Zeigen Sie, dass die Differenzierbarkeit an einem Punkt eine symmetrische Differenzierbarkeit an einem Punkt impliziert.

Question

Zeigen Sie, dass die Differenzierbarkeit an einem Punkt eine symmetrische Differenzierbarkeit an einem Punkt impliziert.

Streuen

Definition Let $c \in (a, b)$ und lass $f:(a,b) \rightarrow \mathbb{R}$ . Dann $f$ ist bei symmetrisch differenzierbar $c$ Wenn
$lim_{H \to 0} \frac{F (C + H) - F (C - H)}{2 H}$ $\lim_{h \to 0} \frac{f(c + h) - f(c - h)}{2h}$ existiert und ist endlich.

Problem Zeigen Sie, dass if $f$ ist differenzierbar bei $c$ , Dann $f$ ist bei symmetrisch differenzierbar $c$ , und die Ableitungen sind gleich.

Ich bin mir nicht ganz sicher, wo ich anfangen soll. Das wollen wir natürlich zeigen $f'(c)$ existiert,

lim_{H \to 0} \frac{F (C + H) - F (C - H)}{2 H} = F^{'} (C) = lim_{H \to 0} \frac{F (C + H) - F (C)}{H}

$\lim_{h \to 0} \frac{f(c + h) - f(c - h)}{2h} = f'(c) = \lim_{h \to 0} \frac{f(c + h) - f(c)}{h}$ aber ich bin mir nicht sicher, wie man das macht. Kann jemand minimale Hilfe leisten? Das scheint ein so einfaches Problem zu sein, aber ich stecke trotzdem fest. Vielen Dank im Voraus für jede Antwort.

Arkadi

Nehmen Sie eine Änderung der Variablen vor und beachten Sie dies

h \to 0

$h\to 0$ dann und nur dann, wenn

2 h \to 0

$2h\to 0$ .

Antworten (1)

Zeigen Sie, dass die Differenzierbarkeit an einem Punkt eine symmetrische Differenzierbarkeit an einem Punkt impliziert.

Nehmen Sie eine Änderung der Variablen vor und beachten Sie dies $h\to 0$ dann und nur dann, wenn $2h\to 0$ .

zipirovich · Answer 1

Hinweis:

lim_{H \to 0} \frac{F (C + H) - F (C - H)}{2 H} = lim_{H \to 0} \frac{F (C + H) - F (C) + F (C) - F (C - H)}{2 H} = lim_{H \to 0} \frac{[F (C + H) - F (C)] - [F (C - H) - F (C)]}{2 H} = \frac{1}{2} lim_{H \to 0} [\frac{F (C + H) - F (C)}{H} - \frac{F (C - H) - F (C)}{H}]

$\lim_{h\to0}\frac{f(c+h)-f(c-h)}{2h}=\lim_{h\to0}\frac{f(c+h)-f(c)+f(c)-f(c-h)}{2h}=\lim_{h\to0}\frac{\left[f(c+h)-f(c)\right]-\left[f(c-h)-f(c)\right]}{2h}=\frac{1}{2}\lim_{h\to0}\left[\frac{f(c+h)-f(c)}{h}-\frac{f(c-h)-f(c)}{h}\right]$ und eine Variablenänderung vornehmen

(- h) \mapsto h

$(-h)\mapsto h$ in der zweiten Grenze (ich meine, in der zweiten Fraktion).

Zeigen Sie, dass die Differenzierbarkeit an einem Punkt eine symmetrische Differenzierbarkeit an einem Punkt impliziert.

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Arkadi

Antworten (1)

zipirovich

Von der Begründung des Mittelwertsatzes

Warum funktioniert die Shortcut-Methode zur Überprüfung der Differenzierbarkeit hier nicht?

Wie beweise ich, dass etA=limn→∞((I−tAn)−1)netA=limn→∞((I−tAn)−1)ne^{tA}=\lim_{n\rightarrow\infty} (( I-\frac{tA}{n})^{-1})^n?

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∑∞n=0ak∑n=0∞ak\sum_{n=0}^\infty a_k konvergiert absolut und ∑∞n=0bk∑n=0∞bk\sum_{n=0}^\infty b_k konvergiert Tut dies implizieren, dass ∑∞n=0bksin(ak)∑n=0∞bksin⁡(ak)\sum_{n=0}^\infty b_k\sin(a_k) konvergiert?

Fertigen Sie aus dem Graphen der Ableitung f′(x)f′(x)f'(x) eine Skizze der ursprünglichen Funktion f(x)f(x)f(x) und der zweiten Ableitung f′′( x)f''(x)f''(x)

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