ϵ,δϵ,δ\epsilon, \delta...na und?

Im Laufe meines Studiums stoße ich in Nachschlagewerken oft auf Formulierungen der Art "und das vermeidet die Notwendigkeit der Verwendung ϵ , δ Definitionen" oder "damit können wir auf komplizierte verzichten ϵ , δ Argumente" usw. Mit anderen Worten, Stunts ausführen, um herumzukommen ϵ , δ . Ich habe genug davon gesehen, um zu denken, dass es als Epsilondeltophobie kategorisiert werden sollte , wenn Sie alle erlauben. Ich persönlich war begeistert, Definitionen in diesen Begriffen zu lernen, weil es eine der ersten strengen Definitionen war, die mir gegeben wurden, alles in Bezug auf die Quantorenlogik, und es wurde für sehr grundlegende Dinge verwendet, über deren wahre Bedeutung ich mich immer gewundert habe. Am Anfang hatte ich natürlich keine Ahnung, wie man die Sprache benutzt, aber ich liebte es trotzdem, weil es so war, "wooow, deep maan". Ganz zu schweigen davon, dass ich später zu sehen begann, dass alle Konstruktionen höherer Ordnung, auf denen gebaut wurde ϵ , δ -Objekte haben perfekt funktioniert und mich mehr zufrieden gestellt als jeder, der sich das ausgedacht hat ϵ , δ Sprache wusste, was sie taten. Ich sage also nicht, dass es nicht in Ordnung ist, eine Epsilondeltophobie zu entwickeln , wie wir es alle am Anfang tun ... aber Lehrbücher (einige) scheinen diese Angst zu fördern, sogar einige Lehrer, und darüber bin ich nicht glücklich um. Ich finde ϵ , δ ist toll.

Frage: Wer denkt so? umgekehrt?

Bearbeiten: Ich möchte nicht, dass dies als pedantische "Strenge oder Tod" -Aussage oder als Vorschlag empfunden wird, den erste Kurse zur Analysis immer beinhalten sollten ϵ , δ (obwohl vielleicht ja in Mathematik). Ich bin nur gegen die Veranlagung dazu in negativer Weise.

Beispiele bitte? Wo ist Ihnen das begegnet?
Jee nun, ich kann mich nicht an bestimmte Bücher erinnern, es ist nur eine Vorstellung, die ich entwickelt habe, nachdem ich viele, viele Dinge durchgeblättert habe
Geben Sie zumindest den Kontext an - ein Physikbuch? Analysis Kapitel über Derivate?
Ich stimme zu, dass Sie Beispiele geben müssen. Wenn Sie irgendetwas über Grenzen beweisen wollen, müssen Sie verwenden ε , δ (oder ε , N für Sequenzen)
Nun, ich erinnere mich, dass eines davon in einem Buch über nichtlineare Optimierung war ... und dann ein paar PDFs zu calc-1. Das sage ich nicht ϵ , δ sollte in einem ersten Analysiskurs immer Standard sein (obwohl es später sollte), ich verstehe nur nicht die negative Prädisposition dafür
Um das meinungsbasierte Halten zu vermeiden, können Sie Ihre Frage vielleicht auf die Vor- und Nachteile und ggf. Alternativen fokussieren ϵ , δ "Definitionen" in einführenden (für ein allgemeines Publikum?) Mathematikkursen.
@VladimirSotirov Wenn sie halten wollen, dann lass sie, das macht mich nur traurig. Ich habe die Frage mit Absicht gestellt und daran gearbeitet, um genau die Art von gut ausgearbeiteten Antworten und Gegenargumenten zu erhalten, die bisher aufgetaucht sind ... sie zu ändern wäre Lügen, wie ein Kind, das dazu gebracht wird, "Es tut mir leid" zu sagen, und gerecht sagt es, aber fühlt es nicht.
Ich könnte einige von Terry Taos Blogs über Nicht-Standard-Analyse und „Epsilon-Management“ als Beispiele dafür vorschlagen, obwohl er kaum eine „Phobie“ vor harter Analyse hat.
ε Und δ Beweise sind wie Assemblersprachen. Sobald Sie einen übergeordneten Befehl für eine Schleife haben, sollten Sie eine Schleife nicht in Assembler programmieren, da dies sowohl schwer zu tun als auch schwer zu verstehen ist. Auf die gleiche Weise verwenden Sie die Definition, um Eigenschaften von Grenzwerten und stetigen Funktionen zu beweisen, und verwenden dann diese Eigenschaften anstelle der Definition. Das hat nichts mit mangelnder Strenge zu tun. Es ist möglich, mehr oder weniger strenge Beweise mit und ohne griechische Kleinbuchstaben zu führen.
@Phira Ich verstehe voll und ganz, was du mit Assemblersprache meinst, ich mache immer die gleiche Analogie. Aber genau in diesem Sinne denke ich ϵ , δ ist wunderbar, weil es sich um eine "Low-Level"-Struktur handelt, die perfekt für die "High-Level"-Objekte funktioniert, die Sie später erstellen wollten, und dies ist im Allgemeinen schwer zu erreichen, da sich wer weiß wie auf Low-Level ändert spätere Konstruktionen beeinflussen. Auch das habe ich nicht gemeint ϵ , δ der einzige Weg sein sollte, Dinge zu beweisen, ist es natürlich sinnvoll, Eigenschaften zu verwenden, sobald sie bewiesen sind.
@GPerez Aber es ist mehr als das. Das Schlüsselproblem besteht darin, die „richtigen“ Eigenschaften auszuwählen, die nachgewiesen werden sollen. Wenn Sie später brauchen ε Und δ Auch dies ist ein Zeichen dafür, dass Ihnen eine geeignete allgemeine Eigenschaft fehlt. Dies kann den Eindruck einer Phobie erwecken, ist aber eine wichtige Heuristik.
@Phira Natürlich, sonst würden wir alle verwenden ϵ , δ Integrale zu berechnen, und das will niemand. Ich denke, was ich wirklich meine, ist: ϵ , δ Beweise sind eine großartige Übung in Beweisen und Logik, sie dienen als Einführung in solche Dinge, und niemandem wird es schaden, wenn er ihnen ausgesetzt wird.

