Definition der Steigung einer Tangente an eine Kurve mithilfe von Grenzwerten

Question

Definition der Steigung einer Tangente an eine Kurve mithilfe von Grenzwerten

Sebastian Linde

Ich studiere Calculus auf eigene Faust, und ich stecke ein wenig in der Definition der Steigung einer Tangente zu einem Punkt auf einer Kurve fest. Ich verstehe die Definition einigermaßen, aber ich habe mich gefragt, warum die aktuelle Definition gewählt wurde. Grundsätzlich verstehe ich nicht, warum wir nicht die folgende Grenze als Definition nehmen:

Neigung = lim_{Q \to P} {Neigung}_{Sek} = lim_{j_{1} \to j_{0}} \frac{j_{1} - j_{0}}{X_{1} - X_{0}}

$\text{slope} = \lim\limits_{Q\to P}\text{slope}_{\text{sec}} = \lim\limits_{y_1\to y_0}\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}$ Stattdessen verwenden wir Folgendes:

Neigung = lim_{Q \to P} {Neigung}_{Sek} = lim_{X_{1} \to X_{0}} \frac{j_{1} - j_{0}}{X_{1} - X_{0}}

$\text{slope} = \lim\limits_{Q\to P}\text{slope}_{\text{sec}} = \lim\limits_{x_1\to x_0}\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}$

endil

Wie würden Sie die Ableitung von finden

f (x) = 1

$f(x)=1$ Dann? Der Punkt ist, wenn

f

$f$ ist eine Funktion für alle

x

$x$ , es gibt genau einen

y

$y$ st

f (x) = y

$f(x)=y$ .

Sebastian Linde

@enedil Danke für den Kommentar. Sie haben einen guten Punkt.

Antworten (1)

Definition der Steigung einer Tangente an eine Kurve mithilfe von Grenzwerten

Wie würden Sie die Ableitung von finden $f(x)=1$ Dann? Der Punkt ist, wenn $f$ ist eine Funktion für alle $x$ , es gibt genau einen $y$ st $f(x)=y$ .
@enedil Danke für den Kommentar. Sie haben einen guten Punkt.

John Omelan · Answer 1

Mit einem Diagramm könnten Sie es relativ einfach so machen, wie Sie es vorschlagen. Allgemeiner gesagt, wenn Sie stattdessen eine Funktionsdefinition verwenden, glaube ich, dass das grundlegende Problem darin besteht, dass Sie die Umkehrung der Funktion finden müssten. Wie enedil kommentierte, z $x_1 \to x_0$ , können Sie bestimmen $y_1$ für jede $x_1$ einfach über die Funktionsdefinition, dh $f(x_1) = y_1$ . Allerdings, wenn Sie versucht haben $y_1 \to y_0$ stattdessen, um die entsprechenden Werte von zu bestimmen $x_1$ , müssten Sie die Funktion invers verwenden, dh $x_1 = f^{-1}(y_1)$ . Allerdings haben nicht alle Funktionen Umkehrfunktionen, und selbst wenn sie vorhanden sind, erfordert ihre Berechnung mehr Arbeit als nötig.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass es sinnvoller ist, nur eine Definition zu haben, die sowohl die Verwendung eines Graphen als auch einer Funktion abdeckt $x_1 \to x_0$ .

Definition der Steigung einer Tangente an eine Kurve mithilfe von Grenzwerten

Sebastian Linde

endil

Sebastian Linde

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