es schreiben als $dy = 2xdx$sowie. Das finde ich zumindest ein bisschen interessant. Irgendwelche Gedanken?

Die Ableitung $\frac{dy}{dx}$ist kein Verhältnis, sondern eine Darstellung eines Verhältnisses innerhalb einer Grenze .

In ähnlicher Weise gilt $dx$ist eine Darstellung von $\Delta x$ innerhalb einer Grenze mit Interaktion . Diese Wechselwirkung kann in Form von Multiplikation, Division usw. mit anderen Dingen innerhalb derselben Grenze erfolgen.

Diese Interaktion innerhalb der Grenze macht den Unterschied. Sie sehen, ein Grenzwert eines Verhältnisses ist nicht unbedingt das Verhältnis der Grenzwerte, und das ist ein Beispiel dafür, warum die Wechselwirkung als innerhalb des Grenzwerts liegend betrachtet wird . Diese Grenze wird in der von Liebniz erfundenen Kurzschreibweise versteckt oder weggelassen.

Die einfache Tatsache ist, dass der Großteil der Infinitesimalrechnung eine Kurzdarstellung von etwas anderem ist . Diese Kurzschreibweise ermöglicht es uns, Dinge schneller zu berechnen, und sie sieht besser aus, als sie tatsächlich repräsentativ ist. Das Problem tritt auf, wenn die Leute erwarten, dass sich diese Notation wie echte Mathematik verhält , was nicht möglich ist, da sie nur eine Darstellung der tatsächlichen Mathematik ist.

Um also die zugrunde liegenden Eigenschaften der Infinitesimalrechnung zu sehen , müssen wir sie immer in die tatsächliche mathematische Form umwandeln und dann von dort aus analysieren. Dann können wir durch das Auswendiglernen grundlegender Eigenschaften und Kombinationen dieser verschiedenen Eigenschaften noch mehr Eigenschaften ableiten.

$dy/dx$ist wahrscheinlich die vielseitigste Notation in der Mathematik. Es kann interpretiert werden als

1. Eine Abkürzung für den Grenzwert eines Quotienten: $$\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} \, .$$
2. Das Ergebnis der Anwendung des Ableitungsoperators, $d/dx$, auf einen gegebenen Ausdruck $y$.
3. Das Verhältnis zweier infinitesimaler Zahlen $dy$und $dx$(mit dieser Interpretation, die unter Verwendung einer nicht standardmäßigen Analyse rigoros gemacht wurde ).
4. Das Verhältnis zweier Differentiale $dy$und $dx$ entlang der Tangente an eine gegebene Kurve wirkend.

Alle diese Interpretationen sind auf ihre Weise gleichermaßen gültig und nützlich. In den am häufigsten vorkommenden Interpretationen (1) und (2) gilt $dy/dx$wird nicht als Verhältnis gesehen, obwohl es sich oft wie eins verhält. Die Interpretationen (3) und (4) bieten praktikable Alternativen. Da Mikhail Katz bereits eine gute Darstellung von Infinitesimalen gegeben hat, lassen Sie mich den Rest dieser Antwort auf die Interpretation konzentrieren (4).

Gegeben eine Kurve $y=f(x)$, die Gleichung der Tangente an den Punkt $(a,f(a))$ist gegeben durch

Wir können dann $dx=h$und $dy=g(a+h)-g(a)$:

Da die Tangente eine konstante Steigung hat, gilt

Dieser Begriff von $dy/dx$Dies wird sehr nützlich, wenn Sie feststellen, dass die Tangente in einem sehr sinnvollen Sinne die beste lineare Näherung einer Funktion um einen bestimmten Punkt ist. Wir können die lineare Näherungsformel in eine exakte Gleichheit umwandeln, indem wir $r(h)$sei der Restterm:

So gesehen ist die Aussage

Der beste Weg, d zu verstehen$d$ ist das, ein Operator zu sein, mit einer einfachen Regel

Nimmt man diese Definition, dann ist $dy/dx$ist tatsächlich ein Verhältnis, da $f'(x)dx$von $dx$

Dies geschieht auf die gleiche Weise wie bei $12/3$streift ab $12=4\cdot3$von $3$

In einem bestimmten Kontext ist $\frac{dy}{dx}$ ist ein Verhältnis.

$\frac{dy}{dx}=s$ meint:

Standardrechnung

$\forall \epsilon\ \exists \delta\ \forall dx$

Wenn $0<|dx|\leq\delta$

Wenn $(x, y) = (x_0, y_0)$, aber $(x, y)$hätte auch sein können $(x_0+dx, y_0+\Delta y)$

Wenn $dy = sdx$

Dann $\left|\frac{\Delta y}{dx}-\frac{dy}{dx}\right|\leq \epsilon$

Nicht-Standard-Kalkül

$\forall dx$wobei $dx$ ist eine infinitesimale Zahl ungleich null

$\exists \epsilon$wo $\epsilon$ ist unendlich klein

Wenn $(x, y) = (x_0, y_0)$, aber $(x, y)$hätte auch sein können $(x_0+dx, y_0+\Delta y)$

Wenn $dy = sdx$

Dann $\frac{\Delta y}{dx} - \frac{dy}{dx} = \epsilon$

In beiden Fällen gilt $dx$erhält seine Bedeutung aus der auferlegten Einschränkung (die mit Quantoren beschrieben wird), und $dy$erhält seine Bedeutung aus dem Wert von $s$und die Beschränkung auf $dx$.

Daher ist es sinnvoll, eine Aussage über $\frac{dy}{dx}$als Verhältnis, wenn die Aussage angemessen quantifiziert ist und $dx$ ist entsprechend eingeschränkt.