Antworten (5)

Ich glaube, dass der Pushback dagegen ist ϵ , δ Definitionen (was leider auf Pushback überschwappt ϵ , δ Techniken ) ist völlig gerechtfertigt, weil ϵ , δ Definitionen ergeben sich aus der (leider weit verbreiteten) Verwechslung zwischen einer formalen Aussage und einer strengen Aussage .

Betrachten Sie die formale "Definition" der Stetigkeit einer Funktion F an einem Punkt A :

∀ ϵ ∃ δ ∀ X ( 0 < | X − A | < δ → | F ( X ) − F ( A ) | < ϵ )
Dies ist nur eine verschleierte Art, das Informelle, aber Strenge auszudrücken:

Für jeden Ball B F ( A ) zentriert bei F ( A ) , da ist ein Ball B A zentriert bei A so dass F sendet jeden Punkt aus B A hinein B F ( A ) .

was logisch äquivalent zu dem konzeptionell klareren, aber immer noch informellen, aber immer noch strengen ist:

Wann immer das Bild F ( S ) eines Satzes S wird vom Bild getrennt F ( A ) eines Punktes A , der Satz S war schon von der spitze getrennt A .

das ist das Gegenteil der informellen und rigorosen, intuitiven Definition von Kontinuität von F an einem Punkt A :

Immer wenn ein Satz S von Punkten sind nahe an einem Punkt A , der Satz von Bildern F ( S ) dieser Punkte sind nahe am Bildpunkt F ( A ) .

Ich bin der festen Überzeugung, dass die Äquivalenz der blockierten Aussagen und die IDEE, die die Äquivalenz ausdrückt, nämlich dass wir einen intuitiven Begriff in eine strenge Definition destillieren KÖNNEN, viel interessanter, wichtiger und einprägsamer ist als das Formale ϵ , δ "Definition". Außerdem kann ich mich nicht einmal dazu durchringen, die formale "Definition" eine Definition zu nennen, da sie keine Beschreibung dessen ausdrückt, was es bedeutet, dass eine Funktion stetig ist, sondern eine Technik (von ϵ , δ Beweise), wie man überprüft , ob eine Funktion stetig ist.

Dies ist meiner Meinung nach der Grund für die Gegenwehr ϵ , δ "Definition" und Argumente: Anstatt die strenge Idee oder das Konzept der Kontinuität auszudrücken, die ϵ , δ "Definition" gibt nur eine Technik zum Arbeiten mit Kontinuität und verschleiert, wenn sie als Definition präsentiert wird, nur die Bedeutung des Konzepts (auf sehr effiziente Weise, möchte ich hinzufügen, da der Weg von der intuitiven und bedeutungsvollen Definition zur ϵ , δ Definition bedeutet, ein Kontrapositiv zu nehmen ...).

Schließlich denke ich, dass man sich bewusst ist, wie man (wie oben) rigoros von der intuitiven Definition der Kontinuität in die Aussage der ϵ , δ Technik wird sicherlich nicht schaden, und ich vermute, dass sie den Schülern tatsächlich helfen könnte, die ( ϵ , δ )-Technik, insbesondere mit den einfachen Funktionen, die in Analysis und grundlegender Analysis auftreten.

(Jemand könnte das Obige kritisieren und sagen, dass der Begriff eines Balls in der Analysis mit einer Variablen verwirrend ist. Meine vielleicht umstrittene Antwort ist, dass es wirklich keinen guten Grund gibt, die Verwendung von Calculus nicht zu lehren 2 oder 3 Variablen vom Tag 1 und dass die enge Sichtweise, die der Calculus mit einer Variablen bietet, mehr verschleiert als vereinfacht).

Es ist aber okay, ich meine zu akzeptieren ϵ , δ als Definition bedeutet nicht das Verbot, Intuitionen darüber zu entwickeln, was es bedeutet. Persönlich habe ich dieses Diagramm (danke Geogebra) immer im Kopf erstellt, wenn ich es mir vorgestellt habe. Als Randbemerkung, was ist "was etwas bedeutet", wenn nicht die Definition, die wir dafür entschieden haben?
Die Intuitionen, also die Bedeutung, kommen vor den Definitionen. Genau so ist mathematische Praxis, und die Wahl der Definitionen spiegelt entweder die aktive Präferenz für einige Intuitionen oder die selbstgefällige (ungeprüfte) Akzeptanz anderer Intuitionen wider ...
Warum ich diese Intuitionen natürlich selbstgefällig akzeptiere, ich stimme ihnen zufällig zu. Und vielleicht haben wir a priori Vorstellungen in unseren Köpfen, aber bis Sie definieren, was es bedeutet, können Sie keine "Dinge" damit machen.
Danke Wladimir für deine Antwort. Ich könnte nicht mehr zustimmen. ϵ , δ sind nur eine Kurzschreibweise, um Tipparbeit zu sparen, anstelle ihrer äquivalenten Aussagen in Englisch (oder in welcher Sprache auch immer der Schüler unterrichtet wird). Für mich lim X → A F ( X ) = L bedeutet, dass die Werte von F beliebig nah gemacht werden kann L indem Sie Werte von wählen X ausreichend nah dran A (aber nicht gleich A ). Und in der letzten Aussage ist nichts nicht streng. Mir ϵ , δ ist ein Zeichen von Formalismus und nicht von Strenge.
Ein Beispielbeispiel für Strenge und ihre Übersetzung in Formalismus finden Sie in dieser Antwort: math.stackexchange.com/a/562738
Ich bin mir nicht sicher, ob „rigoros“ und „formal“ genau die richtigen Worte sind (ich gebe zu, dass das Wort „rigoros“ in der Mathematik zu einem meiner liebsten Ärgernisse geworden ist; ich bin mir nicht mehr sicher, was es bedeutet) , aber Ich finde das Gefühl dieser Antwort genau richtig. Lehrbücher für Analysis nähern sich dem ϵ - δ Definition durch die Betonung formaler algebraischer Manipulationen von Ungleichungen, was besonders grausam erscheint, da jeder, der Analysis lehrt, weiß, dass die Schüler darin absolut ungeübt und schlecht darin sind. Die zugrunde liegende geometrische/topologische Bedeutung geht also verloren, obwohl sie leichter verständlich sein könnte.

Es stellt sich heraus, dass Ingenieure, Wissenschaftler und Finanzleute Kalkül verwenden müssen, aber sie müssen Kalkül nicht verstehen.

