Früheste Instanzen eines Neigungs-/Richtungsfelds für eine ODE erster Ordnung

Hintergrund

Wenn die Schüler zum ersten Mal auf Steigungsfelder in Analysis oder elementaren Differentialgleichungen stoßen, fragen sie oft: "Was ist der Zweck?"

Eine kurze Antwort ist, dass Steigungsfelder eine Möglichkeit bieten, eine ODE erster Ordnung der Form y' = f(x, y) grafisch darzustellen. Grafische Darstellungen können auf einen Blick eine Reihe von Einblicken in das Gesamtverhalten von Lösungen liefern. Dasselbe kann oft nicht über symbolische Repräsentationen gesagt werden.

Diese Antwort wäre überzeugender, wenn es möglich wäre, auf Beispiele für die Nutzung von Hangfeldern im Laufe der Geschichte hinzuweisen. Ich hatte jedoch einige Schwierigkeiten, diese Geschichte aufzuzeichnen.

Die grundlegende Idee eines Steigungsfeldes, nämlich dass y' = f(x, y) die Steigung der Lösung angibt, die durch ein von uns gewähltes (x, y) geht, muss seit Beginn des Kalküls klar gewesen sein. Unterstützende Beispiele finden Sie in diesem Twitter-Austausch .

Das früheste Beispiel (oder Hinweis auf) ein tatsächliches Hangfeld, das ich bisher gefunden habe, stammt jedoch aus der Mitte des 20. Jahrhunderts. Siehe zum Beispiel diese Notiz von 1944 über die Lehre von Differentialgleichungen aus dem American Mathematical Monthly.

Abgesehen von dem obigen Twitter-Austausch habe ich das Internet, Google Scholar und meine persönliche Bibliothek durchsucht (darunter viele Lehrbücher und ein paar mathematische Geschichtsbücher).

Hinweis: Ich habe die Stack Exchange-Frage zur "Erfindung des Konzepts des Vektorfelds" gesehen, aber das Konzept des Vektorfelds ist allgemeiner, und es ist schwierig, einen Verweis auf Steigungsfelder aus der Antwort auf diese Frage zu isolieren.

Frage

Was ist die früheste Instanz eines Steigungsfeldes als grafische Darstellung der Differentialgleichung erster Ordnung y' = f(x, y)?

Hier beziehe ich mich nicht auf die zugrunde liegende Idee eines Steigungsfeldes, sondern eher auf ein tatsächliches Bild, ähnlich dem, was heute üblicherweise in einführenden Lehrbüchern zu elementaren Differentialgleichungen zu finden ist.

Ich würde mich freuen, frühe Beispiele zu sehen, nicht unbedingt die allerfrühesten. Ich würde mich auch über frühe Vorkommen des Begriffs "Steigungsfeld" oder "Richtungsfeld" freuen, da diese auf die Existenz tatsächlicher Bilder hinweisen.

Aktualisieren

Fortschritt! Die Frage ist noch nicht geklärt, aber ich habe einige neue Beweise entdeckt. Ausgehend von Referenzen in dem von Blåsjö unten veröffentlichten Artikel von Tournès konnte ich die folgenden zwei Quellen finden, die die Erzählung ergänzen.

Betrachten Sie zunächst das Buch Graphische Methoden von Carl Runge (basierend auf Vorlesungen von 1909-1910, veröffentlicht 1912). Ab S. 134 (nummeriert als S. 120 in der physischen Kopie) diskutiert er die grafische Lösung von ODEs erster Ordnung.

In Abbildung 88 zeigt er die gleiche Methode wie Bernoulli in Blåsjös Antwort, mit einem Zusatz: Er zeichnet einen "Strahlenstift", der im Grunde aus einem Satz von Vektoren besteht. Da der durch die Differentialgleichung angegebene Richtungsvektor für jeden Punkt auf einer gegebenen Isokline gleich ist, entspricht diese Isokline einem eindeutigen Richtungsvektor. Das Strahlenbüschel stellt genau diese Vektoren dar, und sie sind beschriftet, um die Isoklinen anzuzeigen, denen sie entsprechen.

Während Runge offensichtlich einen Grund dafür hat (er verwendet das Strahlenbündel, um später eine Koordinatenänderung zu bewirken), ist es schwieriger, mehrere Lösungskurven durch visuelle Inspektion mit dieser grafischen Darstellung schnell zu skizzieren als mit einem modernen Neigungsfeld , bei dem die Richtungen über den Isoklinen gezeichnet oder gleichmäßig über ein rechteckiges Gitter angeordnet sind. Ich habe kein Vorkommen eines Neigungsfeldes in seiner modernen Form gefunden, und weder „Neigungsfeld“ noch „Richtungsfeld“ kommen im Text vor.

Betrachten Sie zweitens das Buch Guide to Graphical Computing von Rudolf Mehmke , das fünf Jahre später im Jahr 1917 veröffentlicht wurde. Mehmke kannte Runges Buch (er zitiert eine Ausgabe von 1914 auf S. 98). Er schreibt Folgendes (übersetzt aus dem Deutschen mit Google Translate, mit einer kleinen Bearbeitung - ich lese und schreibe kein Deutsch).

P. 116 (Ich habe Gleichungsnummern im Originaltext durch Gleichungen ersetzt):

...Differentialgleichung$F(x, y, \frac{dy}{dx}) = 0$Und$\frac{dy}{dx} = f(x, y)$dem geometrischen Sinn zu entnehmen ist, dass sie (allgemein gesprochen) jedem Punkt der Ebene eine bestimmte Richtung zuordnen, die die Tangente der durch den dortigen Punkt gehenden Integralkurve haben muss, oder die vorgestellte Differentialgleichung verlangt, wie man sagen kann , ein "Richtungsfeld".

P. 121 (Fußnote hier weggelassen):

Wenn die Stromrichtung für genügend viele Punkte durch kurze Striche auf ... einer Reihe von Isoklinen angezeigt wird (siehe Abb. 107), dann können schon beliebig viele Integralkurven für das Auge einigermaßen korrekt gezeichnet werden.

Dies ist genau die moderne Idee (mit Hilfe von Computern verteilen wir diese "Striche" oft gleichmäßig entlang eines rechteckigen Gitters, aber ich nehme an, dass es auch als modern angesehen werden kann, sie nur entlang von Isoklinien zu zeichnen). Darüber hinaus wird moderne Terminologie verwendet (vielleicht sogar geprägt).

Die oben präsentierten Beweise scheinen darauf hinzudeuten, dass die moderne Konzeption eines Hangfeldes zwischen 1912 und 1917 entstand. Natürlich besteht die (etwas unwahrscheinliche) Möglichkeit, dass Runge die moderne Form verwendet, sie aber nicht in seinem Buch über grafische Methoden dargestellt hat. Es besteht auch die Möglichkeit, dass Runge Hangfelder in ihrer modernen Form nicht verwendet hat, andere jedoch.

Aktualisierte Fragen

1. Kann jemand einen Fall vor 1917 oder andere bestätigende Beweise dafür finden, dass moderne Hangfelder tatsächlich um das Jahr 1917 entstanden sind? Die Beweise sind suggestiv, aber noch nicht überzeugend.

2. Der Vollständigkeit halber wäre es schön, frühere Fälle von Hangfeldern mit gleichmäßig über ein rechteckiges Gitter verteilten Segmenten zu sehen, wie es heute üblich ist.

Danke für die bisherige Hilfe aller!