Weniger formal ist $dx$wird verstanden als "der Betrag, um den $x$wird angestoßen", $dx$wird verstanden als "der Betrag, um den $y$auf der Tangente angestoßen wird", und $\Delta y$wird verstanden als "der Betrag, um den $y$ wird auf der Kurve angestoßen". Dies ist eine durchaus vernünftige Art, von einer groben Intuition zu sprechen.

Natürlich ist es ein Bruch in angemessener Definition.

Lassen Sie mich meine Ansicht der Antwort hinzufügen, bei der es sich um einen aktualisierten Text aus einer anderen Frage handelt.

Dementsprechend z. B. Murray H. Protter, Charles B. Jr. Morrey - Intermediate Calculus-(2012) Seite 231 Differential für Funktion $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ist definiert als Funktion zweier auf besondere Weise durch die Formel gewählter Variablen:

Dies ist eine völlig rigorose Definition, die nichts erfordert, dann die Definition/Existenz des Derivats. Aber hier ist noch mehr: wenn wir Differential als Existenz einer linearen Approximation im Punkt $x=x_0$für die gilt

Verwenden wir diese Definition für die Identitätsfunktion $g(x)=x$, dann erhalten wir

Lassen Sie mich anmerken, dass es sich um einen Ansatz mit einer einzelnen Variablen handelt, nicht um einen multivariablen Ansatz.

Ich kann nicht , warum jemand behaupten erklären, dass $\frac{dy}{dx}$kann nicht als Bruch verstanden werden - kann es an fehlenden Kenntnissen über Differentialdefinitionen liegen? Für jeden Fall bringe ich zusätzlich zu obiger Quelle eine Liste von Büchern, in denen eine Definition des Differentials ist, die die Möglichkeit gibt, den fraglichen Bruch zu verstehen:

1. James R. Munkres - Analysis on Mannigfaltigkeiten - (1997) 252-253 p.
2. Vladimir A. Zorich - Mathematische Analysis I- (2016) 176 p.
3. Loring W. Tu (auth.) - Eine Einführung in die Mannigfaltigkeiten-(2011) 34 p.
4. Herbert Amann, Joachim Escher - Analyse II (V. 2) -(2008) 38 S.
5. Robert Creighton Buck, Ellen F. Buck - Advanced Calculus - (1978) 343 p.
6. Rudin W. - Grundlagen der mathematischen Analysis - (1976) 213 S.
7. Fichtenholz Gr. M - Kurs der Differential- und Integralrechnung vol. 1 2003 240-241 S.
8. Richard Courant - Differential- und Integralrechnung, Vol. 2, No. I, 2. Auflage -Interscience Publishers (1937), Seite 107
9. John MH Olmsted - Advanced Calculus-Prentice Hall (1961), Seite 90.
10. David Guichard - Single and Multivariable Calculus_ Early Transcendentals (2017), Seite 144
11. Stewart, James - Calculus-Cengage Learning (2016), Seite 190
12. Differential in der Infinitesimalrechnung

Der Gerechtigkeit halber erwähne ich Michael Spivak - Calculus (2008) 155 p. wobei der Autor gegen das Verständnis von Brüchen ist, aber das Argument ist von der Art "ist es nicht, weil es nicht sein kann". Spivak einer meiner angesehensten und beliebtesten Autoren, aber " Amicus Plato, sed magis amica veritas ".

Wenn ich meine Antwort aus dem Auge eines Physikers gebe, dann denken Sie vielleicht an Folgendes:

Für ein Teilchen, das sich entlang x . bewegt$x$-Achse mit variabler Geschwindigkeit, Wir definieren momentane Geschwindigkeit $v$eines Objekts als Änderungsrate der x-Koordinate des Teilchens zu diesem Zeitpunkt und da wir "Änderungsrate" definieren, muss sie gleich der Gesamtänderung geteilt durch die Zeit sein, die für diese Änderung benötigt wird. da wir die momentane Geschwindigkeit berechnen müssen. wir nehmen an, dass moment "ein infinitesimal kurzes Zeitintervall ist, für das angenommen werden kann, dass sich das Teilchen mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, und bezeichnen dieses infinitesimale Zeitintervall mit $dt$. Nun kann das Teilchen nicht mehr als eine infinitesimale Entfernung d x . zurücklegen$dx$in unendlich kurzer Zeit. daher definieren wir die Momentangeschwindigkeit als

$v=\frac{dx}{dt}$ dh als Verhältnis von zwei infinitesimalen Änderungen.

Dies hilft uns auch, die richtigen Einheiten für die Geschwindigkeit zu erhalten, da es für die Positionsänderung $m$und zur Zeitumstellung wird es $s$.

Bei der Definition von Druck an einem Punkt, Beschleunigung, Impuls, elektrischem Strom durch einen Querschnitt usw. nehmen wir das Verhältnis zweier infinitesimaler Größen an.

Ich denke, aus praktischen Gründen können Sie davon ausgehen, dass es sich um ein Verhältnis handelt, aber was es tatsächlich ist, wurde in anderen Antworten gut geklärt.

Auch aus meinen mathematischen Kenntnissen, als ich erfuhr, dass eine Funktion differenziert wird, liefert auch eine Tangentensteigung, mir wurde gesagt, dass Leibniz annahm, dass die glatte Kurve einer Funktion aus unendlich vielen unendlich kleinen Linien besteht, die miteinander verbunden sind Tangente an die Kurve und die Steigung dieser infinitesimal kleinen Geraden = $\frac{dy}{dx}$ = Tangentensteigung, die wir erhalten, wenn wir diese Linie verlängern.

Sogar ich habe gelernt, dass wir eine Lupe mit "unendlicher Vergrößerungsleistung" brauchen würden, um diese Linien zu sehen, die in der Realität möglicherweise nicht möglich sind.