Der Aufbau der typischen Universitätsausbildung führt all diese Studenten, plus Mathematikstudenten, durch die gleichen Einführungskurse in Analysis. Dies geschieht aus Gründen der Kosteneffizienz, aber auch aufgrund eines möglicherweise verfehlten Ideals, dass Berufsmathematiker Menschen Mathematik beibringen sollten, für die Mathematik letztendlich wirklich nur ein lästiges Mittel zum Zweck ist.

Also eliminieren ϵ − δ arguments rationalisiert diesen Prozess und erspart Schülern und Lehrern Ärger auf Kosten der Mathematikstudenten. Aber diese Mathestudenten werden ihm sowieso später begegnen.

Ich sage nicht, dass es der beste Ansatz ist, aber es ist vielleicht ein bisschen effizienter. Maschinenbauer wollen nicht lernen ϵ − δ , und Matheprofessoren wollen nicht unterrichten ϵ − δ für Studenten, die niemals eine Taylor-Reihe über den linearen Term hinaus kürzen werden.

Wie ich meinen Schülern sage: "Wenn Sie es nicht verstehen, dürfen Sie es nicht verwenden".
Wie der Stand der Dinge ist, ist Mathe für viele Menschen ein lästiges Mittel zum Zweck. Ich hoffe, Sie stimmen zu, dass dies nicht wünschenswert ist. Ich sage nicht, dass wir eines Tages in einer magischen Welt leben werden, in der jeder aus allen Disziplinen auch Mathematik liebt, aber wenn wir uns zumindest in Richtung einer Bildung bewegen können, in der Abstraktionen und gelegentliche formale Definitionen von den Lernenden nicht abgelehnt oder gefürchtet werden, das wäre ganz ok. Ich meine, ohne diese können Sie am Ende über Begriffe streiten, die nie definiert wurden, und niemand weiß wirklich, wovon sie sprechen, und es ist alles nur ein großes Durcheinander.
@ GPerez Ich weiß es nicht. Die Wertschätzung der Abstraktion ist für uns Mathematiker grundsätzlich attraktiv. Aber wenn Sie ein Friseur wären, möchten Sie, dass die Menschen die Kunst und Wissenschaft der Haarpflege wertschätzen. Letztendlich möchte ich nur einen Haarschnitt und bezahle daher einen Fachmann, der sich mit diesen Dingen auskennt, damit er das für mich erledigt. Ich weiß zu schätzen, was sie tun, aber ich werde es nie genug zu schätzen wissen, um es zu studieren. Das gilt auch für die Mathematik.
Es ist nicht nur ein "fehlgeleitetes Ideal", sondern auch eine praktische Notwendigkeit. Da Mathematikabteilungen Kalkül unterrichten und viele (in einigen Schulen die meisten oder sogar alle) Schüler Kalkül belegen müssen , wird die Mathematikabteilung enorm wichtig. Wenn die Berechnungen für Ingenieure an die Ingenieure ausgelagert würden, hätten die mathematischen Fakultäten wahrscheinlich ungefähr den gleichen Stellenwert wie die philosophischen Fakultäten.
@Ryan Reich was meinst du mit Statur? Denken Sie auch daran, dass das College auf der ganzen Welt anders funktioniert.
@GPerez Ich meine Wichtigkeit für die Verwaltung.
@Arkamis Sie haben wahrscheinlich Recht, aber ich meinte mehr in den Bereichen Physik, Ingenieurwesen, Biologie usw. Abstraktion ist sicherlich von grundlegender Bedeutung für jede Wissenschaft. Aber warte! Es ist zum Beispiel auch in der Literatur wichtig! Man abstrahiert, um zu analysieren, was ein Buch oder eine Geschichte zu vermitteln versucht. In der Musik kann ich nicht einmal ansatzweise auflisten, wie die Abstraktion von mehreren, scheinbar unterschiedlichen Songs zum Konzept eines Songs , betrachtet als Akkordfolgen, Tonleitern, die mit jedem Akkord oder jeder Tonart einhergehen, Dinge, die "Modi" genannt werden, usw Ich glaube nicht, dass viele davor bewahrt werden können, abstrakte Definitionen zu verwenden
Ich denke, es ist wichtig, sich historisch daran zu erinnern, dass die ϵ − δ Die Definition kam mehr als hundert Jahre, also nach der anfänglichen Entwicklung der Infinitesimalrechnung. Man würde daraus schließen, dass die Definition nicht ganz offensichtlich ist, obwohl es im Nachhinein so scheint. Es scheint auch einige Beweise dafür zu geben, dass es möglich ist, die Infinitesimalrechnung für praktische Zwecke ohne eine völlig strenge Grundlage nach den Maßstäben moderner Mathematiker zu verwenden.
@JairTaylor, Sie können eine völlig strenge Grundlage und Infinitesimals haben.
@ user72694, das stimmt, ich habe gehört, dass Sie das können, obwohl ich das selbst nie studiert habe. Aber ich glaube, dass die aktuelle Theorie der Infinitesimalzahlen in der Nichtstandardanalyse ziemlich anders ist als die ursprüngliche nichtrigorose Denkweise von Newton, Leibniz und Co.
@JairTaylor, die Hyperreals unterscheiden sich ziemlich von Newtons verschiedenen Ansätzen, aber es gibt wichtige Ähnlichkeiten mit Leibniz 'Ansatz; siehe diesen Artikel . Ob Leibniz' Denken "unrigoros" war oder nicht, hängt davon ab, was genau Sie damit meinen; Wenn Sie meinen, dass Leibniz die Cantorianische Mengenlehre nicht verwendet hat, dann haben Sie sicherlich Recht. Wenn Sie damit meinen, dass sich Leibniz' Verfahren stark von hyperrealen Verfahren unterscheiden, finden Sie im Artikel eine gegenteilige Information. Wenn Sie meinen, dass der Ansatz von Leibniz enthalten ...
... logische Widersprüche, dann ist dies wohl ein hartnäckiger Fehler der Kalkül-Geschichtsschreibung; siehe den oben zitierten Artikel.
Sehr interessant, danke für die Info! Ich glaube, ich hatte den Eindruck, dass viel Verwirrung in dieser Ära darauf zurückzuführen war, dass keine klare Unterscheidung zwischen Definitionen und Theoremen eingehalten wurde - z. B. Debatten darüber, ob imaginäre Zahlen und Infinitesimalzahlen "wirklich existierten" oder nicht, was zu vielen Ungenauigkeiten führte Argumentation nach modernen Maßstäben. Aber ich habe mich nicht viel mit Leibniz' Ansichten befasst, also liege ich vielleicht falsch.
"Es stellt sich heraus, dass Ingenieure, Wissenschaftler und Finanzleute Kalkül verwenden müssen, aber sie müssen Kalkül nicht verstehen." Wow, was für eine klare Aussage dessen, was implizit die dominierende Position in der zeitgenössischen Pädagogik der Erstsemester-Kalküle zu sein scheint ... und die ich als alarmierend und schädlich empfinde, die an Abscheu grenzt. Ich wünschte, wir College-Mathematiklehrer könnten eine explizite Diskussion führen, um zu sehen, ob wir das wirklich glauben und seine Auswirkungen vollständig verstehen.
Zwei Eröffnungssalven: (i) Sowohl der Kontakt mit jungen Menschen in der realen Welt als auch viel Forschung bestätigt die Hypothese, dass fast jeder sein Studium (z. B.) Mathematik mit dem Wunsch beginnt, alles verstehen zu wollen. Die Tragödie des Mathematikunterrichts besteht darin, dass wir diesen Wunsch von 99 % der Schüler so systematisch und gründlich ausmerzen, dass sie sich mit ihren Folterknechten auf der Ebene des Stockholm-Syndroms identifizieren, wenn sie zum Rechnen kommen. (ii) In der heutigen Gesellschaft ist der Name für das, was Berechnungen ohne konzeptionelles Verständnis durchführt, "Computer", nicht "Ingenieur".
@PeteL.Clark In der Tat. Ich finde es traurig (im besten Fall) und gefährlich (im schlimmsten Fall), aber es fällt mir schwer, mich davon zu überzeugen, dass es nicht wahr ist. Als Berufsingenieur können die meisten meiner Zeitgenossen Kalkül machen, aber keine Epsilon-Delta-Beweise. Und ganz ehrlich, das müssen sie auch nicht. Engineering ist mehr als Berechnung. Beim Engineering geht es um Urteilsvermögen, Design und Entscheidungsfindung. Das Hinzufügen technischer Strenge verbessert diese Dinge nicht unbedingt direkt . Ich möchte lieber, dass der Chemieingenieur, der mein Shampoo entwickelt, ein gutes Verständnis für Risiken, richtiges Mischen und Sicherheit hat.
