in Bezug auf Derivate

Betrachten wir eine leichte Variation Ihres Beispiels. Was ist, wenn$f(x) = x^2 + 1$? Dann bei$x=3$wir haben$f(x) = 10$Und$f'(x) = 2x = 6$. Wir könnten es auch versuchen$f(x) = x^2 - 2$, und dann bei$x=3$wir haben$f(x)= 7$Aber$f'(x) = 6$. Diese Funktionen sind nur vertikale Verschiebungen Ihrer ursprünglichen Funktion, ändern also die$y$-value hat die Ableitung nicht geändert. Per Definition:

und beachten Sie für eine gegebene Funktion, von der diese Gleichung nur abhängt$x=a$, also die$y$-Wert einer Funktion ist irrelevant.

Der Grund, warum wir sagen, ist die „augenblickliche Änderungsrate von$y$gegenüber$x$" liegt daran, dass in diesen Szenarien$y$ist eine Funktion von$x$. An diesem Punkt Ihrer mathematischen Laufbahn haben Sie vermutlich nur die Ableitungen von Funktionen genommen, also die Formulierung für die Ableitung von$y$gegenüber$x$könnte auch als Ableitung der Funktion angegeben werden $y=f(x)$, in Bezug auf die Variable$x$(weil die Funktion davon abhängt$x$).

Schließlich lernen Sie die implizite Differentiation kennen, die es Ihnen ermöglicht, die Ableitung von Relationen zu finden, die keine Funktionen sind. Betrachten wir zum Beispiel die Kreisgleichung$x^2 +y^2 = 5$. Am Punkt$x=1$es sind zwei verbunden$y$-Werte:$y=-2$Und$y=2$(daher keine Funktion) und jeder hat eine andere momentane Änderungsrate. Also für dieses Beispiel, wenn Sie keine Funktion haben$y$-Wert wird eine Rolle spielen.

Gibt uns die Ableitung (der Steigungswert) nur die momentane Kursänderung an einem Punkt und sonst nichts? Ist dies die einzige Bedeutung dieses Wertes?

Die Ausdrücke „nur“ und „nichts anderes“ in mathematischen Aussagen erfordern im Allgemeinen eine sorgfältige Beweisführung, die oft nicht trivial ist.

Ich werde versuchen, das Gegenteil zu zeigen: Ableitungen können auf unerwartete Weise verwendet werden, um Probleme zu lösen. Zum Beispiel, um die Ungleichung von Young zu beweisen

Abgesehen von der Angabe einer "sofortigen Ratenänderung" an den Punkten bietet es tatsächlich eine Möglichkeit, Extrema zu identifizieren, die bei der Lösung vieler Optimierungsprobleme helfen.

Ableitungen helfen bei der Untersuchung wiederholter Wurzeln eines Polynoms, das auf einem Feld mit der Eigenschaft Null definiert ist (Strukturen, die darüber definiert sind). Wenn Sie die Bedeutung von "Ableitungen" in Ihrem Fragenkontext lockern, werden Sie möglicherweise feststellen, dass "algebraische Ableitungen" (explizit definiert für$x^n$gegenüber$x$) haben diese Funktionalität auch für (über definierte Strukturen) ein Feld mit einer Eigenschaft ungleich Null, wo man nicht über die Reihenfolge sprechen könnte '$<$“, worauf die Definition von Grenzen antwortet.

Wenn Sie mir erlauben, mich noch weiter vom Thema zu entfernen, die Anwendung von$q$-Ableitungen in der Quantenrechnung im Beweis von Ramanujans Summierung von$_1\Psi_1$könnte dich überraschen.

Verweise:

1. Kac V., Cheung P. (2002) Ramanujan-Produktformel. In: Quantenrechnung . Universitätstext. Springer, NewYork, NY. https://doi.org/10.1007/978-1-4613-0071-7_15
2. Andrews, GE, & Askey, R. (1976). Ein einfacher Beweis für Ramanujans Summierung der$_1\Psi_1$. University of Wisconsin–Madison Mathematical Research Center Technical Summary Report #1669

nehmen wir eine Funktion x^2 bei x=3, f(x)=9 und hier die Ableitung 2x=6. Der Wert 6 wird als 𝐢𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭𝐚𝐧𝐞𝐨𝐮𝐬 𝐫𝐚𝐭𝐞 𝐨𝐟 𝐜𝐡𝐚𝐧𝐠𝐞 𝐨𝐟 "𝐲" WRT X bezeichnet (warum Ratenänderung von Y? Das ist der Grund, warum ich anfing zu denken, ob 6 und 9 verbunden sind, und diese Änderung in Y bedeutet, dass die Steigung Veränderungen in y verursacht.) Wie) verursacht 6 eine Ratenänderung von y? wie ändert es die Rate der Funktion?

Erläuterung:

Es gibt wirklich keine Beziehung zwischen der 6 in f'(x) = 6 und der 9 in f(x) = 9.

Wenn die Änderungsrate von y bzgl. x an diesem Punkt 6 ist, dann wird sich grob und informell ausgedrückt, wenn sich x um einen kleinen Betrag ändert, y um ungefähr das 6-fache dieses kleinen Betrags ändern. Wenn sich beispielsweise x um 0,001 ändert, ändert sich y um ungefähr 0,006.

Genauer gesagt, wenn sich x von 3 auf 3,001 ändert, dann ändert sich y von 9 auf etwa 9,006. Ich werde dies unten erklären.

Betrachten Sie nun einen anderen x-Wert, den ich x' nennen werde (ausgesprochen "x prime"). Damit ist nicht die Ableitung von x gemeint, sondern nur ein anderer x-Wert. Da es nahe am ursprünglichen x-Wert liegt, können wir es verwenden, um den Wert der Funktion bei diesem neuen x'-Wert anzunähern.

Δx = x' - x = 0,001

Δf ≈ f'(x) Δx = (6) (0,001) = 0,006

f(x') ≈ f(x) + Δf = 9 + 0,006 = 9,006 (Näherungswert).

Die 6 hängt also gewissermaßen mit den y-Werten in der Nähe des betrachteten Punkts zusammen. Wenn wir den einzelnen Punkt betrachten, an dem x = 3 ist, dann ist an diesem Punkt y = 9. Wenn wir benachbarte Werte von x betrachten (sehr nahe bei 3), dann ist die Änderung von y etwa das 6-fache der Änderung von x.

Wenn sich jetzt x von 3 auf 5 ändert, dh x ändert sich um 2 Einheiten, dann sollte y 2 * 6 = 12 ändern, daher 9 + 12 = 21, aber bei x = 5, y = 25 (x ^ 2), also gibt es eine Menge des Fehlers. Wenn der Abstand zwischen den Punkten zunimmt, nimmt der Fehler zu. Wenn ich jetzt sage, dass sich x von 4,9 auf 5 ändert, wird der Fehler geringer sein. Ich bekomme 24,99 und x ^ 2 = 25.

also hat f '(x) eine Beziehung zu den y-Werten, aber in einem kleinen Bereich um x=3.

Mein Hauptproblem war, dass ich früher dachte, wenn eine Steigung 6 ist, dann sollte der y-Wert (bei x = 3, was hier 9 ist) um 6 zunehmen, aber jetzt verstehe ich die Bedeutung von "𝐰𝐢𝐭𝐡 𝐫𝐞𝐬𝐩𝐞𝐜𝐭 𝐭𝐨 𝐱". "bezüglich x" liegt die Bedeutung in diesem Satz. Ich hatte mich nicht so sehr auf das Thema Linearisierung und Differentiale konzentriert, also bin ich wohl bei dieser Frage hängen geblieben. Danke.