Allerdings erkennen auch Ingenieure diesen Mangel, und gute Firmen stellen Mathematiker ein (so kam ich zum Titel „Ingenieur“). Trotzdem gibt es viele mathematisch unzulängliche Ingenieure, die es auf keinen Fall sein sollten; Kürzlich musste ich jemandem, der sich als Experte für Spieltheorie ausgab, das Riemann-Stieltjes-Integral erklären. Das ist einfach irgendwie traurig.
@Arkamis: Es ist wirklich unklar, wie viel Behandlung von Epsilon-Delta erforderlich ist, um "Kalkül zu verstehen", daher ist es etwas gefährlich, Ersteres als Synekdoche für Letzteres zu verwenden. (Insbesondere sagen Sie, dass Ingenieure dies nicht tun müssen ϵ - δ Beweise: Ja, ich stimme zu.) Wenn ich Mathematik unterrichte, führt mich der Wunsch, zumindest zu versuchen, den Stoff auf intellektuell kohärente Weise zu präsentieren, dazu, eine positive, aber sehr kleine (!!) Menge von zu präsentieren ϵ - δ ... und ich tue dies auf eine andere und geometrischere Weise, als Lehrbücher für Analysis für "Strenge" zu halten scheinen.
Lassen Sie mich auch sagen – wenn ich etwas sagen kann, ohne es in diesen Kommentaren untermauern zu wollen – dass ich oft weniger als positiv beeindruckt war von dem Ausmaß an „Verständnis für Analysis“, das sich in der Art und Weise zeigt, wie Lehrbücher für Analysis geschrieben sind. Oft wäre ich versucht, das, was Mathematik-Lehrbücher auf diesem Niveau als „Strenge“ bezeichnen, als „Pedanterie, die durch ein begrenztes, zerbrechliches Verständnis hervorgerufen wird“ zu bezeichnen.
@PeteL.Clark Dem stimme ich zu 100 % zu. Epsilon-Delta ist nur ein Teil des Verständnisses und nicht das vollständige Bild. Trotzdem denke ich, dass Sie entsetzt wären, wenn Sie einige Ingenieurstudenten ausfindig machen, sie bitten würden, die Ableitung einer Funktion zu berechnen, und sie dann bitten würden, die Definition einer Ableitung zu erklären.
Mir scheint, dass es für den Ingenieur besonders wichtig ist, das benötigte Ergebnis abschätzen zu können und zu wissen, wie man mit einer gewünschten Genauigkeit rechnet. Die "exakte" Antwort ist selten verfügbar, und damit eine Annäherung etwas wert ist, muss sie kontrolliert werden (eine Genauigkeit von 1 kg unterscheidet sich stark von einer Genauigkeit von 1 g). Die Epsilon-Delta-Analyse ist einfach zu lernen, wie man eine rigorose Fehleranalyse durchführt. Ich wünschte, es würde so gelehrt...
Arkamis: Es wird kein „Aufspüren“ nötig sein: Ich habe und unterrichte derzeit Ingenieurstudenten (daher kann ich Ihrer Einschätzung leider nicht widersprechen). @Steven: Ja, dem stimme ich voll und ganz zu! Es hat eine Weile gedauert, bis ich herausfand, dass es genau darum geht, worum es bei der angewandten Analyse geht: um kontrollierte Schätzungen statt um exakte Antworten. Als ich letztes Semester Analysis unterrichtete, habe ich mehrere Vorlesungen über numerische Integration verbracht, ein Thema, das ich in der Vergangenheit komplett übersprungen hatte.
Leider sind die Schüler in Einschätzungen jeglicher Art nicht gut ausgebildet. Ich erinnere mich gut an das letzte Semester, als ich mich entschied, ihnen strategisch keine Prüfungsfragen zu Taylors Theorem mit Remainder zu stellen (zu schwer; ich würde eher den Grad des auswendigen Auswendiglernens als jedes wirkliche Verständnis testen) zugunsten der Alternating Series Error Estimate, die technisch so einfach ist, dass nichts anderes erforderlich ist, als die Grundidee zu verstehen. Trotzdem war es ein schwieriges Thema...
@PeteL.Clark Diese Diskussion unterstreicht definitiv die Notwendigkeit eines Dialogs über die Rolle des Mathematikunterrichts auf allen Ebenen. Aber ich habe das Gefühl, dass viele Mathematiker oft in Mathematik verstrickt sind, wenn diese Diskussionen auftauchen, als ob sie das Bedürfnis verspürten, ihre Existenz zu rechtfertigen, indem sie die Lehre von Konzepten durchsetzen, die sie für wichtig halten. Ich behaupte immer noch, dass ein Ingenieur oder Finanzanalyst die Analysis nicht in dem Maße verstehen muss wie ein Mathematiker. Dennoch ist es von großem Wert, diese Studenten in der Praxis des mathematischen Denkens zu schulen.
Und das gilt auf allen Ebenen. Konzentrieren Sie sich darauf, was die Dinge bedeuten , anstatt darauf, wie man sie macht . Ein guter Gradmesser für den Erfolg eines mathematischen Curriculums wäre es, die Frage zu eliminieren, die alle Mathematiker irgendwann bekommen: "Also, was machst du so ? "
"Ich behaupte immer noch, dass ein Ingenieur oder Finanzanalyst die Analysis nicht in dem Maße verstehen muss wie ein Mathematiker." Ja sicher. Sie könnten kaum Mathematiker werden, ohne 5-10 zusätzliche Vertiefungen in verschiedenen Aspekten der Infinitesimalrechnung zu absolvieren. Ich denke, dass die Erstsemesterrechnung nicht die Aspekte der Abstraktion oder der Aufmerksamkeit für grundlegende Ideen enthalten sollte, die sogar in späteren Grundstudiengängen auftreten. Aber die Vorstellung, dass Kontinuität bedeutet, dass der Fehler in der Ausgabe beliebig gut kontrolliert werden kann, indem die Eingabe eingeschränkt wird, scheint wichtig.
@PeteL.Clark Natürlich. Aber was ist die Lösung? Lehrbücher sind scheiße. Die Lehrpläne in einem typischen 4-Jahres-Programm sind so kompakt, dass sie keine Freiheit für die Aufwendung von Zeit für Lernmaterial über das unbedingt Notwendige hinaus lassen. Den Schülern ist es egal (und den Arbeitgebern auch nicht – schlimmer noch, in vielen Fällen tun dies auch die Hochschulen nicht). Was zu tun ist?
@Arkamis: Nun, der erste Schritt besteht darin, das Problem zu identifizieren und sich darauf zu einigen. Und dann ... kann ich Sie zurückrufen?
@PeteL.Clark "Wenn ich Analysis unterrichte, der Wunsch, zumindest zu versuchen, das Material auf intellektuell kohärente Weise zu präsentieren ..." Dies fasst zusammen, was ich glaube, dass das Präsentieren von Mathematik ohne Kohärenz, z. B. Dinge, die von anderen abgeleitet wurden, Beweise, führt letztlich zur Entfremdung von der Mathematik selbst. Wenn jemand in der Lage ist zu fragen „ist 1 A + B = 1 A + 1 B ?", sie haben eindeutig nicht gelernt, was eine dieser Operationen bedeutet, sonst wäre die Antwort offensichtlich. Das war ein schreckliches Beispiel, da es auf einem frühen Niveau passiert, wo man zuerst Mathematik lernt, aber ...
... Ich hoffe, Sie wissen, was ich meine. Wir könnten wie einige argumentieren, dass (insert_profession) kein mathematisches Verständnis voraussetzen muss. Nun, es hängt davon ab, was wir unter "benutzen" verstehen; Ein Freund von mir unterrichtet Biologie in einem Master-Abschluss (wo Studenten auf einem Niveau konzeptioneller Reife sein sollten) und sagt mir, dass er es unmöglich findet, seinen Studenten die "erkenntnistheoretische Hierarchie" von Ideen verständlich zu machen , dh was Konzepte sind von anderen abgezogen wird, in welcher Reihenfolge Implikationen gehen, etc. Er sagt, dass das Material eher einfach aufgenommen wird als...
... "lose Informationsbrocken", und daher kommen die Schüler auf äquivalente Fragen (in Biologie) wie in den beiden Beispielkommentaren oben. Diese Studenten könnten oder hätten sicherlich eine Ausbildung in Mathematik gebrauchen können , wie sie einem reinen Mathematikerpublikum geboten wird. Mit anderen Worten, was er sagt, ist: „ Lerne vernünftig zu denken, Kleiner. “ Ich bin mir also nicht sicher, ob (insert_profession) kein mathematisches Verständnis haben muss.

Ich denke, das ist ein komplexes Thema; Wir haben sowohl pädagogische Aspekte als auch "grundlegende".

Erstens, aus meiner Sicht und vorausgesetzt, ich bin nicht bereit, die pädagogische Seite zu diskutieren, denke ich, dass wir im Mathematikunterricht (und nicht nur) eine gewisse Portion "Dogmatismus" nicht vermeiden können. Vergangene Fehlschläge bei den Bemühungen, die naive Mengensprache im Voraus in die elementare Arithmetik einzuführen, waren bezeichnend.

Versuchen Sie es für einen Moment mit diesem "Konzeptexperiment": Unterricht in der Sekundarstufe Algebra und Analysis ausgehend von axiomatisiert Z F und alle mathematischen Sachen "von Grund auf neu" zu bauen (die leere Menge). Halten wir das wirklich für machbar?

Ein aktuelles Buch von John Stilwell , The Real Numbers An Introduction to Set Theory and Analysis (2013), beginnt mit der folgenden Überlegung:

Jedes Buch, das sich mit den Grundlagen der Analysis beschäftigt, muss mit Edmund Landaus Grundlagen der Analysis von 1930 rechnen. So wenige Bücher haben seit 1930 auch nur den Versuch unternommen, die Konstruktion der reellen Zahlen einzubeziehen in einer Einführung in die Analyse. Einerseits ist Landaus Darstellung praktisch das letzte Wort in der Strenge. [...] Andererseits ist Landaus Buch geradezu pathologisch leserunfreundlich.

Ich habe versucht, Landau neu zu lesen: es ist sehr "unfreundlich"!

Zweitens: Bitte vergessen Sie nicht den enormen Aufwand, der von Newton und Leibniz bis (mindestens) Cauchy (siehe das wunderbare Buch von Judith Grabiner, The Origins of Cauchy's Rigorous Calculus - 1981) erforderlich ist, um das Strenge zu "destillieren " . ( ϵ − δ ) Definition! Und auch mathematische Standards der "Strenge" entwickeln sich weiter.

Ich habe oben über "Dogmatismus" gesprochen (Vorschlag: Denken Sie darüber nach, wie man Thomas Khuns Überlegungen in SSR über die "positive" Rolle des Dogmatismus in der "normalen Wissenschaft" auf die Mathematik anwenden kann).

Mein persönliches Gefühl ist, dass das beste Gegenmittel gegen den (unvermeidlichen) Gebrauch von Dogmatismus im Unterricht die historische Perspektive ist: zu erfahren, wie wir zu aktuellen Ideen gekommen sind (einschließlich unseres aktuellen Strengestandards und unserer aktuellen Vorstellungen von "Grundlagen") kann sehr sein nützlich.

In Bezug auf das "konzeptionelle Experiment" würde ich es sehr positiv finden, wenn die Definition eines Vektorraums über einem Körper irgendwie in der High School eingeführt würde und elementare Beweise wie λ v = 0 ⇔ λ = 0  oder  v = 0 , weil es relativ einfach und gleichzeitig streng ist. Ich weiß nicht ... Ich mag einfach das Konzept, nicht über etwas zu sprechen, bis Sie definieren, worüber Sie sprechen. Logischerweise muss ein Gleichgewicht gefunden werden, sonst würden wir alle Lanadu lesen, bevor wir zählen lernen.
Auch über die historische Perspektive, ja ja und ja. Weil wir immer das Format bekommen: Axiome → Definitionen → Theoreme, als ob es chronologisch so geschehen wäre, während das reale Diagramm wahrscheinlich der komplexeste gerichtete Graph ist, wenn es vereinfacht würde.

( ϵ , δ ) Techniken sind von grundlegender Bedeutung für die Entwicklung der Grundlagen der echten Analyse, aber manchmal können Erkenntnisse durch alternative Techniken gewonnen werden, die man nicht so leicht sieht ( ϵ , δ ) . Betrachten Sie zum Beispiel das Versagen der Quadrierungsfunktion, gleichmäßig stetig zu sein. Dies ist eine ziemlich mühsame Übung, um zu motivieren, wenn Sie darauf beschränkt sind ( ϵ , δ ) Techniken. Möglicherweise werden 90 % der Studenten nicht in der Lage sein, eine solche Übung anders als auf passive Weise zu reproduzieren.

Eine alternative Möglichkeit wäre, das anzumerken F ( X ) = X 2 an einem einzigen unendlichen Punkt nicht mikrokontinuierlich ist H und ist daher nicht gleichmäßig stetig. Bei diesem Ansatz wird einheitliche Kontinuität durch Erfordernis definiert F an allen Punkten (Standard und Nichtstandard) seines erweiterten hyperrealen Bereichs mikrokontinuierlich zu sein. Betrachtet man also ein Infinitesimal a = 1 H , Dann F ( H + a ) = H 2 + 2 + a 2 Und F ( H + a ) − F ( H ) = 2 + a 2 was nicht infinitesimal ist. So sehen wir das F ist nicht mikrokontinuierlich H .

Diese Definition macht deutlich, dass gleichmäßige Stetigkeit in diesem Fall mit dem Verhalten der Funktion „im Unendlichen“ zu tun hat. Diese Bemerkung kann im Kontext eines infinitesimal angereicherten Kontinuums formalisiert werden, aber nicht im Kontext des realen Kontinuums.

Und so kam es dass der ( ϵ , δ ) Der Ansatz hat seine Vorteile, aber auch gravierende pädagogische Mängel.

1) Ja, einheitliche Kontinuität ist ein Killer. Aber Charakterisierungen existieren und sie helfen. 2) Was die Pädagogik betrifft, bin ich anderer Meinung. Menschen vor dem Abstrahieren zu bewahren, hilft ihnen nicht. Und wenn jemand es endlich versteht, fühlt er sich zu 100 % wirklich gut in seiner Haut. Das ist gut. Wir möchten, dass sich die Menschen bei den Dingen, die sie lernen, wohlfühlen. Natürlich fragt man sich: Was, wenn sie es nicht kapieren? Das werden sie schließlich. Das einzige Problem ist, dass es schlimme Folgen hat, dies nicht rechtzeitig zu tun, und deshalb wenden wir uns der Frage zu, wie das gesamte Test- und Bewertungsmodell aufgebaut ist, aber dies ist eine andere Diskussion.
@GPerez, zu 1): Ich habe eine solche "Charakterisierung", wie Sie es ausdrücken, genau formuliert und es hilft. zu 2): Ich bin mir nicht sicher, was Sie mit "abstrahieren" meinen. Wenn Sie sich auf mathematische Strenge beziehen, dann sind die Hyperrealen genauso streng wie die Realen. Die einzigen "schweren Folgen", die ich hier sehe, sind für Menschen, die sich weigern, Alternativen in Betracht zu ziehen.
Ich bezweifle nicht, dass die Hyperrealen gültig oder abstrakt sind. Tatsächlich sind sie abstrakter als die reellen Zahlen. Aber es hängt alles davon ab, möchten Sie eine mathematische Ausbildung geben, in der alles konstruiert und aufgebaut ist, und Schritte auf dem Weg beweisen? In diesem Fall müssten Sie irgendwann einen Beweis dafür einfügen, dass die Hyperrealen genau dann konsistent sind, wenn die Realen konsistent sind. Ich weiß nicht, ob es für Studenten kompliziert ist oder nicht, wenn es nicht so wäre, hätte ich keine Beschwerden darüber, dass dies im Mathematikunterricht verwendet wird. Wenn die Ausbildung ohne Nachweise gut zu geben ist, okay.
Wenn man das Argument der Nichtstandardanalyse nimmt und einige Wörter und Konzepte löscht, erhält man ein einfacheres Standardargument, das dasselbe auf dieselbe Weise beweist. Die ganze Arbeit besteht darin, das Ausmaß der Veränderung zu bestimmen H bewirkt eine spürbare Veränderung H 2 . An der NSA gibt es nichts, was darauf hindeutet, sich zu entscheiden a = 1 / H als das Infinitesimale, und der Beweis funktioniert nicht mit Beliebigkeit a . Das Verständnis, welche Entscheidungen funktionieren, kommt von der Ableitung, nicht von den Grundlagen, obwohl natürlich, sobald Sie ein funktionierendes Argument haben, es in beiden Sprachen geschrieben werden kann.
@GPerez, wenn Sie über das Lehren von Kalkül sprechen, werden Sie mir zustimmen, dass nicht alles "konstruiert und darauf aufgebaut" ist. In Analysis-Kursen werden nämlich die reellen Zahlen im Allgemeinen nicht aus den rationalen Zahlen konstruiert, da dieses Material für spätere Analysis-Kurse besser geeignet ist. Was den Beweis angeht, dass die Hyperreellen genau dann konsistent sind, wenn die Reellen konsistent sind, kann ich Ihnen einen kurzen Beweis geben, indem ich nichts anderes als das Material eines ernsthaften Algebra-Grundstudiums verwende.
@zyx, ich schätze den ruhigen Ton deines Kommentars. Welches Argument einfacher ist, das auf den Realen oder das auf den Hyperrealen, darüber lässt sich sicherlich streiten. Ich würde mit der Definition von Stetigkeit nach Cauchy beginnen: Eine Funktion ist stetig bei X wenn jedes infinitesimale Inkrement a erzeugt immer eine infinitesimale Änderung F ( X + a ) − F ( X ) . Siehe Cours d’Analyse .
@ user72694 Vielleicht nicht, aber zumindest axiomatisch sind sie es? Die ersten paar Dinge, die ich lernte, waren Dinge wie „für jedes Paar verschiedener reeller Zahlen A , B , entweder A < B oder A > B , und andere solche Eigenschaften. Kurz nach Beginn des Kurses war das Thema Nachfolge, und das wurde mir gezeigt ⇒ Konvergenz. Vielleicht ist das an anderen Schulen radikal anders, aber würdest du zustimmen, dass es ein netter Ansatz ist?
@GPerez, zunächst einmal ist es ein sehr schöner Ansatz. Aber in den Hyperrealen gilt genauso, dass „“ für jedes Paar verschiedener reeller Zahlen gilt A , B , entweder A < B oder A > B , und andere solche Eigenschaften" durch das Übertragungsprinzip . Darüber hinaus können und wurden die Hyperreale ähnlich axiomatisch entwickelt.
@ user72694 Dann wird diese Angelegenheit zu einer Meinungssache, ich für meinen Teil bevorzuge die Realzahlen :) Ich könnte jedoch nicht sagen, warum, vielleicht ein Gefühl der Nostalgie für die formale Mathematik des 19. Jahrhunderts? Ich weiß es nicht wirklich
@GPerez, ich bin auch begeistert von der formalen Strenge des 19. Jahrhunderts. Von Ansichtssache kann aber kaum gesprochen werden, da entgegen einer landläufigen Meinung das hyperreale Gerüst nicht als Ersatz für das reale Gerüst gedacht ist, sondern als dessen Erweiterung . Somit gelten nach wie vor alle "echten" Techniken (durch das Übertragungsprinzip), aber man hat auch neue Techniken wie die Möglichkeit, Kontinuität als "infinitesimal" zu definieren D X produziert unendlich klein D j ", die im realen Framework nicht verfügbar sind. Siehe auch...
... Terry Taos Schriften über die ausdrucksstarken Vorteile des hyperrealen Frameworks.
„Betrachten Sie zum Beispiel das Versagen der Quadrierungsfunktion, gleichmäßig stetig zu sein. Dies ist eine ziemlich mühsame Übung, wenn Sie sich darauf beschränken ( ϵ , δ ) Techniken." Dem stimme ich nicht zu. Das Konzept der gleichmäßigen Kontinuität ist eines der schwierigsten, das im Grundstudium vorgestellt wird. Aber wenn Sie das Konzept verstehen, könnte diese Berechnung kaum einfacher sein: ( X + δ ) 2 − X 2 = 2 X δ + δ 2 kann nicht unabhängig von begrenzt werden X wegen dem X δ Begriff. Das NSA-Zeug ist nett, aber ich möchte , dass Studenten in der Lage sind, so viel "Standard" -Analyse zu machen!
@Pete, nach meiner Erfahrung mit dem Lehren von Kalkül sind die Negationen der Standardbehauptungen normalerweise schwieriger zu handhaben als die Behauptungen selbst. Ich hatte einmal einen TA an einer großen Universität im Mittleren Westen, der mir gegenüber zugab, dass er nicht wusste, wie er mit Epsilon, Delta beweisen sollte, dass die Heaviside-Funktion diskontinuierlich ist. Abgesehen davon besteht das Problem mit der Epsilon-Delta-Definition der gleichmäßigen Kontinuität darin, dass Sie überhaupt keine Ahnung davon haben, dass das Problem das Verhalten im Unendlichen ist . Versuchen Sie, das von dem subtilen Phänomen mit der Quantifizierungsreihenfolge abzulesen, von der es sich unterscheidet
...regelmäßige Kontinuität! Dann beginnen Sie, den Albtraum des Schülers zu realisieren.
Mikhail: Sie sagten, dass es eine ziemlich mühsame Übung war . Mein Kommentar wies darauf hin, dass dies nicht der Fall ist: Die Berechnung ist eine der einfachsten, die möglich ist, und sicherlich nicht mehr oder weniger beschwerlich als ( H + 1 H ) 2 − H 2 = 2 + 1 H 2 . Sie sagen auch, dass 90 % der Studenten werden diese Übung nicht machen können. Das ergibt sich aus meiner Erfahrung nicht. Ich denke, Sie meinen tatsächlich, dass dieser Prozentsatz der Schüler "einheitliche Kontinuität nicht wirklich versteht", was plausibler, wenn auch nebulöser ist.
Mein Punkt ist: Sie wollen einen NSA-Ansatz für Kalkül und Analyse fördern. Sie haben viele gute mathematische, pädagogische und historische Argumente, die dies unterstützen. Aber wenn Sie auf Strohmann-Argumente zurückgreifen – schauen Sie, wie kompliziert ϵ - δ Argumente sind! niemand versteht sie, oder? -- Sie verletzen wahrscheinlich Ihren Fall, da die meisten Ihrer Leser verstehen ϵ - δ Argumente, in den meisten Fällen (und ganz natürlich) besser als die weniger standardmäßigen Sachen, die Sie bewerben. Man muss also aufpassen, die Schwierigkeiten nicht zu übertreiben, denke ich.
@Pete, vielleicht hätte ich schreiben sollen, dass es eine "mühsame Übung zum Motivieren" ist, da sich die relevanten Punkte ins Unendliche bewegen. Offensichtlich sprechen wir nicht nur von der formalen Überprüfung, dass eine geeignete Quantorenformel erfüllt ist. Der Punkt ist die Interpretation dieser Formel und die Entwicklung geeigneter Intuitionen, um sie zu verstehen. Damit tun sich die Schüler schwer.
@Pete, Sie haben wahrscheinlich Recht, dass die meisten SE-Redakteure mit Epsilon, Delta vertraut sind, aber der Punkt sollte ihnen nicht verloren gehen, dass die überwiegende Mehrheit ihrer Schüler dies nicht ist und niemals sein wird, wenn sich die aktuellen Trends fortsetzen. Dies ist eine klare Schlussfolgerung aller pädagogischen Studien zu diesem Phänomen. Wenn Epsilon, Delta nicht das pädagogische Debakel wäre, das es ist, wäre die Pädagogik weniger ein wirksames Argument für den hyperrealen Ansatz, obwohl es immer noch Terry Taos Argument für seine ausdrucksstärkere Sprache und Nützlichkeit in der Forschung gibt.
"Offensichtlich sprechen wir nicht nur von der formalen Überprüfung ..." Das war mir nicht klar; vielleicht ist es für andere offensichtlich. In Bezug auf die Bewegung ins Unendliche: Gleichmäßige Stetigkeit erscheint normalerweise zuerst in dem Zusammenhang, dass eine kontinuierliche Funktion auf einem geschlossenen, begrenzten Intervall notwendigerweise gleichmäßig stetig ist, und die obige Übung wird hauptsächlich verwendet, um zu erklären, dass diese Hypothesen notwendig sind. Auch hier halte ich die Standardgeschichte nicht für einen Albtraum, den man lehren oder motivieren muss. Ich erwähne das, weil Sie anscheinend erwarten, dass Ihre Leser so denken.
Übrigens gefällt mir der Ansatz von Terry Tao sehr gut: Er erklärt sowohl die Standard- als auch die Nichtstandardanalyse anschaulich, geht besonders deutlich auf die Beziehungen zwischen ihnen ein und gibt Beispiele dafür, welche Art von Problem der anderen vorgezogen werden könnte. Er bestätigt dies in seinen Recherchen, sodass klar ist, dass SA und NSA beide sehr nützlich für ihn sind. Ich habe ihn noch nie sagen sehen, dass Hyperreale eine „ausdrucksstärkere Sprache und Nützlichkeit in der Forschung“ haben: Seine Position ist viel nuancierter als das.
@Peter, danke für deinen Kommentar. Es wäre interessant, eine geeignete "Frage" zur Situation vor Ort in Bezug auf das Unterrichten von Epsilon-Delta zu entwickeln, die eher auf Bildungsfeldstudien als auf anekdotischen Beweisen basiert. „Alptraum“ ist ein starkes Wort, aber meiner Erfahrung nach sind Schüler von so etwas frustriert. Es hört sich so an, als ob U Georgia hohe Zulassungsstandards anwendet :-)
@Pete, als ich von Tao über Ausdruckskraft sprach, dachte ich an die Art von Kommentar, der hier zitiert wird . Vielleicht können Sie zusätzliche Zitate liefern. Er verwendet nicht die Wurzel „express“, aber die Implikation ist eindeutig da.

An den Bemerkungen von @Arkamis ist definitiv etwas dran (wenn sie für das amerikanische System etwas relevanter sind ), aber es spricht auch etwas für das Gegenteil.

ϵ − δ Sprache neigt dazu, übermäßig technisch zu sein; Es ist einfach genug, es für Studenten im ersten Jahr zu formulieren, und präzise genug, um strenge Mathematik zu üben, aber all diese technischen Details können den Punkt auch verdunkeln (wie die berühmte Baum-Wald-Analogie). Die Konzepte von offenen Mengen und Urbildern unter Funktionen können etwas mächtiger sein und/oder auf den Kern der betrachteten Aussage hinweisen, während es umständlich sein könnte, mit zu vielen Quantoren umgehen zu müssen.

Also, wenn Sie richtige Mathematiklehrbücher sehen, die scheinbar komplexe Konstrukte verwenden, um das Sprechen zu vermeiden ϵ − δ Ich behaupte, dass dies meistens im Namen der Abstraktheit getan wird, um zugrunde liegende Konzepte besser zu formulieren oder sich besser mit neuen und allgemeineren Begriffen zu befassen, die der Autor präsentieren möchte.

Ich musste hierher zurückkehren, als ich darauf stieß , ein Beispiel, bei dem OP großartige Arbeit geleistet hat, um ein Problem zu lösen ϵ − δ Techniken, schien sich aber mit den Ergebnissen immer noch unwohl zu fühlen. Meiner Meinung nach liegt das genau daran, dass diese Sprache den Kern des Problems verbirgt, den Grund, warum die Dinge so funktionieren, wie sie funktionieren. Nach Abschluss der Übung glaube ich, dass OP immer noch nicht die zugrunde liegende Eigenschaft festgelegt hätte, die in den Fällen vorhanden ist, in denen die Antwort „Ja“ lautet, und fehlt, wenn sie „Nein“ lautet.

Oh nein, ich kritisiere keineswegs die Verallgemeinerung dieser Konzepte, da es ein Muss wird, wenn es keine metrische Funktion mehr gibt
ϵ,δϵ,δ\epsilon, \delta...na und?
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